文档文本内容
2.2 基本不等式
考点清单
学生用书P6 知识结构化 考点清单化
考点 基本不等式 当且仅当ａ ｂ时 上面不等式 成立.
＝ ꎬ “＝”
运用基本不等式及其变形时 一定要验证等号是否成立.
１.基本不等式 ꎬ
３.基本不等式与最值
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 已知ｘ ｙ
>０ꎬ >０ꎬ
如果积ｘｙ是定值ｐ 那么当且仅当ｘ ｙ时 ｘ ｙ有最小值
ａ ｂ (１) ꎬ ＝ ꎬ ＋
ａｂ ＋ ａ ꎬｂ ａ ｂ
≤ >０ >０ ＝ ｐ 简记 积定和最小 .
２ ２ ( : )
ａ ｂ 如果ｘ ｙ是定值ｓ 那么当且仅当ｘ ｙ时 ｘｙ有最大值
ｓ２
其中 ＋ 为正数ａ ｂ的算术平均数 ａｂ为正数ａ ｂ的几何平 (２) ＋ ꎬ ＝ ꎬ
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ４
２ 简记 和定积最大 .
均数 基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数不小于它 ( : )
ꎬ :
们的几何平均数.
２.基本不等式的变形
ａ２ ｂ２ ａｂ ａ ｂ Ｒ .
(１) ＋ ≥２ ( ꎬ ∈ )
ａ ｂ
ａ ｂ同号 .
(２) ｂ ＋ ａ ≥２( ꎬ )
(ａ ｂ)
２
ａｂ ＋ ａ ｂ Ｒ .
(３) ≤ ( ꎬ ∈ )
２
ａ２ ｂ２ ａ ｂ
＋ ＋ ａｂ ２ ａ ｂ .
(４) ≥ ≥ ≥ ( >０ꎬ >０)
２ ２ １ １
ａ ＋ ｂ
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１４
注意 ( )此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相
１
等”.“一正”指正数ꎬ“二定”指求最值时和或积为定值ꎬ“三
相等”指等号成立.( )连续使用基本不等式时ꎬ牢记等号要
２
同时成立.
题型方法
学生用书P7 题型经典 方法实用
利用基本不等式求最值的方法
例 已知ｘ ｙ ｚ 且 ９ １ 则ｘ ｙ ｚ的最小值为
１.代数式最值的求解方法 拼凑法 (１) >０ꎬ >０ꎬ >０ꎬ ｙ ｚ＋ ｘ ＝１ꎬ ＋ ＋
——— ＋
拼凑法就是将相关代数式进行适当变形 通过添项 拆项 变系
ꎬ 、 、 ( )
数 凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式 然后利用
、 ꎬ Ａ.８ Ｂ.９ Ｃ.１２ Ｄ.１６
基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质在于代数式的灵活
已知ｘ ｙ均为正数 且 １ １ ２ 成等差数列 则ｘ ｙ的最
变形 拼系数 凑常数是关键. (２) ꎬ ꎬ ｘ ꎬ ꎬ ｙ ꎬ ＋
ꎬ 、 ２
２.条件最值的求解方法 常数代换法 小值为
——— ( )
用常数代换法求最值的步骤
(１) Ａ.４ Ｂ.３ Ｃ.２ ２ Ｄ.３＋２ ２
根据已知条件或其变形确定定值 常数
① ( )ꎻ 解析 ｙ ｚ ｙ ｚ 又ｘ ９ １ ｘ ｙ
把确定的定值 常数 变形为 (１)∵ >０ꎬ >０ꎬ∴ ＋ >０ꎬ >０ꎬｙ ｚ＋ ｘ ＝１ꎬ∴ ＋ ＋
② ( ) １ꎻ ＋
把 的表达式与所求最值的表达式相乘或相除 进而构造 ( ) ｘ ｙ ｚ ｘ ｙ ｚ
③ “１” ꎬ ｚ ｘ ｙ ｚ １ ９ ９ ＋ ９ ＋
和或积为定值的形式 ＝[ ＋( ＋ )] ｘ ＋ｙ ｚ ＝１０＋ｙ ｚ＋ ｘ ≥１０＋２ ｙ ｚ ｘ ＝
ꎻ ＋ ＋ ＋
利用基本不等式求解最值. ｘ ｙ ｚ
④ 当且仅当９ ＋ 即ｙ ｚ ｘ时等号成立 ｘ ｙ ｚ的最
常数代换法求最值适用的题型及解题通法 １６ꎬ ｙ ｚ＝ ｘ ꎬ ＋ ＝３ ꎬ∴ ＋ ＋
(２) ＋
当式子中含有两个变量 且条件和所求的式子分别为整式和分 小值为 .故选
ꎬ １６ Ｄ.
