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微专题05 数列经典题型精练
【秒杀总结】
1、给出S 与a 的递推关系，求a，常用思路是：一是转化为a 的递推关系，再求其通项
n n n n
公式；二是转化为 S 的递推关系，先求出S 与n之间的关系，再求a.
n n n
2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太
多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩.
3、几种常见的数列放缩方法：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9）
；
（10）
；（11）
；
（12） ；
（13） .
【典型例题】
例1．（2023·上海·高三专题练习）已知数列 各项均为正数， 为前n项的和，且 ，
， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设 ， 为数列 的前n项和，求 ；
（3）设 为数列 的前n项积，是否存在实数a，使得不等式 对一
切 都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意知 ，即 ，又数列 各项均为正数，
∴当 时， ，
当 时 ，
∴ ，即 ，
∴数列 为首项为1公差为1的等差数列，
故 ；
（2）∵ ，
∴ ，
所以当 时， ，
当 时，
∴ ；（3）由题知 ，
令 ，则 ，
∴ ，
故 单调递减，于是
∴要得不等式 对一切 都成立，则 ．
例2．（2023·浙江·高三开学考试）已知 为数列 的前 项和， ， ， 成等差数
列，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1）因为 ， ， 成等差数列，即 ，
当 时， ，两式相减得 ，
所以 是公比为2的等比数列，
即 ，即 ．由 ，得 ，
所以 的通项公式 ．
（2）由（1）知
，
又因为 ，
，
故
，
∴ ．例3．（2023·浙江·温州中学高三阶段练习）如图，已知曲线 及曲线
．从 上的点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 ，再从点
作直线平行于 轴，交曲线 于点 ．点 的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求 与 之间的关系，并证明： ；
（Ⅱ）若 ，求证： ．
【解析】（Ⅰ）由已知， ，从而有
因为 在 上，所以有
解得
由 及 ，知 ，下证：
解法一：因为 ，所以 与 异号
注意到 ，知 ，
即
解法二：由 可得 ，所以有 ，即 是以 为公比的等比数列；
设 ，则 解得 ，
从而有
由 可得
所以 ，
所以
（Ⅱ）证明：因为
所以
因为 ，所以 ，所以有
从而可知
故
所以
所以例4．（2023·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列 是公差大于0的等差数列，其前 项
和为 ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，其前 项和为 ，则是否存在正整数 ，使得
成等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设出等差数列 的公差，根据给定条件列式计算即可作答．
（2）由（1）的结论求出 ，借助裂项相消法求出 ，再探求 成等差数列的m，n
值即可作答．
（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 （d>0），则 ，解得：
， ，
于是有 ，
所以数列 的通项公式是 ．
（2）由（1）知， ，
因此， ．
假设存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列，
则 ，即 ，整理得 ，
显然n+3是25的正约数，又 ，则 或25，
当 时，即 时， 与 矛盾，当 时，即 时， ，符
合题意，
所以存在正整数使得 ， ， 成等差数列，此时 ， ．
例5．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列 的前 项和为 ，且
．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式；（3）若数列 满足 ，求证： ．
【解析】（1）两边同时除以 ，得 ，再利用等差数列
的定义证明．
（2）由（1）得到 ，再利用数列通项与前n项和的关系求解；
（3）根据 ，得到 证明．
（1）证明：两边同时除以 ，
得 ，
又 ，故 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）由（1）可知， ，
则 ．
当 时， ，
而 符合上式，故 ．
（3）证明：因为 ，故 ，
且 ，
而 ，
故 ．
例6．（2023·浙江·无高三期中）已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ， ，
，若对任意的正整数 ，有
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求证： ．【解析】（1）当 ， ， 时，分别求出通项公式，再综合即可；
（2）利用放缩法进行证明即可．
（1）当 时， 即
奇数项成等比数列
时，
当 时， 即 ①
当 时， ②
②-①得
化简得
即
等式两边同时除以 得
等价于
即
由题知 ，当 时，
故 即
时，
综上， ，
（2）由（1）知，
当 时，
即 ，，，
即
【过关测试】
1．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列 的各项均为非零实数，其前 项和为
，且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， ，求证：数列 是等差数列，并求其前 项和.
