1
专题突破练13 计数原理、概率
必备知识夯实练
1.(2025 福建泉州二模)若(ax+ 1
x
2)n的展开式中二项式系数之和为32,各项系数之和为
243,则展开式中1
x
的系数是( )
A.32
B.64
C.80
D.16
2.(2024 广东深圳一模)骰子是质地均匀的正方体,各面分别标有数字1,2,3,4,5,6.现在掷一
枚骰子两次,记事件A=“两次点数的最小值为3”,事件B=“两次点数的最大值为6”,则
P(B|A)=( )
A.1
4
B.1
3
C.2
7
D.3
8
3.(2025 陕西咸阳二模)2025 年有双春年之寓意,双春年是指在一个农历年中出现两个立
春节气的现象.这是由于农历和阳历之间的差异造成的,为了使农历与季节变化相适应,
农历中会设置闰月,2025 年有闰六月,从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中,双春
年通常被认为是非常吉利的年份,双字寓意着好事成双,在这一年做任何事都会有好兆头.
那么,用2 025,66,2,0,2,5 组成不同的10 位数的个数为( )
A.294
B.297
C.298
D.300
4.(多选题)(2025 福建厦门二模)某校开展“强国有我,筑梦前行”主题演讲比赛,共有6
位男生,4 位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序,记事件A 表示“第一位出场的是女
生”,事件B 表示“第二位出场的是女生”,则( )
A.P(AB)=3
5
B.P(B|A)=1
3
C.P(A)=P(B)
D.P(A∪B)=2
3
2
5.(多选题)(2025 浙江宁波模拟)在( 1
√x + √x
2
)n的展开式中,前3 项的系数成等差数列,则下
列结论中正确的是( )
A.n=8
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C.展开式中的常数项为1
16
D.展开式中系数最大项为第3 项和第4 项
6.(2025 湖北武汉一模)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定满十
进一就是十进制,满八进一就是八进制,即“满几进一”就是几进制,不同进制的数可以
相互转换,如十进制下,159=2×82+3×8+7,用八进制表示159 这个数就是237.现用八进制
表示十进制的719,则这个八进制数的最后一位为( )
A.3
B.4
C.5
D.7
7.(2025 上海崇明二模)抛掷一枚质地均匀的硬币n 次(其中n 为大于等于2 的整数),设事
件A 表示“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”,事件B 表示“n 次中至多有一次正面
朝上”,若事件A 与事件B 是独立的,则n 的值为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
8.(2025 福建漳州一模)(x2+ 1
x
2-3)5的展开式中,常数项为 .
9.(2025 八省联考,13)有8 张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8 张卡片中随机抽
出3 张,则抽出的3 张卡片上的数字之和与其余5 张卡片上的数字之和相等的概率为
.
关键能力提升练
10.(2025 福建漳州一模)设A,B 是两个随机事件,且0<P(A)<1,P(B)>0,则下列说法正确的
是( )
A.P(AB)>P(B|A)
B.1-P(AB)=(1-P(A))P(B|A)
C.若A 与B 互斥,则P(A ∪B)=1
D.若P(AB)≠0,则A 与B 相互独立
11.(多选题)(2025 广东茂名模拟)某高中开展一项课外实践活动,参与活动并提交实践报
告可以获得学分,且该校对报告的评定分为两个等级:合格,不合格.评定为合格可以获得
3
0.2 学分,评定为不合格不能获得学分.若评定为不合格,则下一次评定为合格的概率为4
5
,
若评定为合格,则下一次评定为合格的概率为3
5
.已知小李参加了3 次课外实践活动,则(
)
A.“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件
B.若小李第一次评定为不合格,则小李获得0.4 学分的概率为12
25
C.若小李第一次评定为合格,则小李第三次评定为合格的概率为16
25
D.“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立
12.(2025 浙江杭州二模)甲、乙、丙三人分别从2 个不同的数中随机选择若干个数(可以
不选),分别构成集合A,B,C,记A∩B∩C 中元素的个数为m,则m≥1 的概率为 .
