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专题 3-8 利用导函数证明不等式
目录
专题3-8利用导函数证明不等式.....................................................................................................1
..................................................................................1
题型一：作差法构造函数证明不等式.............................................................................................1
题型二：放缩法.................................................................................................................................9
题型三：数列不等式证明...............................................................................................................16
.............................................................22
题型一：作差法构造函数证明不等式
【典例分析】
例题1．（2022·河南·扶沟县第二高中高三阶段练习（理））已知函数
．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ．
例题2．（2022·四川·射洪中学高二期中）已知函数 ．(1)若函数 的图象在点 处的切线 与直线 平行，求切线 的方
程；
(2)若函数 ，求证： ．
【提分秘籍】
利用导数证明不等式 的基本方法,可作差构造函数 ．若
，则 在 上单调递增．同时 ，即 或若 ，
则
在 上单调递减．同时 ，即 ．
【变式演练】
1．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知 ， ，
．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： ．
2．（2022·广东中山·高二期末）已知函数 在 处有极值2．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）证明： ．
3．（2022·广东·中山纪念中学高二阶段练习）已知函数 的最小值为．
(1)求实数 的值；
(2)求证：当 时， ．
4．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知函数 ， .
(1)若 在定义域上单调递减，求 的取值范围；
(2)若 ， ，证明：当 时， .
题型二：放缩法
【典例分析】
例题1．（2022·新疆·克拉玛依市高级中学高二阶段练习（理））已知函数
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，求证： ．
例题2．（2022·河南驻马店·高三阶段练习（文））已知函数 在处的切线经过点 ．
(1)求 的值；
(2)证明：当 时， ．
【提分秘籍】
放缩构造法证明不等式导数的综合应用题中，最常见的就是 和 与其他代数式结合的
问题，对于这类问题，可以先对 和 进行放缩，使问题简化，
便于化简或判断导数的正负．常见的放缩不等式如下：
① ，当且仅当 时取等号；
② ，当且仅当 时取等号；
③当 时， ，当且仅当 时取等号；
④当 时， , 当且仅当 时取等号；
⑤ 当且仅当 时取等号；
⑥当 时， ，当且仅当 时取等号．
【变式演练】
1．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知函数 ， ，
(1)判断函数 的单调性；
(2)证明： .
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数 .(1)求 的单调区间；
(2)证明： .
3．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某
个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数
在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种
方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则
该法则表述为：“设函数 ， 满足下列条件：
① ， ；
②在点a处函数 和 的图像是连续且光滑的，即函数 和 在点a处存在导
数；
③ ，其中A是某固定实数；
则 .”
那么，假设有函数 ， .
(1)若 恒成立，求t的取值范围；
(2)证明： .
4．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知函数 , .(1)求证： ；
(2)设 ，当 时， ，求实数 的取值范围．
题型三：数列不等式证明
【典例分析】
例题1．（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数
(1)求 的最大值；
(2)求证：
例题2．（2020·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)证明： ， .
【提分秘籍】
数列中不等式的证明本身就是放缩的结果，在证明过程中，要善于观察数列通项的特点，
结合不等式的结构合理地选择放大与缩小，常见的两种放缩方式是：①放缩成等比数列求和形式；
②放缩成裂项求和形式.
③借助超越不等式放缩
【变式演练】
1．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）已知函数 ．
(1)试比较 与1的大小；
(2)求证： （ ）．
2．（2022·山西·高三期中）已知函数 ， ．
(1)当 时，比较 与2的大小；
(2)求证： ， ．
3．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知函数 .证明：
(1)当 ，不等式 恒成立；(2)对于任意正整数 ，不等式 恒成立（其中 为自
然常数）
一、单选题
1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（文））已知命题 ： ， ；命题
：若 ，则 下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南·高二阶段练习（理））若当 时，关于 的不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西长治·模拟预测（理））若 ，满足 ，则 （ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
4．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若 ，其中 ， ，则下列结
论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．5．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列 满足 ， ，
其中 是自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中正确的是
① ；② ；③ .
A．①③ B．①②③ C．② D．①②
二、多选题
7．（2022·河北沧州·二模）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2022·重庆一中高三期中）已知函数 ，关于 的不等式，
的解集是 ，则 ___________.
9．（2022·江苏南京·高三阶段练习）当 时， 恒成立，则实
数 的取值范围为__________.
四、解答题
10．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；(2)当 时，求证： ．
11．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知函数(1)求 的单调区间；
(2)证明：
12．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）已知函数 ，
.
(1)求函数 的极值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求a的取值范围；
(3)证明不等式： .
13．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二阶段练习（文））已知函数 ．
(1)求 的最大值；
(2)证明： ．
14．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））已知函数．
(1)若函数 在 处取得极值，求实数 的值，并求函数 的极值；
(2)①若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
②证明：当 时， ．
15．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)若 ，证明： .