【解析】（1） 中令 得： ，
因为数列 的各项均为非零实数，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得： ；
（2） ，即 ，
所以 ， ， ，……， ，以上式子相乘得：
，
因为数列 的各项均为非零实数，且 ，所以 ，
即 ，当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
故数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，
数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，
，所以 ，
所以 ，，
故 ，所以 ，所以数列 是等差数列，
其前 项和 .
2．（2023·全国·高三专题练习）若正项数列 的前 项和 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对于任意的 ，都有 成立，求 的最大值.
【解析】（1） 时， ，且 ，
解得 ，（ 舍去），
， ，
化简可得 时， ，
， ， ， ， ，
累加可得， ，
又 ，故 时， ，
当 时， ,上式也成立，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
， ，
时， 适合该式，
故 .
（2）由（1）得，
（此处不等关系是因为： ，
故 ，当且仅当 时取等号，而 ，故上式中等号取不到），
， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，所以数列 是递减数列，
所以 ，
因为 ，都有 成立，
所以 .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明：数列 为等比数列，求 的通项公式．
(2)若数列 的前 项和为 ，且 恒成立，求实数 的取值范
围．【解析】（1）由 可得 ，且
，
故 是以2为首项，3为公比的等比数列，故 ，
所以 ，又 ，
故 ，即 .
（2）由（1） 为等比数列，故 ，
故 即 恒成立，求 的最大值即可.
设 ，则 ，
令 有 ，故当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而
减小.
又 ，故 为 的最大值，为 ，
所以 ， .
4．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)证明： .
【解析】（1） ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以
（2）由（1）知 ，
即 （当且仅当 时等成立），
令 ，则 ，所以 ，而 ，故 ，
从而 ， ，…， ，
累加可得 ，命题得证.
5．（2023·全国·高三专题练习）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成
新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓
展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c
经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为 ，所有项的和记为 ．
(1)求 、 ；
(2)若 ，求n的最小值；
(3)是否存在实数a、b、c，使得数列 为等比数列？若存在，求a、b、c满足的条件；
若不存在，说明理由．
【解析】（1）原数列有3项，经第1次拓展后的项数 ；
经第2次拓展后的项数 ；
（2）数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第n次拓展后的项数为 ，
则经第 次拓展后增加的项数为 ，
所以 ，所以 ，
由（1）得 ， ，所以 ，
由 ，即 ，解得 ，
所以n的最小值为10；
（3）设第n次拓展后数列的各项为 ， ， ， ，…， ， ，
所以 ，
因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以 ，
即 ，
所以 ，
得 ，由 ，则 ，
若使 为等比数列，则 或 ，
所以a、b、c满足的条件为 或 ．
6．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有
.
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）证明：因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，则有 ，
所以 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
则 的奇数项为以 为首项， 为公比的等比数列；偶数项是以 ， 为公差
的等差数列.所以当 为偶数，且 时，
；
当 为奇数，且 时， 为偶数，
.
时， ，满足.
所以，当 为奇数，且 时，有 .
综上， .
7．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知 为数列 的前 项和， ，
．
(1)求 ；
(2)若 ，证明： ．
【解析】（1） ①
时， ②
则①-②得 ，
当 时可整理得 ，
即 ，
由①当 时， ，得 ，当 时， ，得 ，
，
，
又 ， ，符合 ，
；
（2）由（1）得 ，
，
8．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知数列 的前 项和为 ，
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和为 ．
【解析】（1） ①,
当 时， ②，
①-②得 ，即 ，
又 ，得 ，
，
又 不符合
；（2）当 时，
当 时， ，
当 时，
，
又当 时， ，符合
.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，设 为
的前 项和，证明：
(1)数列 单调递减；
(2) ．
【解析】（1） ，即 ，
且 ，
又因为当 时， ，此时数列 为常数列，不满足 ，
所以 ，故数列 单调递减．
（2）
．
．10．（2023·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知数列 ， 其前 项
和分别为 ， 且分别满足 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式.
(2)将数列 ， 的各项按 ， ， ， … ， 顺序排列组成数列 ，求数列
的前 项和 .
【解析】（1）由条件： 知：
，
，
当 时， 符合，
所以 ；
， 是等比数列，
又 ；
（2）当 时，
，
当 时，
；
当 时， ，
当 时， .
