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微专题21 数列的奇偶项问题
高考定位 有关数列的奇偶项问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的关
键在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等，涉及求通项、求和
等.(1)求通项公式常用的方法有：隔项等差、等比数列型：将用2k－1 或2k 替代
n，求出a2k－1，a2k的通项；(2)求数列的前n 项和常用的方法有：方法一：分别求
出S 奇，S 偶，利用Sn＝S 奇＋S 偶，这种思路本质上是分组求和；方法二：把a2k－1
＋a2k看作一项，求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k求出S2k－1，这种思路本质上是并
项求和.
【真题体验】
(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前20 项和.
解 (1)因为bn＝a2n，且a1＝1，
an＋1＝
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，
b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
因为bn＝a2n，
所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，
所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，
所以数列{bn}是以2 为首项，3 为公差的等差数列，
所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.
(2)因为an＋1＝
所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，
即a2k＝a2k－1＋1，①
a2k＋1＝a2k＋2，②
a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，
即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③
所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，
即a2k＋1－a2k－1＝3，
所以数列{an}的奇数项是以1 为首项，3 为公差的等差数列；
②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，
又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2 为首项，3 为公差的等差数列.
所以数列{an}的前20 项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10
＋×3＋20＋×3＝300.
【热点突破】
热点一 an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)型
例1 (2024·衡水调研)已知数列{an}的前n 项和为Sn＝n2＋4n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＋1＋cn＝an，且不等式cn＋2n2≥0 对任意的n∈N*都成立，求
c1的取值范围.
解 (1)由题意得
当n＝1 时，a1＝S1＝5，
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3，
当n＝1 时，a1＝5，适合上式，故an＝2n＋3.
(2)由(1)知，cn＋1＋cn＝2n＋3，
当n＝1 时，c2＋c1＝5；
当n≥2 时，cn＋cn－1＝2(n－1)＋3，
两式相减得cn＋1－cn－1＝2(n≥2)，
∴数列{c2n}是以c2为首项，公差为2 的等差数列，
数列{c2n－1}是以c1为首项，公差为2 的等差数列.
当n 为偶数时，cn＝c2＋2×＝n＋3－c1；
当n 为奇数时，cn＝c1＋2×＝n－1＋c1，
∴cn＝
对任意的n∈N*，都有cn＋2n2≥0 成立，
①当n 为奇数时，n≥1，cn＋2n2＝n－1＋c1＋2n2≥0 恒成立，
即－c1≤2n2＋n－1 对n 为奇数恒成立，
当n＝1 时，(2n2＋n－1)min＝2，
∴－c1≤2，即c1≥－2；
②当n 为偶数时，n≥2，
cn＋2n2＝n＋3－c1＋2n2≥0 恒成立，
即c1≤2n2＋n＋3 对n 为偶数恒成立，
当n＝2 时，(2n2＋n＋3)min＝13，∴c1≤13.
综上所述，c1的取值范围是[－2，13].
规律方法 1.构造隔项等差数列：an＋1＋an＝pn＋q(p，q≠0)⇒an＋2＋an＋1＝p(n＋
1)＋q⇒两式相减得⇒an＋2－an＝p；
2.构造隔项等比数列：an＋1·an＝pqn(p，q≠0)⇒an＋2·an＋1＝pqn＋1⇒两式相除得⇒＝
q.
训练1 在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝，记Sn为{an}的前n 项和，bn＝a2n＋a2n
－1.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求Sn.
解 (1)∵an·an＋1＝，
∴an＋1·an＋2＝，
∴＝，即an＋2＝an，
∴＝＝＝.
∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝，
∵b1＝a2＋a1＝＋1＝，
∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，
∴bn＝·＝.
(2)由(1)可知an＋2＝an，且a1＝1，a2＝，
∴数列{a2n}是以为首项，为公比的等比数列，数列{a2n－1}是以1 为首项，为公比
的等比数列，
∴当n 为奇数时，an＝；
当n 为偶数时，an＝，
∴an＝
(3)①当n＝2k 时，
S2k＝(a1＋a3＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋…＋a2k)＝3－，
②当n＝2k－1 时，
S2k－1＝S2k－a2k＝3－－＝3－.
∴Sn＝
热点二 an＝型
例2 已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝
(1)是否存在实数λ，使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ 的值；若不
存在，请说明理由.
(2)若Sn是数列{an}的前n 项和，求满足Sn>0 的所有正整数n.