13.(2025 安徽合肥二模)如图,在4×4 的方格中放入棋子,每个格子内至多放一枚棋子,若
每行都放置两枚棋子,则恰好每列都有两枚棋子的概率为 .
核心素养创新练
14.(2025 山东名校联考)若a1,a2,a3,a4,a5,a6为1,2,3,4,5,6 的任意排列.设
X=min{max{a1,a2,a3},max{a4,a5,a6}},Y=max{min{a1,a2,a3},min{a4,a5,a6}},则( )
(已知min{a1,a2,…,an}表示a1,a2,…,an中最小的数,max{a1,a2,…,an}表示a1,a2,…,an中最大
的数)
A.排列总数为700
B.满足a1<a2<a3的排列有80 个
C.X>4 的概率小于3
5
D.X>Y 的概率为9
10
4
答案：
1.C 解析 因为(ax+ 1
x
2)n的二项式系数之和为32,则2n=32,解得n=5,因为(ax+ 1
x
2)5展开
式各项系数和为243,令x=1,代入可得(a+1)5=243=35,解得a=2,(2x+ 1
x
2)5的展开式的通项
公式为Tk+1=C5
k(2x)5-k·( 1
x
2)k=25-k·C5
kx5-3k,k∈{0,1,2,3,4,5},令5-3k=-1,解得k=2,则展开式中1
x
的系数为23·C5
2=8×10=80.故选C.
2.C 解析 事件A 包含(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(5,3),(6,3),共7 种情况,其中只有(3,6)和
(6,3)满足“两次点数的最大值为6”,故P(B|A)=2
7 .故选C.
3.B 解析 2 025,66,2,0,2,5 这6 个数的全排列为A6
6,又0 排在首位有A5
5种排法,又有2 个
2,它们之间的排序有A2
2种,当2,0,2,5 这4 个以2 025 这种顺序与66 和2 025 排序有A3
1=3
种,所以用2 025,66,2,0,2,5 组成不同的10 位数的个数为A6
6- A5
5
A2
2
- A3
1=297.
4.BCD 解析 由题意得,P(AB)=
C4
1·C3
1· A8
8
A10
10
= 4×3× A8
8
10×9× A8
8 = 2
15,故A 错误;
由题意得,P(A)=
C4
1· A9
9
A10
10
= 4× A9
9
10× A9
9 = 2
5,∴P(B|A)=P( AB)
P( A ) = 1
3,故B 正确;
对于事件B 可分为两种情况,即第一位出场的是男生,第二位出场的是女生,或第一位出
场的是女生,第二位出场的是女生,
∴P(B)=
C6
1·C4
1· A8
8+C4
1·C3
1· A8
8
A10
10
= 6×4× A8
8+ 4×3× A8
8
10×9× A8
8
= 2
5,
∴P(A)=P(B),故C 正确;
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2
5 + 2
5 - 2
15 = 2
3
,故D 正确.故选BCD.
5.ABD 解析 ( 1
√x + √x
2 )n展开式的通项公式为Tk+1=Cn
k( 1
√x )n-k·(√x
2 )k= 1
2
k ·Cn
k x
k - n
2,则前3
项的系数分别为Cn
0, 1
2 Cn
1, 1
4 Cn
2,对于A,由题意可得2× 1
2 Cn
1=Cn
0+ 1
4 Cn
2,即n=1+n(n-1)
8
,
解得n=8 或n=1(舍去),所以n=8,故A 正确;对于B,( 1
√x + √x
2
)8展开式中所有奇数项的二
5
项式系数和为2
8
2
=128,故B 正确;对于C,( 1
√x + √x
2 )8展开式的通项公式为Tk+1= 1
2
k ·C8
kxk-4,
令k-4=0,则k=4,所以( 1
√x + √x
2
)8展开式中常数项为1
2
4 ·C8
4= 35
8 ,故C 错误;对于D,设展开
式中第r+1 项的系数最大,则有{
1
2
r ·C8
r ≥1
2
r -1 ·C8
r -1,
1
2
r ·C8
r ≥1
2
r +1 ·C8
r +1,
解得r=2 或r=3,所以展开式中系
数最大项为第3 项和第4 项,故D 正确.故选ABD.
