曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
2.2 基本不等式
三年模拟
一、选择题
1.(2022山西怀仁一中二模,6)函数y=3x+ 4 ( 1)的最小值为( )
x>
3x-1 3
A.8 B.7 C.6 D.5
1
答案 D 因为x> ,所以3x-1>0,
3
4 4
所以y=3x+ =(3x-1)+ +1≥2
3x-1 3x-1
√ 4 4
(3x-1)· +1=5,当且仅当3x-1= ,即x=1时等号成立,
3x-1 3x-1
故函数y=3x+ 4 ( 1)的最小值为5.故选D.
x>
3x-1 3
2.(2022哈尔滨九中三模,6)已知x,y都是正数,且x≠y,则下列选项不恒成立的是( )
x+ y x y
A. >√xyB. + >2
2 y x
2xy 1
C. <√xyD.xy+ >2
x+ y xy
x+ y x y 2xy 2xy
答案 D x,y都是正数,由基本不等式得 ≥√xy, + ≥2, ≤ =√xy,这三
2 y x x+ y 2√xy
个不等式都是当且仅当x=y时等号成立,而题中x≠y,因此等号都取不到,所以A,B,C中三
1 1
个不等式恒成立;xy+ ≥2,当且仅当xy=1时取等号,如x= ,y=2时即可取等号,D中不等
xy 2
式不恒成立.故选D.
3.(2022江西赣州期末,8)已知函数y=ax-1+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点A,且点A在直线
1 1
mx-y+n=0(m>0,n>0)上,则 + 的最小值为( )
m n+1
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 D 函数y=ax-1+2(a>0,且a≠1)中,令x-1=0,得x=1,y=3,即函数的图象恒过点A(1,3),
由点A在直线mx-y+n=0(m>0,n>0)上,有m+n+1=4,
于是得1 1 1 ( 1 1 ) 1( n+1 m )≥
+ = (m+n+1) + = 2+ +
m n+1 4 m n+1 4 m n+1
1( √n+1 m )=1,
2+2 ·
4 m n+1
当且仅当m=2,n=1时取“=”.故选D.
4.(2022山东潍坊二模,7)已知正实数a,b满足a2+2ab+4b2=6,则a+2b的最大值为( )
A.2√5B.2√2C.√5 D.2
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答案 B 因为(a+2b) 2 -2ab=(a-2b) 2 ≥0,
2 2
所以2ab≤(a+2b) 2 ,当且仅当a=2b时等号成立.
2
因为a2+2ab+4b2=6,所以(a+2b)2-2ab=6,
即(a+2b)2-6=2ab,所以(a+2b)2-6≤(a+2b) 2 ,即(a+2b)2≤8,因为a,b为正实数,所以a+2b>0,因
2
{a=√2,
此0<a+2b≤2
√2,故a+2b的最大值为2√2,此时 √2
故选B.
b= ,
2
5.(2022陕西咸阳二模,11)若x>0,y>0且x+y=2,则下列结论中正确的是( )
A.x2+y2的最小值是1
1
B.xy的最大值是
4
2 1
C. + 的最小值是4√2
x y
D.√x+√y的最大值是2
答案 D 对于A,∵x2+y2=(x+y)2-2xy=4-2xy≥4-2·(x+ y) 2 =2(当且仅当x=y=1时取等号),
2
∴(x2+y2) =2,A错误;
min
对于B,∵xy≤(x+ y) 2 =1(当且仅当x=y=1时取等号),∴(xy)
max
=1,B错误;
2
对于C,∵2 1 1(2 1) 1( 2y x)≥
+ = + (x+ y)= 3+ +
x y 2 x y 2 x y
1 ( √2y x) 3+2√2 2y x时取等号 ,∴(2 1) 3+2√2,C
× 3+2 · = 当且仅当 = + =
2 x y 2 x y x y 2
min
错误;
对于D,∵(√x+√y)2=x+ y+2√xy=2+2√xy≤2+x+y=4(当且仅当x=y=1时取等号),
∴(√x+√y) =2,D正确.故选D.
max
4 1
6.(2022红桥一模,8)设a>0,b>1,若a+b=2,则 + 的最小值为( )
a b-1
A.6 B.9 C.3√2 D.18
答案 B a+b=2⇒a+(b-1)=1,又a>0,b-1>0,
∴4 1 (4 1 )
+ =[a+(b-1)] +
a b-1 a b-1
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4(b-1) a √4(b-1) a
=5+ + ≥5+2 · =9,
a b-1 a b-1
4(b-1) a 2 4
当且仅当 = ,即a= ,b= 时“=”成立.