解 (1)由题意得a2n＋2＝a2n＋1＋2n＋1
＝(a2n－6n)＋2n＋1，
∴a2n＋2＝a2n＋1，
故a2n＋2－＝，
又a2＝＋1＝，∴a2－＝－，
即存在λ＝，使得数列{a2n－λ}是以－为首项，为公比的等比数列.
(2)由(1)知a2n－＝－＝－，
∴a2n＝－，
∵a2n＝a2n－1＋2n－1，得a2n－1＝3a2n－3(2n－1)，
∴a2n＋a2n－1＝4a2n－6n＋3＝－－6n＋9.
①当n＝2k 时，
S2k＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a2k－1＋a2k)，
＝－2＋
＝－3k2＋6k－1；
②当n＝2k－1 时，
S2k－1＝S2k－a2k＝·－3k2＋6k－.
∵与－3k2＋6k 在k∈N*时均单调递减，
∴S2k与S2k－1在k∈N*时均单调递减.
又S1＝1，S2＝，S3＝－，S4＝－，
∴满足Sn>0 的所有正整数n 为1 和2.
规律方法 对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a2n，a2n－1及a2n－1，a2n－
2，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过a2n，a2n－1的关系再推
出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把a2n＋a2n－1看作一项，求出S2k，再求S2k－
1＝S2k－a2k.
训练2 (2024·烟台模拟)记等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn；等比数列
{bn}的公比为q，前n 项和为Tn，已知b3＝4a1，S4＝b3＋6，T3＝7a1.
(1)求d 和q；
(2)若a1＝1，q>0，cn＝求{cn}的前2n 项和.
解 (1)由已知条件可得b1q2＝4a1，①
4a1＋6d＝b1q2＋6，②
b1＋b1q＋b1q2＝7a1，③
由①②消去b1q2得d＝1，
由①③得＝，
所以3q2－4q－4＝0，得q＝2 或q＝－，
所以d＝1，q＝2 或－.
(2)当q>0 时，q＝2，则b1＝a1＝1，
所以an＝n，bn＝2n－1，
所以cn＝
c2n－1＋c2n＝－(2n－1)·22n－1＋2n·22n－1＝22n－1，
则{cn}的前2n 项和为c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c2n－1＋c2n＝(c1＋c2)＋(c3＋c4)＋…＋(c2n
－1＋c2n)
＝2＋23＋25＋…＋22n－1＝＝(4n－1).
热点三 通项公式中含有(－1)n型
例3 (2024·宁波模拟)已知数列{an}满足a1＝1，且对任意正整数m，n 都有am＋n
＝an＋am＋2mn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{(－1)nan}的前n 项和Sn.
解 (1)由对任意正整数m，n 均有am＋n＝an＋am＋2mn，
取m＝1，得an＋1＝an＋1＋2n，
当n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋3＋5＋…＋2n－1＝
＝n2，
当n＝1 时，a1＝1，符合上式，所以an＝n2，n∈N*.
(2)当n 为偶数时，
Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝3＋7＋11＋…＋(2n－1)＝＝；
当n 为奇数时，Sn＝Sn－1＋(－1)nan＝Sn－1－an＝－n2＝.
综上所述，Sn＝
规律方法 通项中含有(－1)n的情形
(1)等差数列的通项公式乘以(－1)n，用并项求和法求数列前n 项的和，
如an＝(－1)n(2n－1)，前20 项的和
a1＋a2＋…＋a20＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－37＋39).
(2)等比数列的通项公式中含有(－1)n，其前n 项和可写成分段的形式，可求最值，
如等比数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·，则其前n 项和Sn＝1－，求Tn＝Sn－的
取值范围时，n 分奇偶讨论，求Tn的最值.
(3)裂项相消法求和
如an＝(－1)n＝(－1)n，
求和时通过(－1)n实现正负交替.
训练3 (2024·珠海质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝λ·2n(n∈N*，λ 是常
数).
(1)若λ＝0，证明：{an}是等比数列；
(2)若λ≠0，且{an}是等比数列，求λ 的值以及数列{(－1)nlog2a3n－1}的前n 项和Sn.
(1)证明 an＋an＋1＝λ·2n(n∈N*)，
当λ＝0 时，an＋an＋1＝0，an＋1＝－an，
所以数列{an}是首项为1，公比为－1 的等比数列.