(ｍ ｎ )
式时 常构造出 ａｘ ｂｙ ｘ ｙ ａ ｂ ｍ ｎ为正数 的 由题意得 １ ２ 因为ｘ ｙ均为正数 所以ｘ ｙ ｘ ｙ
ꎬ ( ＋ ) ｘ ＋ ｙ ( ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ) (２) ｘ ＋ ｙ ＝１ꎬ ꎬ ꎬ ＋ ＝( ＋ )
(ｍ ｎ ) ｂｍｙ ａｎｘ ( ) ｘ ｙ
形式 利用 ａｘ ｂｙ ａｍ ｂｎ ａｍ ｂｎ １ ２ ２ 当且仅当ｙ ｘ时等号成立
ꎬ ( ＋ ) ｘ ＋ ｙ ＝ ＋ ＋ ｘ ＋ ｙ ≥ ＋ ＋ ｘ ＋ ｙ ＝３＋ ｙ ＋ ｘ ≥３＋２ ２( ＝ ２ )ꎬ
( ｂｍｙ ａｎｘ ) 则ｘ ｙ的最小值为 故选 .
ａｂｍｎ 当且仅当 时等号成立 得到结果. ＋ ３＋２ ２ꎬ Ｄ
２ ｘ ＝ ｙ 答案 Ｄ Ｄ
(１) (２)
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点 基本不等式 ａ
学生用书P125 时 １ ｜ ｜取得最小值.
ꎬ ａ ＋ ｂ
１.(２０１３山东ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)设正实数ｘ ｙ ｚ满足ｘ２ ｘｙ ２｜ ｜
ꎬ ꎬ －３ ＋ 答案
ｘｙ －２
４ ｙ２ － ｚ ＝０ .则当 ｚ 取得最大值时 ꎬ ２ ｘ ＋ １ ｙ － ２ ｚ 的最大值为 ６.(２０２０江苏ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)已知 ５ ｘ２ｙ２ ＋ ｙ４ ＝１( ｘ ꎬ ｙ ∈ Ｒ )ꎬ 则
ｘ２ ｙ２ 的最小值是 .
＋
( )
答案 ４
９
Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ. Ｄ.３ ５
４
答案 Ｂ ７.(２０２０天津ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)已知ａ ｂ 且ａｂ 则 １
>０ꎬ >０ꎬ ＝１ꎬ ａ
２.(２０１７山东理ꎬ７ꎬ５分ꎬ综合性)若ａ ｂ 且ａｂ 则下列不 ２
> >０ꎬ ＝１ꎬ
等式成立的是 １ ８ 的最小值为 .
( ) ＋ ｂ＋ａ ｂ
ｂ ｂ ２ ＋
.ａ １ ａ ｂ . ａ ｂ ａ １ 答案
Ａ ＋ ｂ < ａ<ｌｏｇ２( ＋ ) Ｂ ａ<ｌｏｇ２( ＋ )< ＋ ｂ ４
２ ２ ８.(２０１９天津理ꎬ１３ꎬ５ 分ꎬ综合性)设 ｘ ｙ ｘ ｙ 则
ｂ ｂ >０ꎬ >０ꎬ ＋２ ＝５ꎬ
.ａ １ ａ ｂ . ａ ｂ ａ １ ｘ ｙ
Ｃ ＋ ｂ <ｌｏｇ２( ＋ )< ａ Ｄｌｏｇ２( ＋ )< ＋ ｂ < ａ ( ＋１)(２ ＋１)的最小值为 .