a b-1 3 3
1 3
7.(2022北航附中统练一,5)设a>0,b>0.若√3是3a与3b的等比中项,则 + 的最小
a b
值为( )
A.4√3B.4+√3C.4+2√3 D.8
答案 C 由题意得,3a·3b=(√3)2⇔3a+b=3,即a+b=1,
所以1 3 (1 3) b 3a≥4+2
+ = + (a+b)=4+ +
a b a b a b
√b 3a b 3a
· =4+2√3,当且仅当 = ,即b=√3a时,等号成立.故选C.
a b a b
8.(2022陕西咸阳模拟,9)已知3a=5b=√15,则下列选项错误的是( )
A.a+b=2ab
B.ab>1
C.log a+log b>0
2 2
D.( 1) 2+( 1) 2 1
a- b- <
2 2 2
答案 D 由 3 a =5 b = √15,得a=log3√15,b=log5√15,
1 1
所以 + =log 3+lo
a b √15
1 1
g 5=2,整理得a+b=2ab,故A正确;由上分析知a>1,b>0,则2= + ≥2
√15 a b
√1 1
· ,得ab≥1,又a≠b,所以ab>1,故B正确;因为log a+log b=log (ab),ab>1,所以
2 2 2
a b
1
( 1) 2 ( 1) 2
log a+log b=log (ab)>0,故C正确;因为1 1 1 2 ,则 a- + b-
2 2 2 + =2,所以b= + 2 2
a b 2 2a-1
( 1) 2 1
= a- + ≥1 >1,所以
2 ( 1) 2 ,当且仅当a=1时,等号成立,又a=log3√15
16 a- 2
2
( 1) 2+( 1) 2 1,D错误.
a- b- >
2 2 2
9.(多选)(2022广东福田一中月考)设正实数x,y满足2x+y=1,则( )
A.x∈( 1) 1
0, B.xy的最大值为
2 4
1
C.x2+y2的最小值为 D.4x+2y的最小值为4
5
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1 1
答案 AC A,由2x+y=1,得y=1-2x,因为y>0,所以1-2x>0,x< ,又x>0,所以0<x< .故
2 2
A正确.
1
{y= ,
B,由x>0,y>0,得1=2x+y≥2 ,则xy≤ 1 { 2x= y, 2 时等号成立.
√2xy ,当且仅当 即
8 2x+ y=1, 1
x=
4
故B不正确.
C,x2+y2=x2+(1-2x)2=5x2-4x+1=5( 2) 2 1 1 1
x- + ,因为0<x< ,所以x2+ y2的最小值为
5 5 2 5
,故C正确.
D,由4x+2y=22x+2y≥2 ,
√22x·2y=2√22x+y=2√2
1
{y= ,
当且仅当{ 2x= y, 2 时等号成立.故D不正确.故选AC.
即
2x+ y=1, 1
x=
4
1 4
10.(多选)(2021山东潍坊四中检测,10)已知a>1,b>0,且 + =1,则下列命题正确的是(
a-1 b
)
A.a>2
B.ab-b的最小值为16
C.a+b的最小值为9
1 9
D. + 的最小值为2
a-2 b
答案 ABD A项,由已知得
4 1 a-2 4 a-2 1 4
=1- = ,由于b>0,所以 = >0,解得a<1或a>2,又a>1,所以a>2,故该项正确.B项,由于a-1>0,b>0,所以1= +
b a-1 a-1 b a-1 a-1 b
≥2
√ 1 4 √ 1 1 4 √ 1
· =4 当且仅当 = ,即a=3,b=8时等号成立.所以
a-1 b (a-1)b a-1 b (a-1)b
1
≤ ,即(a-1)b≥16.所以(a-1)·b=ab-b的最小值为16,故该项正确.C
4
项,a+b=(a-1)+b+1=[(a-1)+b]·( 1 4) b 4(a-1)+1≥6+2
+ +1=5+ +
a-1 b a-1 b
√ b 4(a-1) b 4(a-1) 1 4 b-4 1 b-4 b b 4 1 9 b-4 9 b 9
· =10,当且仅当 = ,即a=4,b=6时等号成立,故该项不正确.D项,由已知得 =1- = ,又a>1,所以 >0,即 >0,又b>0,所以b>4.又a-1= ,所以a-2= -1= >0,所以 + = + = +
a-1 b a-1 b a-1 b b a-1 b b-4 b-4 b-4 a-2 b 4 b 4 b
√b 9
-1≥2 · -1=2(当且仅当b=6时等号成立),故该项正确.
