曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第二章 不等式
2.1 不等式及其解法
三年模拟
一、选择题
1.(2022哈尔滨三中模拟,7)下列不等式中一定成立的是( )
1
A. >1(x∈R)
x2+1
1
B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z)
sinx
C.ln(
x2+
1)>ln x(x>0)
4
D.x2+1≥2|x|(x∈R)
1
答案 D 因为x∈R,所以x2+1≥1,所以0< ≤1,故A错误;
x2+1
1
sin x+ ≥2只有在sin x>0时才成立,故B错误;
sinx
因为x2-x+1=(
x-
1) 2 ≥0,所以x2+1≥x,所以ln(
x2+
1)≥ln x,故C错误;
4 2 4 4
因为x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,所以x2+1≥2|x|,故D正确.故选D.
2.(2022江西临川一中4月模拟,6)若实数a,b满足a6<a5b,则下列选项中一定成立的有(
)
A.a<b B.a3<b3
C.ea-b>1 D.ln(a)<0
b
答案 D 因为a6<a5b,所以a6-a5b=a5(a-b)<0,
{ a>0, { a<0,
显然a≠0,所以a(a-b)<0,所以 或
a-b<0 a-b>0,
即0<a<b或b<a<0.
若0<a<b,则a<b,a3<b3,ea-b<e0=1,ln(a)<ln 1=0;
b
若b<a<0,则a>b,a3>b3,ea-b>e0=1,ln(a)<ln 1=0.
b
一定成立的是选项D.故选D.
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3.(2022河南汝州第一中学模拟,2)已知集合A={ 4-x },B={x|x2-
x| ≥0
x+1
(a+1)2x+2a(a2+1)<0},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.{1}∪(2,+∞)
C.{1}∪[2,+∞) D.[2,+∞)
答案 C 由题意A={ 4-x }=(-1,4],B={x|x2-(a+1)2x+2a(a2+1)<0}={x|(x-2a)[x-
x| ≥0
x+1
(a2+1)]<0}.当B=⌀时,2a=a2+1,即a=1,符合题意;当B≠⌀,即a≠1时,B=(2a,a2+1),则有2a≥4或
a2+1≤-1,即a≥2.综上,实数a的取值范围为{1}∪[2,+∞).故选C.
4.(2022黑龙江齐齐哈尔二模,7)若命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x
的取值范围为( )
A.[-1,4] B.[ 5]
0,
3
C.[-1,0]∪[5
,4
] D.[-1,0)∪(5
,4
]
3 3
答案 C 命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则其否定为真命题,
即“∀a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题.
令g(a)=ax2-2ax+x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3,
则{g(-1)≥0, {-x2+3x+4≥0,
即
g(3)≥0, 3x2-5x≥0,
{
-1≤x≤4,
解得
5
所以x∈[-1,0]∪[5
,4
].故选C.
x≥ 或x≤0, 3
3
5.(2022平谷零模,4)已知a<b<0<c,下列不等式正确的是( )
b a
A. > B.a2<c2
a b
C.2a<2c D.log(-a)<log(-b)
c c
答案 C 对于A,
b a b2-a2 b a b a
- = ,又a<b<0,则b2-a2<0,ab>0,故 - <0,即 < ,故A错误;
a b ab a b a b
对于B,当a=-1,c=1时,a2<c2不成立,故B错误;
对于C,由a<0<c,得0<2a<1<2c,故C正确;
对于D,由a<b<0,得-a>-b>0,当c>1时,有log(-a)>log(-b),故D错误.故选C.
c c
6.(2022房山一模,3)若ab>0,且a<b,则下列不等式一定成立的是( )
1 1
A.a2<b2 B. <
a b
b a a+b
C. + >2D. >√ab
a b 2
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答案 C ab>0且a<b⇒a<b<0或b>a>0.
a+b
当a<b<0时,由不等式的性质知a2<b2不成立,选项A错误;a<b<0时,显然 >√ab不成
2
立,选项D错误;ab>0⇒
1 1 1 b a √b a
>0,又∵a<b,∴ < ,选项B错误;ab>0,且a<b,∴ + >2 · =2,选项
ab b a a b a b
C正确.故选C.
