北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§7.3 基本不等式
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021北京东城二模,4)已知a2+b2=2,那么a+b的最大值为 ( )
A.1 B.√2 C.2 D.2√2
答案 C 本题考查基本不等式,考查逻辑推理的核心素养,试题体现基础性.
∵2=a2+b2≥2ab,∴(a+b)2=a2+b2+2ab≤2+2=4,从而a+b≤2,当且仅当a=b=1时取等号,因此a+b的最大
值为2,故选C.
1
2.(2021北京朝阳二模,6)设x>0,y>0,则“x+y=1”是“xy≤ ”的( )
4
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 本题考查基本不等式,考查逻辑推理的核心素养,试题体现基础性.
充分性:当x+y=1时,xy≤(x+ y) 2 =1,当且仅当x=y=1时取等号,充分性成立;
2 4 2
1 1 5
必要性:当x=1,y= 时,xy≤ ,x+y= ≠1,因而必要性不成立.
4 4 4
1
综上,“x+y=1”是“xy≤ ”的充分而不必要条件,故选A.
4
3.(2021天津河东一模,7)已知a>0,b>0,且 ab=a+b+3,则a+b的最小值为 ( )
A.4 B.8 C.7 D.6
1
答案 D a+b+3=ab≤ (a+b)2,令t=a+b,t>0,
4
1
则 t2≥t+3⇒t2-4t-12≥0⇒t≥6,即a+b≥6,
4
当且仅当a=b=3时,“=”成立.
4.(2021河南顶级名校4月联考,10)已知各项均为正数的等比数列{a},a,3a,a 成等差数列,若{a}中
n 6 5 7 n
1 4
存在两项a ,a,使得4a 为其等比中项,则 + 的最小值为 ( )
m n 1
m n
2 3
A.4 B.9 C. D.
3 2
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答案 D 设各项均为正数的等比数列{a}的公比为q,q>0,
n
由a,3a,a 成等差数列,可得6a=a+a,
6 5 7 5 6 7
即6aq4=aq5+aq6,
1 1 1
解得q=2(q=-3舍去),
由{a}中存在两项a ,a,使得4a 为其等比中项,
n m n 1
可得16 =a a= ·2m+n-2,
a2 m n a2
1 1
化简可得m+n=6,m,n∈N*,
则1+4=1(m+n)( 1 4)=1( n 4m)≥1( √ n 4m)=3.
+ 5+ + 5+2 ·
m n 6 m n 6 m n 6 m n 2
当且仅当n=2m=4时,上式取得等号.
2 2 32
5.(2021山西高考前测试,7)已知a,b,c∈(0,+∞),且a>4,ab+ac=4,则 + + 的最小值是
a b+c a+b+c
( )
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 A 因为a,b,c∈(0,+∞),且ab+ac=4,
2 2 32 2(a+b+c) 32 a+b+c 32
所以 + + = + = + ≥8,
a b+c a+b+c a(b+c) a+b+c 2 a+b+c
a+b+c 32
当且仅当 = ,即a+b+c=8时取等号,所以b+c=8-a,代入ab+ac=4,解得a=4±2√3,
2 a+b+c
又因为a>4,所以a=4+2√3,b+c=4-2√3,此时等号成立,
故所求最小值为8.
x2+3 y
6.(2021江西宜春重点高中月考,9)已知x>0,y>0,x+2y=3,则 的最小值为 ( )
xy
A.3-2√2 B.2√2+1 C.√2-1 D.√2+1
x2+3 y x2+ y(x+2y)
答案 B x>0,y>0,x+2y=3,则 =
xy xy
x 2y √ x 2y
= + +1≥2 · +1=2√2+1.
y x y x
当且仅当x=√2y时,上式取得等号,
x2+3 y
则 的最小值为2√2+1.