6.D 解析 719=(8-1)19=819-C19
1 ×818+C19
2 ×817-C19
3 ×816+C19
4 ×815+…+C19
18×8-1,而C19
18×8-
1=151=2×82+2×8+7,故最后一位数为7,故选D.
7.C 解析 抛掷一枚质地均匀的硬币n 次,所有可能的结果有2n种.
事件A 表示“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”,其对立事件A为“n 次都是正面朝上
或n 次都是反面朝上”,A包含的情况有2 种,所以P(A)= 2
2
n = 1
2
n-1 .根据对立事件概率之
和为1,可得P(A)=1-P(A)=1- 1
2
n-1 .
事件B 表示“n 次中至多有一次正面朝上”,即“n 次中没有正面朝上(全是反面朝上)”
或“n 次中有一次正面朝上”.“n 次中没有正面朝上”的情况有1 种;“n 次中有一次正面
朝上”,从n 次中选1 次为正面朝上,有Cn
1=n 种情况.所以事件B 包含的情况共有n+1 种,
则P(B)=n+1
2
n .
事件A∩B 表示“n 次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”,即“n 次
中有一次正面朝上”,有Cn
1=n 种情况,所以P(A∩B)= n
2
n .
因为事件A 与事件B 是独立的,所以P(A∩B)=P(A)P(B),即n
2
n=(1- 1
2
n-1)× n+1
2
n .
可得n=(1- 1
2
n-1)(n+1),展开得n=n+1-n+1
2
n-1 ,即n+1=2n-1.
当n=2 时,2+1=3,22-1=2,等式不成立;当n=3 时,3+1=4,23-1=4,等式成立;当n=4
时,4+1=5,24-1=8,等式不成立.综上,n=3.故选C.
6
8.-873 解析 (x2+ 1
x
2-3)5的展开式的常数项为C5
1·C4
1·(-3)3+C5
2·C3
2·(-3)+
(-3)5=20×(-3)3+30×(-3)+(-3)5=-873.故答案为-873.
9. 3
56
解析 从8 张卡片中随机抽出3 张,则样本空间中样本点的个数为C8
3=56.
因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的3 张卡片上的数字之和与其余5 张卡片
上的数字之和相等,则抽出的3 张卡片上的数字之和应为18,则抽出的3 张卡片上的数字
的组合有8,7,3 或8,6,4 或7,6,5,共3 种,所以符合抽出的3 张卡片上的数字之和为18 的
样本点的个数为3,所以抽出的3 张卡片上的数字之和与其余5 张卡片上的数字之和相
等的概率为3
56 .
10.C 解析 对于A 选项,P(B|A)=P( AB)
P( A )
,若P(AB)>P(B|A),则P(A)>1,不符合题意,故A
选项不正确;
对于B 选项,P(B|A)=P( A B)
P( A ) = P( A B)
1- P( A )
,若1-P(AB)=(1-P(A))·P(B|A),则1-P(AB)=P(A
B),所以P(AB)+P(AB)=1,即P(B)=1,不符合题意,故B 选项不正确;
对于C 选项,因为A 与B 互斥,所以A∩B=⌀,又A ∪A=Ω,B∪B=Ω,所以A⊆B,B⊆A,所以
A ∪B=Ω,故P(A ∪B)=1,故C 选项正确;
对于D 选项,P(AB)≠0,不能说明P(AB)=P(A)P(B)成立,故D 选项不正确.故选C.
11.AB 解析 事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时
发生,所以互斥,故A 正确;
若第一次评定为不合格,设事件Ai=“第i 次评定为合格”,i=2,3.
