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专题 3-8 利用导函数证明不等式
目录
专题3-8利用导函数证明不等式.....................................................................................................1
..................................................................................1
题型一：作差法构造函数证明不等式.............................................................................................1
题型二：放缩法.................................................................................................................................9
题型三：数列不等式证明...............................................................................................................16
.............................................................22
题型一：作差法构造函数证明不等式
【典例分析】
例题1．（2022·河南·扶沟县第二高中高三阶段练习（理））已知函数
．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
（1）
由题可知函数 的定义域为 ，，
即 ，
(i)若 ，
则 在定义域 上恒成立，
此时函数 在 上单调递增；
(ii) 若 ，
令 ，即 ，解得 ,
令 ，即 ，解得 ,
所以 在 上单调递减， 上单调递增.
综上， 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减， 上单调递增.
（2）
当 时， ，
要证明 ，只用证明 ，
令 ， ，
令 ，即 ，可得方程有唯一解设为 ，且 ，
所以 ，
当 变化时， 与 的变化情况如下，单调递减 单调递增
所以 ，
因为 ，因为 ，所以不取等号，
即 ，即 恒成立，
所以， 恒成立，
得证.
例题2．（2022·四川·射洪中学高二期中）已知函数 ．
(1)若函数 的图象在点 处的切线 与直线 平行，求切线 的方
程；
(2)若函数 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见详解．
（1）
，则 ，
由题意可得： ，即 ，
切点坐标 ，切线斜率 ，则切线l的方程为 即 ，∴切线l的方程为 .
（2）
∵ ，即 ，
即证 ，
构建 ，则 ，
构建 ，则 当 时恒成立，
∴ 在 上单调递增，则 ，
即 在 存在唯一的零点 ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
∵ ，则 ，
则 ，
则 ，即 ．
【提分秘籍】
利用导数证明不等式 的基本方法,可作差构造函数 ．若
，则 在 上单调递增．同时 ，即 或若 ，
则
在 上单调递减．同时 ，即 ．
【变式演练】
1．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知 ， ，．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(1)
，当 时， ，即 在 上单调递减，
故函数 不存在极值；
当 时，令 ，得 ，
x
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
故 ，无极小值.
综上，当 时，函数 不存在极值；
当 时，函数 有极大值， ，不存在极小值．
(2)
显然 ，要证： ，
即证： ，即证： ，
即证： ．令 ，故只须证： ．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，所以 ，从而有 ．
故 ，即 ．
2．（2022·广东中山·高二期末）已知函数 在 处有极值2．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）证明： ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）解：由已知， ，则
解得，
经检验， 符合题意.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知， ．
要证 ，
只需证 ．
即 ．
令 ，则 ．
令 ，解得 ．， 的变化情况如下表所示．
1
－ 0 +
单调递减 1 单调递增
所以， 时， 有最小值 ．
故 成立
3．（2022·广东·中山纪念中学高二阶段练习）已知函数 的最小值为
．
(1)求实数 的值；
(2)求证：当 时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
（1）函数 定义域为 ， ．
①若 ，则 ， 在 上单调递增， 没有最小值；
②若 ，则由 ，得 ；由 ，得 ．因此， 在 上
单调递减，在 上单调递增，
故 ,
解得 .
(2)证明：由（1）知 ．
令 ，则
．
当 时， ， ，所以 （当且仅当 时“＝”号成立），
所以 在 上单调递减．
因此，当 时，有 ，即 ．
4．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知函数 ， .
(1)若 在定义域上单调递减，求 的取值范围；
(2)若 ， ，证明：当 时， .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
解：函数 的定义域为 ， ，
由题意可知，对任意的 ， 恒成立，
则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
(2)
证明：当 时， ，要证 ，即证 ，令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，则 ，
因此，当 时， ，对任意的 ， .
题型二：放缩法
【典例分析】
例题1．（2022·新疆·克拉玛依市高级中学高二阶段练习（理））已知函数
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，求证： ．
【答案】(1)函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）解：当 时， 所以
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减.