xy
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1 2ab 1
7.(2021浙江新高考研究卷(一),9)已知a>0,b>0,且2a+ =1,则 + 的最小值为 ( )
b b+1 2a
3 1
A. +2√2 B. +2√2
2 2
3 1
C. +√2 D. +√2
2 2
1
答案 D 令c= ,则c>0,且2a+c=1,
b
2ab 1 2a 1 2a 2a+c a a+c 1 √ a a+c 1 1
所以 + = + = + = + + ≥2 · + =√2+ ,
b+1 2a c+1 2a 2a+2c 2a a+c 2a 2 a+c 2a 2 2
a a+c
当且仅当 = ,即c=(√2-1)a时取等号,又2a+c=1,所以a=√2-1,c=3-2√2,b=3+2√2时取等号,
a+c 2a
选D.
8.(2021浙江绍兴4月模拟,8)已知a>0,b>0,a2+b2-ab=3,|a2-b2|≤3,则a+b的最小值是 ( )
A.2√2 B.3
C.2√3 D.4
答案 B 解法一:因为|a2-b2|≤3,所以|a2+b2|2-4a2b2≤9,
即|3+ab|2-4a2b2≤9,又a>0,b>0,所以解得ab≥2.
又因为a2+b2-ab=3,所以(a+b)2-3ab=3,
所以(a+b)2=3ab+3≥9,所以a+b≥3,故选B.
{
a>b>0,
解法二:(和差换元)不妨设a>b,则 a2+b2-ab=3,
a2-b2≤3,
{
m>n>0,
设{a=m+n,(m>n>0),则 于是n≤ 3 ,
m2+3n2=3,
b=m-n 4m
4mn≤3,
进而有m2+3( 3 ) 2 ≥3,整理得( m2- 3)( m2- 9)≥0,
4m 4 4
√3 3
解得0<m≤ 或m≥ ,
2 2
3 √3 3
又0<n<m,所以3=m2+3n2<4m2,所以m2> ,解得m> ,所以m≥ ,于是a+b=2m≥3.故选B.
4 2 2
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二、多项选择题
9.(2020山东百师联盟测试三,11)下列四个函数中,最小值不为4的是 ( )
A.y=lnx+ 12 B.y= + 4
√x2+1
3 lnx √x2+1
4 4
C.y=sin x+ (x∈(0,π)) D.y=ex+
sinx ex
答案 AC A中ln x<0时,最小值不为4,C中当y=4时,sin x=2不成立;BD均成立.
方法总结 本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解
和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是要判断参数是不是正;二定是要看和或积是不是定值
(和定积最大,积定和最小);三相等是一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否
在定义域内,二是多次用基本不等式时等号能否同时成立).
10.(2021届广东佛山顺德第二次教学质量检测,16)已知a>b>0,且a+b=1,则( )
2 1
A.logb>loga B. + >6
a b
a b
C.ab<ba D.2a-2b>2-b-2-a
1 1
答案 AD 由已知a>b>0,且a+b=1,得 <a<1,0<b< .
2 2
1 1
对于选项A,由于 <a<1,0<b< ,
2 2
所以logb>loga=1,0<loga<logb=1,
a a b b
所以logb>loga成立,因此A正确;
a b
对于选项B,∵(2 1)(a+b)=2+1+2b+a≥3+2√2b a=3+2 ,
+ · √2
a b a b a b
2b a
当且仅当 = ,即a=√2b时,取等号,
a b
2 1
∴ + ≥3+2√2,
a b
而6>3+2√2,因此B不正确;
lnx
对于选项C,构造函数f(x)= ,
x
1-lnx
∵f '(x)= ,且当x∈(0,e)时, f '(x)>0,∴函数y=f(x)在(0,e)上为增函数,
x2
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又因为0<b<a<1,所以f(a)>f(b),
lna lnb
即 > ,∴bln a>aln b,
a b
∴ab>ba,因此C不正确;
对于选项D,构造函数f(x)=2x+(1) x ,
2
∵f '(x)=2xln 2-(1) x ln 2=[ 2x- (1) x]ln 2.当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,∴函数y=f(x)在(0,+∞)上为增函
2 2
数,
又因为0<b<a<1,所以f(a)>f(b),即2a+(1) a >2b+(1) b ,也就是2a-2b>2-b-2-a,因此D正确.