1 1
7.(2022福州一模,4)“0<a<b”是“a- <b- ”的( )
a b
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A ∵y=x-
1 1 1 1 1 1 1
在(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数,∴当0<a<b时,a- <b- ,充分性成立;当a- <b- 时,a<b<0或0<a<b或a<-1,b>1,必要性不成立,∴“0<a<b”是“a- <b-
x a b a b a b
”的充分不必要条件.故选A.
8.(2022重庆市育才中学3月月考,3)已知a>b,则下列不等式中一定成立的是( )
1 1
A. < B.a2>b2 C.ln a>ln b D.2a-b>1
a b
1 1
答案 D 对于A,当a=1,b=-1时, > ,故错误;对于B,当a=1,b=-1时,a2=b2,故错误;对于
a b
C,当0>a>b时,ln a,ln b无意义,故错误;对于D,由a>b,得a-b>0,则2a-b>1,故正确.故选D.
1 1
9.(2022广东汕头金山中学期末,4)已知 < <0,则下列结论一定正确的是( )
a b
b a
A.a2>b2 B. + <2
a b
C.|a|a<|a|b D.lg a2<lg(ab)
1 1
答案 D 由 < <0,可得b<a<0,则a+b<0,a-b>0,ab>0.对于A,
a b
b a b
因为a2-b2=(a+b)(a-b)<0,所以a2<b2,A错误;对于B,由 >0, >0,且 ≠
a b a
a b a √b a |a|a |a|a |a|a |a|a a2 a a a
,得 + >2 · =2,B错误;对于C,由|a|a>0,|a|b>0,且 =|a|a-b,当|a|>1时, =|a|a-b>1,此时|a|a>|a|b;当|a|=1时, =|a|a-b=1,此时|a|a=|a|b;当|a|<1时, =|a|a-b<1,此时|a|a<|a|b,C错误;对于D,lg a2-lg(ab)=lg =lg .由b<a<0,得0< <1,所以lg
b a b a b |a|b |a|b |a|b |a|b ab b b b
<0,lg a2<lg(ab),D正确.故选D.
10.(2022江苏苏州学业质量阳光指标调研,7)已知a>b+1>1,则下列不等式一定成立的是(
)
1 1
A.|b-a|>b B.a+ >b+
a b
b+1 eb
C. < D.a+ln b<b+ln a
a-1 lna
答案 C 取a=10,b=8,则|b-a|<b,A错误;
1 1 1
取a=3,b= ,a+ =b+ ,B错误;
3 a b
取a=3,b=1,则a+ln b=3,b+ln a=1+ln 3<1+ln e2=3,即a+ln b>b+ln a,D错误;
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对于C,证明一个不等式:ex≥x+1,令y=ex-x-1,则y'=ex-1,于是x>0时,y'>0,y=ex-x-1单调递
增;x<0时,y'<0,y=ex-x-1单调递减,所以x=0时,y有极小值,也是最小值e0-0-1=0,于是y=ex-
x-1≥0,当且仅当x=0时取等号.ex≥x+1,当x>-1时,两边同时取以e为底的对数可
得,x≥ln(x+1),用(x-1)替换x,得到x-1≥ln x,当且仅当x=1时取等号,因为a>b+1>1,所以
eb>b+1,ln a<a-1,a-1 b+1 b+1 eb ,C正确,故选C.
>1> ,即 <
lna eb a-1 lna
11.(多选)(2022湖南岳阳一中入学考,9)若b<a<0,则下列不等式正确的是( )
1 1
A. < B.|a|+b>0
a+b ab
1 1
C.a- >b- D.ln a2>ln b2
a b
答案 AC 对于A,∵b<a<0,∴a+b<0,ab>0,则
1 1 1 1 1 1
<0< ,A正确;对于B,∵b<a<0,∴-a+b<-a+a=0,∴|a|+b=-a+b<0,B不正确;对于C,设f(x)=x- ,x<0,∵f '(x)=1+ >0,∴f(x)在(-∞,0)上为增函数,又b<a<0,∴f(a)>f(b),即a- >b-
a+b ab x x2 a b
C正确;对于D,∵b<a<0,∴a2<b2,∴ln a2<ln b2,D不正确.故选AC.