２ ２
ｘｙ
答案 Ｂ
３.(多选)(２０２２新高考
Ⅱ
ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)若ｘ
ꎬ
ｙ满足ｘ２
＋
ｙ２ 答案
４ ３
ｘｙ 则 ９.(２０１７江苏ꎬ１０ꎬ５分ꎬ应用性)某公司一年购买某种货物
－ ＝１ꎬ ( ) ６００
ｘ ｙ ｘ ｙ 吨 每次购买ｘ吨 运费为 万元/次 一年的总存储费用为 ｘ
Ａ. ＋ ≤１ Ｂ. ＋ ≥－２ ꎬ ꎬ ６ ꎬ ４
Ｃ.
ｘ２
＋
ｙ２
≤２ Ｄ.
ｘ２
＋
ｙ２
≥１
万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小
ꎬ
则 ｘ 的值
答案 ＢＣ 是 .
４.(多选)(２０２０新高考 ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性)已知ａ ｂ 且 答案
Ⅰ >０ꎬ >０ꎬ ３０
ａ ｂ 则 １０.(２０１９江苏ꎬ１０ꎬ５分ꎬ应用性)在平面直角坐标系ｘＯｙ中 Ｐ
＋ ＝１ꎬ ( ) ꎬ
Ａ. ａ２ ＋ ｂ２ ≥ １ Ｂ.２ ａ － ｂ > １ 是曲线ｙ ＝ ｘ ＋ ４ ｘ ( ｘ >０) 上的一个动点 ꎬ 则点Ｐ到直线ｘ ＋ ｙ ＝０ 的
２ ２
距离的最小值是 .
ａ ｂ ａ ｂ
Ｃ.ｌｏｇ２ ＋ｌｏｇ２ ≥－２ Ｄ. ＋ ≤ ２ 答案
答案 ＡＢＤ ４
５.(２０１３天津ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)设ａ ｂ ｂ 则当ａ
＋ ＝２ꎬ >０ꎬ ＝
第
二
章
不
等
式
１５
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P125
考点 基本不等式
ｘ２ ｙ２ 的最小值是 ４
Ｂ. ＋
１.(２０２２广东揭阳、梅州丰顺３月联考ꎬ３)设 ａ ｂ 则下列不 ５
０< < ꎬ ｘ ｙ 的最小值是
等式中正确的是 Ｃ.２ ＋４ ４
( )
ａ ｂ ａ ｂ １ ２ 的最小值是
ａ ｂ ａｂ ＋ ａ ａｂ ＋ ｂ Ｄ. ｘ ＋ ｙ ５
Ａ. < < < Ｂ. < < <
２ ２ 答案 ＢＣ
ａ ｂ ａ ｂ
ａ ａｂ ｂ ＋ ａｂ ａ ＋ ｂ ４.(多选)(２０２２河北邯郸一模ꎬ１２)下列大小关系正确的是
Ｃ. < < < Ｄ. < < <
２ ２
答案 Ｂ ( )
. ２ １ . ９ ２ . ９ . ２
２.(２０２２重庆巴蜀中学３月适应考(八)ꎬ６)已知正实数ａ ｂ满 Ａ.１９ <２ Ｂ.２ <２９
ꎬ ｌｎ２ ２
足ａｂ ａ 则 ａ ｂ的最小值是 ２ ２
＋２ －２＝０ꎬ ４ ＋ ( ) Ｃ. ２ ｌｎ２ －１ < ２ ２ －１ Ｄ.ｌｏｇ７４<ｌｏｇ１２７
答案 ＡＢＤ
Ａ.２ Ｂ.４ ２－２ Ｃ.４ ３－２ Ｄ.６
答案 Ｂ ５.(２０２１重庆一模ꎬ６)已知ａ ｂ ａｂ ａ ｂ 则ａｂ的最小值为
ꎬ >０ꎬ ＝ ＋ ＋８ꎬ
３.(多选)(２０２２河北九师联盟一模ꎬ１０)已知ｘ ｙ 且ｘ
>０ꎬ >０ꎬ ＋ ( )
ｙ 则
２ ＝２ꎬ ( ) Ａ.４ Ｂ.８ Ｃ.１２ Ｄ.１６
ｘｙ的最小值是 答案 Ｄ
Ａ. １
６.(多选)(２０２２福建莆田３月质检ꎬ１０)已知直线ｌ ａｘ ｂｙ
: ＋ ＋１＝０ ７.(２０２２广东深圳二模ꎬ１４)已知 ｘ 则 １ ４ 的最小值是
(
ａ
>０ꎬ
ｂ
>０)
与圆Ｃ
:
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
相切
ꎬ
则下列说法正确的是
( )
０< <１ꎬ ｘ ＋
１－
ｘ
.