2 2
1 4
11.(2021届山东潍坊四中“十一”假期检测,10)已知a>1,b>0,且 + =1,则下列命题正确的是
a-1 b
( )
A.a>2 B.ab-b的最小值为16
1 9
C.a+b的最小值为9 D. + 的最小值为2
a-2 b
4 1 a-2
答案 ABD A项,由已知得 =1- = ,
b a-1 a-1
4 a-2
由于b>0,所以 = >0,解得a<1或a>2,又a>1,所以a>2.故该项正确.
b a-1
B项,由于a-1>0,
所以由基本不等式可得1= 1 +4 ≥2√ 1 4=4√ 1 当且仅当 1 =4 ,即
·
a-1 b a-1 b (a-1)b a-1 b
a=3,b=8时等号成立 .
√ 1 1
所以 ≤ ,
(a-1)b 4
即(a-1)b≥16.所以(a-1)b的最小值为16,故该项正确.
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C项,a+b=(a-1)+b+1=[(a-1)+b]·( 1 4)+1=5+ b +4(a-1)+1≥6+2√ b 4(a-1)
+ ·
a-1 b a-1 b a-1 b
=10,
b 4(a-1)
当且仅当 = ,
a-1 b
即a=4,b=6时等号成立.故该项不正确.
1 4 b-4
D项,由已知得 =1- = ,
a-1 b b
1 b-4
又a>1,所以 >0,即 >0,
a-1 b
又b>0,所以b>4.
b b 4
又a-1= ,所以a-2= -1= >0,
b-4 b-4 b-4
1 9 b-4 9 b 9 √b 9
所以 + = + = + -1≥2 · -1=2(当且仅当b=6时等号成立).故该项正确.
a-2 b 4 b 4 b 4 b
12.(2021届山东济宁鱼台第一中学第一次月考,11)给出下面四个推断,其中正确的为( )
b a
A.若a,b∈(0,+∞),则 + ≥2
a b
B.若x,y∈(0,+∞)则lg x+lg y≥2√lgx·lg y
4
C.若a∈R,a≠0,则 +a≥4
a
x y
D.若x,y∈R,xy<0,则 + ≤-2
y x
b a √b a b a
答案 AD 对于选项A,因为a,b∈(0,+∞),则 + ≥2 · =2,当且仅当 = ,即a=b时取等号,
a b a b a b
即选项A正确;
对于选项B,当x,y∈(0,1)时,lg x,lg y∈(-∞,0),lg x+lg y≥2√lgx·lg y显然不成立,即选项B错误;
4
对于选项C,当a<0时, +a≥4显然不成立,即选项C错误;
a
对于选项D,xy<0,则-y>0,-x>0,则x+y=-[( - x) + ( - y)] ≤-2·√( - x) × ( - y)=-2,
x y y x y x y x
x y
当且仅当- =- ,即x=-y时取等号,即选项D正确,故选AD.
y x
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13.(2021届山东青岛期初调研,11)若a>0,b>0,a+b=2,则( )
A.ab≤1 B.√a+√b≤√2
1 1
C.a2+b2≥2 D. + ≥2
a b
答案 ACD 由于a>0,b>0,a+b=2,
则由基本不等式可得2=a+b≥2√ab,
则0<ab≤1,因此A正确;
∵(√a+√b)2=a+b+2√ab≤2+2=4,
∴√a+√b≤2,因此B不正确;
∵∀a,b∈R,2(a2+b2)≥(a+b)2恒成立,
1 a+b
a+b=2,∴a2+b2≥ (a+b)2=2,因此C正确;∵a>0,b>0,a+b=2,∴ =1,
2 2
∴1+1=(1 1)(a b)=1+1+ b + a ≥1+2√ b a =1+1=2,当且仅当a=b=1时,取等号,
+ + ·
a b a b 2 2 2 2 2a 2b 2a 2b
因此D正确.