(2)解 因为a1＝1，an＋an＋1＝λ·2n(n∈N*)，λ≠0，且{an}是等比数列，
所以a1＋a2＝1＋a2＝λ·2，a2＝2λ－1，
a2＋a3＝2λ－1＋a3＝λ·22，a3＝2λ＋1，
所以(2λ－1)2＝1×(2λ＋1)，
而λ≠0，故解得λ＝，
则a2＝2，a3＝4，所以等比数列{an}的公比q＝2，
则an＝2n－1，a3n－1＝23n－2，所以(－1)nlog2a3n－1＝(－1)nlog223n－2＝(－1)n(3n－2).
当n 为偶数时，
Sn＝(－1)＋4＋(－7)＋10＋(－13)＋16＋…＋[－(3n－5)]＋(3n－2)＝3×＝n＝，
当n 为奇数时，
Sn＝Sn＋1－(3n＋1)＝(n＋1)－(3n＋1)＝＝.
综上所述，Sn＝.
【精准强化练】
1.已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝4 且an＋1＝Sn＋4(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)n＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.
解 (1)因为an＋1＝Sn＋4，
当n＝1 时，a2＝S1＋4＝8，
当n≥2 时，an＝Sn－1＋4，
所以an＋1－an＝an，
即an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，
又因为＝＝2，满足上式，
所以{an}是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
则an＝4×2n－1＝2n＋1.
(2)因为bn＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1，
所以Tn＝－＋…＋
(－1)n＋1＝1＋.
2.(2024·潍坊统考)已知正项数列{an}满足a1＝1，an＋1(an＋2)＝2a＋5an＋2(n∈N*).
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)nlog4(an＋1)，数列{bn}的前n 项和为Tn，求Tn.
(1)证明 因为an＋1(an＋2)＝2a＋5an＋2＝(2an＋1)(an＋2)，an>0，
所以an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2 的等比数列.
所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.
(2)解 结合(1)知bn＝(－1)nlog42n＝(－1)n·，
所以当n 为偶数时，Tn＝＋＋…＋＝·n＝n.
当n 为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝－＝－.
所以数列{bn}的前n 项和Tn＝
3.(2024·湖北部分重点中学联考)记Sn为数列{an}的前n 项和，已知a1＝1，a2＝，
且数列{4nSn＋(2n＋3)an}是等差数列.
(1)证明：是等比数列，求{an}的通项公式；
(2)设bn＝求数列{bn}的前2n 项和T2n.
(1)证明 ∵a1＝1，a2＝，∴S1＝1，S2＝，
设cn＝4nSn＋(2n＋3)an，则c1＝9，c2＝18，
又数列{cn}为等差数列，∴cn＝9n，
∴4nSn＋(2n＋3)an＝9n，
∴4Sn＋＝9.
当n≥2 时，4Sn－1＋＝9，
∴4an＋－＝0(n≥2)，
∴－＝0(n≥2)，
又2n＋1≠0，
∴－＝0(n≥2)，
即＝·(n≥2)，
又＝1≠0，
∴是以1 为首项，为公比的等比数列，
∴＝，即an＝.
(2)解 ∵bn＝
且an＝，
∴bn＝
∴T2n＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(31＋33＋…＋32n－1)
＝＋
＝n2＋
＝n2＋，
∴T2n＝n2＋.
4.(2024·合肥调研)已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*).
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2 时，求数列{an}的前n 项和Sn.
解 (1)若数列{an}是等差数列，则
an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.
由an＋1＋an＝4n－3，
得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，
即2d＝4，2a1－d＝－3，
解得d＝2，a1＝－.
(2)法一 由an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，
得an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*).
两式相减，得an＋2－an＝4，
由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1，
所以数列{a2n－1}是首项为a1＝2，公差为4 的等差数列；数列{a2n}是首项为a2＝
－1，公差为4 的等差数列，
所以an＝
当n 为奇数时，an＝2n，an－1＝2n－7.
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－1)＝＋＝；
当n 为偶数时，an＝2n－5，an－1＝2n－2，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝＋＝.
综上，Sn＝
法二 由于an＋1＋an＝4n－3，
于是S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)
＝1＋9＋…＋(8n－7)＝
＝4n2－3n，
由此可得当n 为偶数时，Sn＝，
而当n 为奇数时，n＋1 为偶数，
于是Sn＝Sn＋1－an＋1
＝－(2n－3)
＝.
综上，Sn＝