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）解：当 时， 即证
因为 ，所以即证
设 ，即证 .,
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增.
所以 .
所以原题得证.
例题2．（2022·河南驻马店·高三阶段练习（文））已知函数 在
处的切线经过点 ．
(1)求 的值；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意知， ，则 ．
又 ，所以 ，解得 ．
（2）要证 ，即 ，只需证 ．
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，所以 ．
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，所以 ．
因为 与 不同时为0，所以 ，故原不等式成立．
【提分秘籍】
放缩构造法证明不等式导数的综合应用题中，最常见的就是 和 与其他代数式结合的
问题，对于这类问题，可以先对 和 进行放缩，使问题简化，
便于化简或判断导数的正负．常见的放缩不等式如下：
① ，当且仅当 时取等号；
② ，当且仅当 时取等号；
③当 时， ，当且仅当 时取等号；
④当 时， , 当且仅当 时取等号；
⑤ 当且仅当 时取等号；
⑥当 时， ，当且仅当 时取等号．
【变式演练】
1．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知函数 ， ，
(1)判断函数 的单调性；
(2)证明： .
【答案】(1)在 上单调递减
(2)证明见解析
(1)因为 ， ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，故 ， 在区间 上单调递减，
故 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递减.
(2)
证明： ；
设 ， ， 在区间 上单调递减，
， ，即 ，即 ；
设 ， ， ，
则 在 上单调递增，
， ，
即 ，所以 .
综上， .
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)证明： .
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为(2)证明见解析
(1)
函数的定义域为 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，解得
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
(2)
要证 ，
只需证 ，
因为 ，
所以只需证 即可，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，
所以 ，即 ，
所以
3．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某
个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数
在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种
方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则
该法则表述为：“设函数 ， 满足下列条件：① ， ；
②在点a处函数 和 的图像是连续且光滑的，即函数 和 在点a处存在导
数；
③ ，其中A是某固定实数；
则 .”
那么，假设有函数 ， .
(1)若 恒成立，求t的取值范围；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)见解析
导，判断 的单调性，求出 ，进而得到 ，结合（1），即可证明.
（1）
若 恒成立，即 恒成立，
当 时， ，成立，
当 时， ，令 ，
，令 ，
，
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 即
，所以当 时， ，即 单调递增，
由洛必达法则知： ，
所以当 时， ，所以 ,
同理，当 时，可得 ，所以
综上所述：t的取值范围为 .
（2）
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， ，
所以当 ， ，即 （当且仅当 时，等号成立）
由（1）知， （当且仅当 时，等号成立）
所以 .
4．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知函数 , .
(1)求证： ；
(2)设 ，当 时， ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)证明：令 ,则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 .
(2)
，
①当 时，由（1）知 ，
所以 ,当且仅当 且 时，等号成立，
所以 在 上单调递增，则 恒成立.符合题意；
②当 时，令 ，则
因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
，
则存在唯一的 ，使得 .
所以当 时， ，函数 单调递减，
故当 时， ，不满足题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
题型三：数列不等式证明
【典例分析】例题1．（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数
(1)求 的最大值；
(2)求证：
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为 定义域为 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在 时，取得最大值，即 .
（2）证明：当 ， 时，
不等式左边 ，
不等式右边 ，
因此只需证明： ，
由（1）知， 在 时，取得最大值 ，
∴ 在 恒成立，∴ （当且仅当 时取等号），
∴ ，（当且仅当 时取等号），又 ， ，
所以 ， ， ， ， ，
∴以上各式相加得： ，∴ 得证.
例题2．（2020·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)证明： ， .
【答案】(1)极大值0，无极小值
(2)证明见解析
（1）
解：因为 的定义域为 ，
又 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴当 时，函数 取得极大值 ，无极小值.
（2）
证明：由（1）可知 时， ，即 ，
，令 ，得 ，
∴
，∴ ，
∴ .