14.(2021届广东云浮9月月考,9)已知a>0,b>0,a+b=1,则下列结论中一定成立的是 ( )
1
A.a2+b2的最小值是
2
1
B.ab+ 的最小值是2
ab
C.√a+√b的最大值是√2
4 9
D. + 的最小值是25
a b
答案 ACD ∵a>0,b>0,a+b=1,
1 1
∴a2+b2≥ (a+b)2= ,当且仅当a=b时取等号,
2 2
所以A中的结论一定成立,由已知得0<ab≤(a+b) 2 =1,
2 4
令ab=t,t∈( 1],则ab+ 1 =t+1,
0,
4 ab t
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设y=t+1,t∈( 1],
0,
t 4
∵y=t+1在( 1]上单调递减,
0,
t 4
1
1 17
∴y≥ +1= .所以B中的结论错误,
4 4
4
由(√a+√b)2≤2(a+b)=2得√a+√b≤√2,
所以C中的结论成立,
由已知得4+9=(4 9)(a+b)=13+4b+9a≥13+2 =25,当且仅当4b=9a时取等号,所以D
+ √36
a b a b a b a b
中的结论成立,故选ACD.
三、填空题
1
15.(2021天津南开二模,14)已知a>0,b>0,a+2b=1,则a2+4b2+ 的最小值是 .
4ab
5
答案
2
解析 a2+4b2+ 1 =(a+2b)2-4ab+ 1 =1-4ab+ 1 .令t=4ab,∵1=a+2b≥2 ⇒4ab∈( 1],
√2ab 0,
4ab 4ab 4ab 2
当且仅当a=2b时,“=”成立,∴t∈( 1],原式=1-t+1,∵y=1-t+1在( 1]上单调递减,∴1-t+1
0, 0,
2 t t 2 t
1 5
≥1- +2= .
2 2
4x+ y+4
16.(2021天津耀华中学一模,14)已知实数x,y满足xy=4x+y(x>0,y>0),则 的最小值是
√xy
.
答案 5
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解析 ∵x>0,y>0,∴xy=4x+y≥4√xy,当且仅当4x=y时“=”成立,令t=√xy,则t2≥4t⇒t≥4,
4x+ y+4 xy+4 4 4 4
= = +√xy=t+ (t≥4),∵y=t+ 在[4,+∞)上单调递增,∴t=4时,y =5.
min
√xy √xy √xy t t
b 3
17.(2021江西五市九校联考,14)若正实数a,b满足a+b=1,则 + 的最小值为 .
3a b
答案 5
b 3 b 3(a+b) b 3a b 3a
解析 因为a+b=1,所以 + = + = + +3,因为a>0,b>0,所以 + +3≥2
3a b 3a b 3a b 3a b
√ b 3a b 3a 1 3 b 3
· +3=5,当且仅当 = ,即a= ,b= 时等号成立,即 + 的最小值为5.
3a b 3a b 4 4 3a b
b 3(a+b)
思路分析 利用“1”的代换,将所求式子变形为 + ,然后利用基本不等式即可求出
3a b
最小值.
18.(2021浙江新高考研究卷(三),16)已知a,b>0,则 1 + 2ab 的最大值为 .
√a2+1 1+a2+b2
答案 √2
2a 2a
解析 1 + 2ab = 1 + ≤ 1 + = a+1 =
1+a2 √1+a2
√a2+1 1+a2+b2 √a2+1 +b √a2+1 2 ·b √a2+1
b b
√ 2a ≤ ,
1+ √2
a2+1
当且仅当{a=1,时取等号.
b=√2
9 / 9