12.(多选)(2022福建宁德一中期中,10)下列四个命题中,真命题是( )
1 1
A.若 > ,则x<y
x y
x y
B.若xy>0,则 + ≥2
y x
y y+c
C.若x>y>0,c>0,则 <
x x+c
D.若xy+1>x+y,则x>1,y>1
答案 BC A,取x=1,y=-1,则
1 1 x y x y
> 成立,但x<y不成立,故A中命题是假命题.B,因为xy>0,所以 >0, >0,因此有 +
x y y x y x
≥2
√ x y x y y y+c y(x+c)-x(y+c) c(y-x) c(y-x) y y+c y y+c
· =2,当且仅当 = 时取等号,故B中命题是真命题.C, - = = ,因为x>y>0,c>0,所以 <0,则 - <0,即 <
y x y x x x+c x(x+c) x(x+c) x(x+c) x x+c x x+c
,因此C中命题是真命题.D,由xy+1>x+y⇒xy+1-x-y>0⇒x(y-1)-(y-1)>0⇒(y-1)(x-1)>0,于是
{y-1>0, {y-1<0,
有 或 即x>1,y>1或x<1,y<1,因此D中命题是假命题.故选BC.
x-1>0 x-1<0,
二、填空题
13.(2022天津南开中学统练3,13)已知f(x)=32x-k·3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值
范围为 .
答案 (-∞,2√2)
2 2
解析 x∈R时,f(x)恒为正值等价于∀x∈R,k<3x+ 恒成立.令3x=t(t>0),φ(t)=t+ .
3x t
所以k<φ(t) =2
min
√ 2 2
t· =2√2,当且仅当t= ,即t=√2时“=”成立.所以k的取值范围为(-∞,2√2
t t
).
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14.(2022顺义一模,14)若实数a,b满足a=b-1,则使得0<ab<2成立的一个a的值是
.
1
答案 (答案不唯一)
2
1
解析 由a=b-1得b=a+1,所以0<a(a+1)<2,解得{a|-2<a<-1或0<a<1},可取a= ,答案不唯
2
一.
15.(2022福建三明期末,13)已知命题p:∃x∈R,x2-ax+a<0,若命题p为假命题,则实数a的取
值范围是 .
答案 [0,4]
解析 根据题意得∀x∈R,x2-ax+a≥0恒成立,所以Δ=a2-4a≤0,解得a∈[0,4].
(x+1)|x-3|
16.(2022上海交大附中开学考试,6)不等式 >0的解集为 .
|x|-1
答案 (1,3)∪(3,+∞)
{|x-3|≠0,
解析 由题意得 当x<-1或-1<x<1时,(x+1)(|x|-1)<0,不符合题设;
(x+1)(|x|-1)>0,
{|x-3|≠0,
当x>1时,(x+1)·(|x|-1)>0满足题设,所以 可得x∈(1,3)∪(3,+∞).
x>1,
17.(2022河南名校联盟1月联考,14)命题“∃x 0∈R,使m
x2
-(m+3)x
0
+m≤0”是假命题,则实
0
数m的取值范围为 .
答案 (3,+∞)
解析 若∃x 0∈R,使m
x2
-(m+3)x
0
+m≤0是假命题,则∀x∈R,mx2-(m+3)x+m>0是真命题.当
0
m=0时,mx2-(m+3)x+m>0转化为-3x>0,不合题意;
当m≠0时,有{ m>0, 解得m>3,
(m+3)2-4m2<0,
所以m的取值范围是(3,+∞).
18.(2022四川泸州三模,16)已知x,y∈R,满足2x+2y=4,给出下列四个结论:①x+y≤2;②xy≥1;
③2x+y<3;④4x+4y≥8.其中一定成立的结论是 (写出所有成立结论的编号).
答案 ①④
解析 因为2x+2y=4,
所以4=2x+2y≥2
√2x·2y
⇒2≥
√2x+y
⇒4≥2x+y ⇒x+y≤2,故结论①一定成立;
当x=0,y=log 3时,显然2x+2y=4成立,但是xy≥1不成立,故结论②不一定成立;
2
当x=y=1时,显然2x+2y=4成立,但是2x+y<3不成立,故结论③不一定成立;
因为2x+2y=4,所以4x+4y+2x+y+1=16⇒4x+4y=16-2x+y+1,由①可知:x+y≤2,所以
x+y+1≤3⇒2x+y+1≤23=8⇒-2x+y+1≥-8⇒16-2x+y+1≥16-8=8,
所以4x+4y≥8,因此结论④一定成立.
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