曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
微专题应用创新
微专题 巧构造妙转化,破解数列与不等式的综合问题
1.(多选)(2022江苏七市三调,12)已知各项都是正数的数列{a }的前n项和为S ,且S =
n n n
a 1 ,则( )
n+
2 2a
n
A.{ }是等差数列 B.S +S <2S
S2 n n+2 n+1
n
1
C.a >a D.S - ≥ln n
n+1 n n S
n
答案 ABD
2.(2022广东深圳二调,17)已知数列{a }的前n项和S =2a -3.
n n n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
1 1 1 13
(2)若
+ +…+ <
,求满足条件的最大正整数n.
a a a 20
1 2 n
解析 (1)因为S
n
=2a
n
-3,所以a
n+1
=S
n+1
-S
n
=(2a
n+1
-3)-(2a
n
-3),整理得a
n+1
=2a
n
,n∈N*,
又a =S =2a -3,所以a =3.
1 1 1 1
所以数列{a }是首项为3,公比为2的等比数列,
n
所以a
n
=3×2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知数列
{1 } 1 1 1 1 1 2( 1 ) 2( 1 ) 13
是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 + +…+ = 1- ,令 1- <
a 3 2 a a a 3 2n 3 2n 20
n 1 2 n
整理,得2n<40,又n∈N*,所以n=1,2,3,4,5,
所以满足条件的最大正整数n=5.
3.(2022辽宁东北育才学校模拟(六),19)我国南宋时期的数学家杨辉,在他1261年所著的
《详解九章算法》一书中,用如图的三角形解释二项和的乘方规律,此图称为“杨辉三
角”.在此图中,从第三行开始,首尾两数为1,其他各数均为它肩上两数之和.
(1)把“杨辉三角”中第三斜列的各数取出,按原来的顺序排列得一数列
{a
n
}:1,3,6,10,15,…,写出a
n
与a
n-1
(n∈N*,n≥2)的递推关系,并求出数列{a
n
}的通项公式;
第 1 页 共 2 页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1 1 1
(2)已知数列{b
n
}满足b
1
+ b2+ b3+…+ b
n
=2a
n
(n∈N*),设数列{c
n
}满足c
n
=
2 3 n
2n+1 n
,数列{cn}的前n项和为nT,若Tn< λ(n∈N*)恒成立,试求实数λ的取值范
b b n+1
n n+1
围.
解析 (1)由题意可知a =1,n≥2时,a -a =n,
1 n n-1
n(n+1) n(n+1)
所以a =(a -a )+(a -a )+…+(a -a )+a =n+(n-1)+…+2+1= ,故an= .
n n n-1 n-1 n-2 2 1 1
2 2
1 1 1
(2)数列{b }满足b + b + b +…+ b =n2+n,①
n 1 2 2 3 3 n n
1 1 1
当n≥2时,b + b + b +…+ b =(n-1)2+(n-1),②
1 2 2 3 3 n-1 n-1
1
①-②得 b
n
=2n,故b
n
=2n2(n≥2),又n=1时亦成立,所以b
n
=2n2(n∈N*).
n
数列{c
n
}满足c
n
=2n+1
=
2n+1
=
1[ 1
-
1 ],
b b 4n2(n+1)2 4 n2 (n+1)2
n n+1
则T
n
=1[
1-
1
+
1
-
1
+…+
1
-
1 ]
=
1[
1-
1 ]
,由Tn<
n λ(n∈N*)恒
4 22 22 32 n2 (n+1)2 4 (n+1)2 n+1
成立,
得 1[ 1- 1 ] < n λ,整理得λ> n+2 ,因为y= n+2 = 1( 1+ 1 )在n∈N*上
4 (n+1)2 n+1 4n+4 4n+4 4 n+1
单调递减,故当n=1时,( n+2 ) 3 3 (3 ).
= ,即λ> ,所以实数λ的取值范围为 ,+∞
4n+4 8 8 8
max
第 2 页 共 2 页