11．（2023·山东滨州·高三统考期末）设公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，若
，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；(2)求满足条件 的正整数 的最大值．
【解析】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
因为 ，且 ， ， 成等比数列，
所以 ， ，
即 ，解得
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知 ，易得 ，
则 ，
所以 ．
，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以正整数 的最大值为674．
12．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知数列 的通项公式为
，等比数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ， 的前n项和分别为 ， ，求满足 （ ）的所有数对 ．
【解析】（1）由 ，所以 ，故 ，
所以等比数列 的公比为 ，
故 ，所以 ，即等比数列{ }的通项公式为 ；（2）由已知得： ，
由（1）可知 ，
由 ，所以 ，
即 ，故 ，
因为m正整数， ，所以 ，
，
故满足条件所有数对为 ．
13．（2023·福建·统考一模）已知正项数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)将数列 和数列 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列 ，求
的前50项和．
【解析】（1）依题意 ，
当 时， ，解得 ，
由 ，
当 时，有 ，
作差得： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以 .
（2）由（1）得， ，
又 ，同时 ，
所以
所以．
所以 的前50项和为2150．
14．（2023·辽宁·校联考模拟预测）记正项数列 的前n项积为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)记 ，求数列 的前2n项和 ．
【解析】（1）由题意得 ，又 ，
所以 ，即 ，所以 ．
当n＝1时， ，所以 ，解得 ＝3，
故 是以3为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可知， ，
所以 ，
所以
．
15．（2023·湖北武汉·高三统考期末）已知数列 满足 ， ，
， 表示数列 的前 项和
(1)求证：
(2)求使得 成立的正整数 的最大值
【解析】（1）证明：由 得累加得
于是 .
（2）由 ， ，得：对任意 ， ，
进而 ，故数列 单调递增，
由（1）可知 ，故 ，
于是只需求使得 最大的正整数 ，
从而只需求使得 最大的正整数 ，
由 ， ，列举得： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
结合数列 单调递增，于是使得 最大的正整数 为11.
16．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列 满足
(1)求证： 为等差数列；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由 ，可得
因此 为等差数列，且公差为 .
（2）又因为 ，所以 ，所以
所以
得
17．（2023·天津北辰·高三校考期末）已知 为等差数列， 为等比数列，
．(1)求 和 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ；
(3)记 ．是否存在实数 ，使得对任意的 ，恒有 ？
若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）若 的公差为 ，结合题设可得： ，又 ，故 ，
∴ ，
若 的公比为 且 ，结合题设可得： ，又 ，故 ，
∴ .
（2）由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
以上两式相减，得： ，
∴ .
（3）由题设， ，要使任意 恒有 ，
∴ ，则 恒成立
当 为奇数时， 恒成立，而 ，故当 且 时，存在 使其成
立；
当 为偶数时， 恒成立，而 ，故当 且 时，存在
使其成立；
综上，存在实数 ，使得对任意的 ，恒有 .
18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）在①
；② ；③ ， ，三个条件
中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一
个解答计分．
已知正项数列 的前n项和为 ，且______，
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，若数列 满足 ，求证： ．
【解析】（1）选择条件①，因为 ，所以
，
因为 ，所以 ，则 ，
当 时， ，
所以两式相减得： ，即 ，则 ，
当 时， ，所以 符合上式，
所以 ；
选择条件②，因为 ，
当 时， ，
所以两式相减得： ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 或 （舍），
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ；
选择条件③，因为 ，所以 ，
累乘得： ， ，
所以 ， ，又 符合式子，所以 ， ，
当 时， ，
所以两式相减得： ，即 ，
又 符合上式，所以 ；
（2）由（1）得： ，则 ，
所以
.19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，且
．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记 的前 项和为 ，若 ，均有 ，求实数 的取值
范围．
【解析】（1）由 得： ，
又 ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）得： ，即 ，
，又 ，
数列 为常数列且 ，即 ，
， ，
则由 得：
令 ，
则 ；
当 为奇数时， 恒成立，则 ；
当 为偶数时， ，
单调递增， ；
综上所述： 单调递增， ，
，解得： ，即实数 的取值范围为 .
20．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知二项式 的展开式的各项系数
和构成数列 数列 的首项 ，前 项和为 ，且当 时，有．
(1)求 和 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 对任意的正整数 恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）令 得 ，
由 ，得 ，
化简得 ，两边同除 ，
，
为公差 的等差数列， ，
，
（2） ，
，
，
通过 得
．
，
恒成立，即 对任意的 恒成立．分离参数得 ，令 ，
由 ，
得 为单调递增数列，所以 .
即 ．