则事件“小李获得0.4 学分”即事件A2A3,由概率乘法公式得,
P(A2A3)=P(A2)P(A3|A2)=4
5 × 3
5 = 12
25
,故B 正确;
若第一次评定为合格,则由全概率公式得,
P(A3)=P(A3|A2)P(A2)+P(A3|A2)P(A2)=3
5 × 3
5 + 4
5 ×(1-3
5
)=17
25
,故C 错误;
P(A3|A1)=17
25
,若第一次评定为不合格,由全概率公式可得P(A3)=P(A3|A2)P(A2)+P(A3|A2)P(
A2)=4
5 × 3
5 + 4
5 ×(1-4
5
)=16
25
,
7
即P(A3|A1)=16
25
,所以P(A3|A1)≠P(A3|A1),即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概
率有影响,故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”不相互独立,故D 错
误.故选AB.
12. 15
64
解析 设两个不同数为1,2,一个元素被某人选中的概率为1
2
且各元素被选中与否
相互独立,所以一个元素被甲、乙、丙三人都选中的概率为(1
2
)3=1
8
,由A∩B∩C 中元素的
个数m≥1,表示至少一个元素被三人选中,而两个元素均未被三人选中的概率为(1-1
8
)2=
49
64
,所以m≥1 的概率为1-49
64 = 15
64 .
13. 5
72
解析 设“每行都放置两枚棋子”为事件A,“每列都有两枚棋子”为事件B,则
所求概率为P(B|A)=P( AB)
P( A ) = n( AB)
n( A ) .
根据题意,每行都放置两枚棋子,即每行都在4 个方格中选2 个放置棋子,有C4
2种方法,所
以n(A)=C4
2·C4
2·C4
2·C4
2=1 296.
对于“每行每列都放置两枚棋子”,不妨令第一行的两枚棋子放置在左边第一、二个方
格,此时第二行有C4
2=6 种放置方法,则第三、四行的放置方法如图所示,
图1
图2
8
图3
图4
图5
图6
图1 有1 种方法,图2,3,4,5 各有2 种方法,图6 中,第三行有C4
2=6 种放置方法,其选定方格
后,第四行只有唯一的放置方法,所以总共有1+2×4+6=15 种方法.
因为第一行棋子有C2 4=6 种放置方法,其他5 种情况同理,故n(AB)=6×15=90.
所以若每行都放置两枚棋子,则恰好每列都有两枚棋子的概率P(B|A)=
P( AB)
P( A ) = n( AB)
n( A ) =
90
1 296 = 5
72 .故答案为5
72 .
14.D 解析 对于A,1,2,3,4,5,6 的任意排列方法总数为A6
6=720,故A 错误;
对于B,若a1<a2<a3,则先从1,2,3,4,5,6 中随机选出3 个数,共有C6
3=20 种不同的方法,再将
剩下3 个数任意排列,共有A3 3=6 种不同的方法,则满足a1<a2<a3的排列有20×6=120 个,
故B 错误;
对于C,D,因为{a1,a2,a3}={1,2,3},{a4,a5,a6}={4,5,6},X=3,Y=4,
{a1,a2,a3}={1,2,4},{a4,a5,a6}={3,5,6},X=4,Y=3,
{a1,a2,a3}={1,2,5},{a4,a5,a6}={3,4,6},X=5,Y=3,
{a1,a2,a3}={1,2,6},{a4,a5,a6}={3,4,5},X=5,Y=3,
{a1,a2,a3}={1,3,4},{a4,a5,a6}={2,5,6},X=4,Y=2,
{a1,a2,a3}={1,3,5},{a4,a5,a6}={2,4,6},X=5,Y=2,
{a1,a2,a3}={1,3,6},{a4,a5,a6}={2,4,5},X=5,Y=2,
{a1,a2,a3}={2,3,4},{a4,a5,a6}={1,5,6},X=4,Y=2,
9
{a1,a2,a3}={2,3,5},{a4,a5,a6}={1,4,6},X=5,Y=2,
{a1,a2,a3}={2,3,6},{a4,a5,a6}={1,4,5},X=5,Y=2,
所以共有10 种不同的情况,则X>4 的概率为6
10 = 3
5
,故C 错误;
而X>Y 的情况有9 种,故X>Y 的概率为9
10
,故D 正确.故选D.