ａｂ １ １ １
Ａ. ≥ Ｂ.ａ２ ＋ｂ２≥４ 答案
２ ９
(ａ ｂ) ２ ８.(２０２２辽宁名校联盟二轮复习联考(一)ꎬ１５)若ａ ｂ 且
＋ １ １ １ >０ꎬ >０
Ｃ. ≤ Ｄ. ａ ＋ ｂ ≤２ ２ ａｂ ａ ｂ 则 ａ ｂ的最小值为 .
２ ２ ２ ＝２ ＋ ＋３ꎬ ２ ＋
答案 ＢＣ 答案
６
年
高
考
年
模 拟
︵
教
师
用
书
︶
１６
B组 综合应用题组 学生用书P126
25分钟 45分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２０分) 答案 ＢＤ
１.(２０２２福建龙岩一模ꎬ７)已知ａ ｂ 且 ａ ｂ
>０ꎬ >０ꎬ ( －２)( －１)＝ 三、填空题(每小题５分ꎬ共２０分)
９ 则ａ ｂ的最小值为 ６.(２０２２湖北黄冈蕲春实验高级中学一模ꎬ１５)已知函数ｆ ｘ
ꎬ ＋２ ( ) ( )
２ ｘ２ ｘ 若对任意的正数ａ ｂ 满足ｆ ａ ｆ ｂ
＝ｌｏｇ２( ＋１－ )ꎬ ꎬ ꎬ ( )＋ (３ －１)
３ １４ ９ ２
Ａ.３＋ Ｂ.８ Ｃ.４＋ Ｄ.１０ 则 ３ １ 的最小值为 .
２ ２ ＝０ꎬ ａ ＋ ｂ
答案 Ｄ
答案
２.(２０２２湖南邵阳一模ꎬ４)已知函数ｆ ｘ ｍｘ ｎｘ ｍ ｎ ｍ １２
( )＝ ＋ ( >０ꎬ >０ꎬ ７.(２０２２湖北八市联考ꎬ１４)某校生物兴趣小组为开展课题研
ｎ 是偶函数 则ｍ ｎ的最小值是
≠１ꎬ ≠１) ꎬ ＋２ ( ) 究 分得一块面积为 ２ 的矩形空地 并计划在该空地上设
ꎬ ３２ ｍ ꎬ
Ａ.６ Ｂ.４ ２ Ｃ.８ Ｄ.２ ２ 置三块全等的矩形试验区 如图所示 .要求试验区四周各空
答案 Ｄ ( )
. 各试验区之间也空 . 则每块试验区的面积的最大
３.(２０２２山东潍坊二模ꎬ７)已知正实数ａ
ꎬ
ｂ满足ａ２
＋２
ａｂ
＋４
ｂ２
＝
０
值
５
为
ｍꎬ
２.
０ ５ ｍꎬ
则ａ ｂ的最大值为 ｍ
６ꎬ ＋２ ( )
Ａ.２ ５ Ｂ.２ ２ Ｃ. ５ Ｄ.２
答案 Ｂ
４.(２０２２河北衡水中学六调ꎬ６)对于函数ｆ ｘ 若在定义域内
( )ꎬ
存在实数 ｘ 满足 ｆ ｘ ｆ ｘ 则称 ｆ ｘ 为 局部奇函
０ꎬ (－ ０)＝ －( ０)ꎬ ( ) “
数 .已知ｆ ｘ ａ ｘ 在Ｒ上为 局部奇函数 则ａ的取值
” ( )＝－ ｅ －４ “ ”ꎬ
范围是 答案
( ) ６
Ａ.[－４ꎬ＋∞) Ｂ.(－∞ꎬ－４] ８.(２０２１沈阳市郊联体一模ꎬ１４)已知ａ
>０ꎬ
ｂ
>０ꎬ
ａ
＋４
ｂ
＝４ꎬ
则 ４
ａ
Ｃ.[－４ꎬ０) Ｄ.(－∞ꎬ４]
答案 Ｃ ９ 的最小值为 .