【提分秘籍】
数列中不等式的证明本身就是放缩的结果，在证明过程中，要善于观察数列通项的特点，
结合不等式的结构合理地选择放大与缩小，常见的两种放缩方式是：
①放缩成等比数列求和形式；
②放缩成裂项求和形式.
③借助超越不等式放缩
【变式演练】
1．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）已知函数 ．
(1)试比较 与1的大小；
(2)求证： （ ）．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
（1）
的定义域为 ，
令 ，
则 ，
所以 在 为增函数，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
（2）
根据（1）的结论，当 时， ，即 ，
令 ， ，
即 ，
所以
即 （ ）．
2．（2022·山西·高三期中）已知函数 ， ．
(1)当 时，比较 与2的大小；
(2)求证： ， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）当 时， ， ，
所以 ，所以 在 上单调递增，又因
为 ，所以当 时， ，当 时， ，当 时，
（2）由（1）知，当 时， ，即 ，令 ， ，则有 ，即 ，
所以
，
即 ， ．
3．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知函数 .证明：
(1)当 ，不等式 恒成立；
(2)对于任意正整数 ，不等式 恒成立（其中 为自
然常数）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)
要证不等式 成立，即证 恒成立，
，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，所以 恒成立.
(2)
由（1）知 ，令 则 ，
所以 ，即
一、单选题
1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（文））已知命题 ： ， ；命题
：若 ，则 下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于命题 ，构造函数 ， ，
所以 在区间 上 递增，在区间 上 递减，
，故 ， ，即 为真命题.
对于命题 ，若 ，则 ，故 为真命题.
所以 为真， 、 、 为假.
故选：A
2．（2022·河南·高二阶段练习（理））若当 时，关于 的不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，所以 ，
所以当 时 ， 单调递增，当 时 ， 单调递减，
所以 ，即 时， 恒成立，
所以当 时， 恒成立成立；
若当 时，关于 的不等式 恒成立，则 时，关于 的
不等式 恒成立，
当 时，不等式显然成立
当 时，关于 的不等式 恒成立，即 恒成立，
又函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即；
当 时，令 ，则
，所以存在 ，使得 ，
此时 不合题意；
综上实数 的取值范围是 .
故选：A.
3．（2022·山西长治·模拟预测（理））若 ，满足 ，则 （ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】B
【详解】构造函数 ，所以此函数是单调递增函
数，
因此当 时， ，于是有 ，因为当 时， 成立，
所以一定有 ，
当 时， ，满足 ，
故选：B
4．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若 ，其中 ， ，则下列结
论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为 ，其中 ， ，
所以 ，其中 ， ，
令 ， ，
故 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以
故令 ，则 等价于 ，因为 ，故函数 在 单调递增，
所以 等价于 ，即
所以 ，即 .
故选：D
5．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列 满足 ， ，
其中 是自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵ （当 时等号成立），∴ ，
当 时， ，即 ，
则 ， ，
整理得 ，即 ，
即 ， ， ， ，
将 个不等式相加得 ，即 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，即 在 出取得最大值，
，所以 （当 时等号成立），
当 时， （当 时等号成立），
即当 时， ， ， ，
， ，即 ，
同理利用累加法可得 ，即 ，
所以 ，则 ，
故选： .
6．（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中正确的是
① ；② ；③ .
A．①③ B．①②③ C．② D．①②
【答案】B
【详解】对于①：令 ，则 恒成立，
则 是减函数，所以有 恒成立，
所以 成立，所以①正确；
对于②： ，令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以在 处取得最小值，所以 ，
所以 成立，所以②正确；对于③， ， ，令 ，有 ，
所以有当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 时取得最大值，即 ，
所以 ， 恒成立，所以③正确；
所以正确命题的序号是①②③，
故选B.
二、多选题
7．（2022·河北沧州·二模）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】由 得 ，又 ，所以 ，所以
，所以 ，选项 错误；
因为 ，所以 ，即 ，所以
，选项 正确，
因为 ，所以 ，所以 .令
，则 ，所以 在区间 上单调递增，所以
，即 ，又 ，所以 ，即 ，选项 正
确.