4 b
二、填空题
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11.(2022天津耀华中学统练9,14)已知正实数a,b满足lg(a+b)=lg
2b a 1 1 a
+lg ,则 + + 的最小值为 .
a b 2a 2b b
1+√5
答案
2
2b a 2b
解析 ∵lg(a+b)=lg +lg =lg ·
a b a
a 1 1 a 1( 1 1 ) a 1 b 5a≥
=lg 2,∴a+b=2,∴ + + = + (a+b)+ = + +
b 2a 2b b 2 2a 2b b 2 4a 4b
{ b 5a { a=
√5-1
,
1 √ b 5a 1 √5 = , 2 1 1 a 1+√5
+2 · = + ,当且仅当 4a 4b 即 时等号成立,∴ + + 的最小值为
2 4a 4b 2 2 5-√5 2a 2b b 2
a+b=2, b=
2
.
3 y 1 1
12.(2022塘沽一中适应性测试,13)已知x>0, y>0,x+y=1,则 + + 的最小值为
x x y
.
答案 6
3 y 1 1 3 y x+ y x+ y 4 y x √4 y x
解析 ∵x+y=1,∴ + + = + + = + +2≥2 · +2=6,
x x y x x y x y x y
4 y x 2
当且仅当 = ,即x=2y= 时,“=”成立.
x y 3
n 9m 2n
13.(2022天津一中周练4,12)已知m,n为正实数,则当 =时, + 取得最小值.
m m+2n m
答案 1
n
解析 ∵m,n为正实数,∴ >0,
m
9m 2n 9 2n 9 2n
+ = + = +1+
∴m+2n m 2n m 2n m -1
1+ 1+
m m
√ 9 ( 2n)
≥2 · 1+ -1=2×3-1=5,
2n m
1+
m
9 2n n
=1+ ,即
当且仅当 2n m m=1时等号成立,
1+
m
n 9m 2n
∴当 =1时, + 取得最小值5.
m m+2n m
14.(2022天津塘沽一中线上统练,13)已知实数a>0,b>0,且满足ab-a-2b-2=0,则(a+1)(b+2)
的最小值为 .
答案 25
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解析 因为a>0,b>0,且满足ab-a-2b-2=0,
a+2 4
所以b= >0, 所以a>2,b=1+ ,
a-2 a-2
12 12
则(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=a+2b+2+2a+b+2=3(a+b)+4=3a+ +7=3(a-2)+ +13≥2
a-2 a-2
√ 12
3(a-2)· +13=25,
a-2
12
当且仅当3(a-2)= ,即a=4,b=3时取等号.
a-2
2 6 5 2
15.(2022河北二模,15)已知a>0,b>0,且a+ +b+ =10,则 - 的最大值为 .
a b b a
答案 4
5 2 6 1 2 4
解析 由题意知 - = - + -
b a b b a a
=10-( 4 1)
a+ +b+
a b
≤10-( √ 4 √ 1)=4,
2 a· +2 b·
a b
4 1
当且仅当a= 且b= ,即a=2,b=1时,“=”成立.
a b
2 6
当a=2,b=1时,a+ +b+ =10成立.
a b
5 2
∴ - 的最大值为4.
b a
16.(2022南开二模,14)已知a>0,b>0,则
2a+b
的最大值是 .
√4a2+b2-√ab
答案 2√2
解析 2a+b ≤ 2a+b
√4a2+b2-√ab 2√ab-√ab
2a+b 2√a √b
= = + ,
√ab √b √a
当且仅当b=2a时,“=”成立.
2√a √b
又 + ≥2√2(当且仅当2a=b时“=”成立),
√b √a
所以
2a+b
≤2 .
√2
√4a2+b2-√ab
17.(2022安徽宣城模拟,14)已知a,b为正实数,直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切于点
1 1
(x ,y ),则 + 的最小值是 .
0 0
a b
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答案 4
解析 对y=ln(x+b)求导得y'=
1 1 1 1 (1 1) b a
,因为直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0,y0),所以 =1,即x0=1-b,所以y0=ln(x0+b)=ln(1-b+b)=0,所以切点为(1-b,0).由切点(1-b,0)在直线y=x-a上可得1-b-a=0,即b+a=1,又a,b>0,所以 + = + (a+b)=2+ +
x+b x +b a b a b a b
0
√b a 1 1 1
≥2+2 · =4,当且仅当b=a= 时,等号成立.所以 + 的最小值是4.
a b 2 a b
a+b+c
18.(2022河南焦作模拟,15)已知a,b,c均为正数,则 的最小值为 .
√ab+√ac
答案 √2
(a ) (a )
解析
+b + +c
≥
a+b+c 2 2
=
√ab+√ac √ab+√ac
√ab √ac
2 +2 .
2 2 a a+b+c
=√2,当且仅当 =b=c时取等号,所以 的最小值为√2
√ab+√ac 2 √ab+√ac
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