＋ ｂ
二、多项选择题(共５分)
答案
５.(２０２２广东汕头一模ꎬ１０)已知正实数ａ ｂ满足ａ ｂ ａｂ 则 １６
以下不等式正确的是 ꎬ ＋２ ＝ ꎬ ９.(２０２２湖北七市(州)３月联考ꎬ１５)已知函数ｆ ( ｘ )＝ ｘ ＋ １ ｘ ( ｘ >
( )
ｆ ｘ
Ａ. ２ ａ ＋ １ ｂ ≥２ Ｂ. ａ ＋２ ｂ ≥８ ０)ꎬ 若 ｆ ｘ ( ) ２ ａ 的最大值为 ２ ꎬ 则正实数ａ ＝ .
( ( )) ＋ ５
Ｃ.ｌｏｇ２ ａ ＋ｌｏｇ２ ｂ <３ Ｄ.２ ａ ＋ ｂ ≥９ 答案
１
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P127
１.(２０２２５３原创题)已知ａ ｂ为正实数 且 ａ ｂ ａ ｂ ｂ { }
ꎬ ꎬ ｌｇ ＋ｌｇ ＝ｌｇ(３－ －２ )ꎬ 的解集为 ｘ ｘ １ 且ｂ 则下列结论错误的是
则 １＋ ａ >０ ≠－ ａ ꎬ >０ꎬ
( )
Ａ.２ ａ ＋ ｂ的最小值为 ２ １０－５ ( )
ａ２ ａｂ ｂ
ａ ｂ有最大值 ＋ ＋４ 的最小值是
Ｂ.ｌｇ ＋ｌｇ ｌｇ(７－２ １０) Ａ. ａｂ ９
Ｃ.ａ ＋ １ ２ ＋ｂ ＋ ４ １ 的最小值是４ ５ ５ Ｂ.ａ ａ ＋ ２ ２ ＋ｂ ｂ ＋ ２ １ 的最小值为 １ ４
ａ ｂ 有最小值 实数λ满足 ｂ λ ａ 则λ的最小值是
Ｄ. ＋２＋ ＋１ ２ ５ Ｃ. ３－ ＝ ꎬ ２ ２ 答案 Ｂ
２.(２０２２ ５ ３原创题)已知关于ｘ的一元二次不等式ａｘ２ ｘ Ｄ.
ａ２
＋
ｂ２
≥
１
＋２ ＋ ２
答案 Ｃ
３.(多选)(２０２２ ５３原创题)已知点Ａ ｍ ｎ 在椭圆 ｘ２ ｙ２ ４.(多选)(２０２２ ５３原创题)设二次函数ｆ ｘ ａｘ２ ｘ ｂ ｘ
( ꎬ ) ＋９ ( )＝ －２ ＋ (
上 且Ａ ｍ ｎ 在第一象限 则 Ｒ 的值域为 则
＝４ ꎬ ( ꎬ ) ꎬ ( ) ∈ ) [０ꎬ＋∞)ꎬ ( )
ｍ ｎ的最大值为
Ａ. ＋３ ２ ２ １ ９ 的最大值为 ３
Ａ.ｂ ＋ａ
＋１ ＋９ ２
Ｂ.ｍ
２
＋
１
ｎ
的最小值为３ ２
若ａ ｂ 则
ａ２
＋
ｂ２
的最小值是
＋ ２ ６ ４ Ｂ. > ꎬ ａ ｂ ２ ２
ｍ２ ｎ２ －
Ｃ. ＋ ∈(１ꎬ４] ａ２ｂ ａｂ２ 的最小值为
若点Ａ ｍ ｎ 关于ｙ轴 原点 ｘ轴的对称点分别为Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ.２ ＋ ２ ２
Ｄ. ( ꎬ ) ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ａ ｂ
＋ ＋１的最小值为
则四边形ＡＢＣＤ面积的最大值为 ８ Ｄ. ａ ｂ ２
＋
３
答案 ＡＢＣ
答案 ＡＢＤ
第
二
章
不
等
式
１７