故选：BCD
三、填空题
8．（2022·重庆一中高三期中）已知函数 ，关于 的不等式，
的解集是 ，则 ___________.【答案】
【详解】解：函数 的定义域为 ，
因为 ，所以函数 为偶函数，
因为 ，
所以，当 时， ，函数 为增函数，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
当 时， ，
令 ，则 ，
所以，函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 在 时恒成立，
当 时， ，
令 ，则 ，
所以，函数 在 单调递增，
因为
所以存在 ，使得 ，且 时， ，
综上， 的解集是 时， ，且 ，
所以， .
故答案为：
9．（2022·江苏南京·高三阶段练习）当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【详解】∵ ，则
对于 ，则
即 ，则
令 ，则
令 ，则 当 时恒成立
∴ 在 上单调递增，则
即 当 时恒成立
∴ 在 上单调递增，且 当 时恒成立
令 ，则 当 时恒成立
∴ 在 上单调递减，则
即 ，则
∴ ，即
∴ ，则
故答案为： .
四、解答题
10．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数 ．(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）∵ ，∴ ，当 时， ，∴切
点为 ，
∴ 在 处的切线方程为 ；
（2）先证： ，
令 ， ，
∵ ，∴ ，即 在 上单调递增，
∴ ，所以当 时， 成立，
因为当 时， ，
∴ ，
再证： ，
令 ，
∵ ，当 时， 恒成立，∴ 在 上单调递增，
∴ ，
令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，得证.
11．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知函数
(1)求 的单调区间；
(2)证明：
【答案】(1)增区间为 ，减区间为
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ，且
所以
令函数 ，
则 ，
所以 即 在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ；
当 时，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
（2）证明：要证 ，即证
令函数 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
故
令函数 ， ，则
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
故
故 ，
则 ，
即
12．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）已知函数 ，
.
(1)求函数 的极值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求a的取值范围；
(3)证明不等式： .
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)
(3)证明见解析【详解】（1）由 可得 ，此时 单调递增；
由 可得 ，此时 单调递减；
所以当 时， 有极小值，极小值为 ，无极大值
（2）由不等式 上恒成立，
得 ，
因为 ， ，
所以 在 上恒成立
设 ，则 ，
由 得
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 即 ，
所以
（3）证明：由（2）得 在 上恒成立，
令 ，则有 ，
，.
13．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二阶段练习（文））已知函数 ．
(1)求 的最大值；
(2)证明： ．
【答案】(1)-1
(2)证明见解析
(1)
设 ，∴ ，
令 ，解得
当 ，函数 单调递增，
当 时，函数 单调递减，
∴当 时，函数有最大值，最大值为 ，
(2)
由（1）可得 ，所以 .
再设 ，∴ ，
∵ ，在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
综上可得 ．
14．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））已知函数
．(1)若函数 在 处取得极值，求实数 的值，并求函数 的极值；
(2)①若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
②证明：当 时， ．
【答案】(1) ； 极大值为 ，极小值为
(2)① ；②证明见解析
（1）
，又 在 处取得极值，
，解得： ， ，
则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增；在 上单调递减，
的极大值为 ；极小值为 ；
综上所述： ； 极大值为 ，极小值为 .
（2）
① ，
令 ，则 ；
（i）.当 ，即 时， 恒成立， ，则 在 上单调递增，又 ， 恒成立，满足题意；
（ii）.当 ，即 或 时，
令 ，解得： ， ；
当 时， ， 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，又 ， 恒成立，满足题意；
当 时， ，又 ， ， ；
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 时， ，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
②由①知：当 时， 在 上恒成立，即 ；
令 ，则 ， ；
，
，
即当 时， .
15．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)若 ，证明： .【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
(1)
解：由题意可得 .
由 ，得 ；由 ，得 .
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
(2)
证明：要证 ，即证 ，
即证 .
设 ，则 .
由（1）可知当 时， .
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
即 .
