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微专题04 数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插
项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题
【秒杀总结】
1、数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.
2、函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很
容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限
制条件的转化.
3、证明数列 单调性的方法：根据 与 的关系判断出数列的单调性（当 恒
为正或者负时，可以考虑利用 与 的大小关系判断数列单调性）.
4、当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现 2019、
2020、2021类似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是
否符合题意，来决定哪个选项正确.比如求 ，可以令 ，将选项中的所有数字
用 来表示，然后通过 来验证哪个选项正确.如果题目问的是 之类的偶
数年份，最好是通过 这样的偶数项来验证.
【典型例题】
例1．（浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知数
列 满足 （ ， 为自然对数的底数），且对任意的 都存在
，使得 成立，则数列 的首项 须满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设 ，令 ，得到 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
故 ，即 （当且仅当时 取等号）.
故 （当且仅当时 取等号）.
即 .要使对任意的 都存在 ，使得 成立，
显然 时， ，一定能满足题意；
当 时， ，如图此时不满足题意；
当 时， ，如图此时满足题意；综上， .
故选：C
例2．（2023•新蔡县月考）数列 满足 ，则数列 的前60项和等
于
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800
【解析】解：由 ，
可得数列 的前60项和为
．
故选： ．
例3．（2023•江苏模拟）若单调递增数列 满足 ，且 ，则
的取值范围是 ．
【解析】解： 单调递增数列 满足 ，且 ，
，解得 ，
，解得 ，
由条件可以得出 ，也就是隔3项成等差数列，公差为3．
只要保证 就可以保证整个数列单调递增．
单调递增数列 中， ， ，，解得 ．
的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
例4．（广东省实验中学2023届高三考前热身训练数学试题）已知 为数列 的前 项
和， ，平面内三个不共线的向量 ， ， ，满足
， ， ，若 ， ， 在同一直线上，则
___________.
【答案】
【解析】设 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 是周期为 的周期数列，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
例5．（江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）数列
中， ，且 ，记数列 的前n项和为 ，若
对任意的 恒成立，则实数 的最大值为__________.
【答案】
【解析】
由 为变形为 ，又
所以数列 是等比数列，首项为2，公比为 ，所以 ，可得
，所以 ，则 ，所以
，解得 ，
当n为奇数时， 恒成立，等价于 恒成立，而 ，
所以 ，
当n为偶数时， 恒成立，等价于 恒成立，而 ，所
以 ，
综上得 ，所以实数 的最大值为 ，
故答案为： .
例6．（江西省临川二中、临川二中实验学校2023届高三第二次模拟考试文科数学试题）
已知数列 的前 项和为 ，若对一切正整数 ，不等式
恒成立，则满足条件的最小整数 为______.
【答案】2020
【解析】解：当 时， ，得 ，
当 时， ，
整理得 ，等式两边同除 得 ，
则数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，
，
则 ，
所以不等式 对一切正整数 恒成立，
即 对一切正整数 恒成立，令 ，当 时， 最大，
，
解得 ，因为 ， ，
此时 ，
，即 。
所以满足条件的最小整数 为2020.
故答案为：2020
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的通项公式为
，其前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C．180 D．240
【答案】D
【解析】当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， .
， .
故选：D
2．（2023·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，对 ，
，有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】令 ，由已知可得 .
令 ，由已知可得 ，
设 ，则 ，整理可得 .
又 ，所以 ，所以 .
则 ，
所以 .
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ，且
.若对任意的正整数 ，都有 成
立，则满足等式 的所有正整数 为（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4
【答案】A
【解析】 ，
时， ，
相减可得： ，即
又 时， ，解得 ，满足 ，
数列 是首项为1，公比为3的等比数列，所以 ．
对任意正整数n，都有 成立，
得 ①，
又 ②，
②－①×3得： ，
又 ，所以 ，得 ，
进而 ，
由 ，得 ，即 ，
记 ，则 ，
以下证明 时， ，因为 ，
即 时， 单调递减， ，
综上可得，满足等式 的所有正整数 的取值为1或3．
故选：A．
4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列 、 ， ，
， 其中 为不大于x的最大整数.若 ， ， ，有
且仅有4个不同的 ，使得 ，则m一共有（ ）个不同的取值.
A．120 B．126 C．210 D．252
【答案】C
【解析】设 ，其中 ，且 不
全为0， ，
若 ，则 ， ，
， ，
若 ，则 ， ，
， ，
所以若 则， ，若 ，则 ，
若 ， ，则 ， ，
， ， ， ，
若 ， ，则 ， ，
， ， ， ，
若 ， ，则 ， ，
， ， ， ，
若 ， ，则 ， ，
， ， ， ，
所以 时， ， 时， ，同理可以证明 时， ， ， ，
因为有且仅有4个不同的 ，使得 ，即 中有且仅有4个变量取值为1，其
余变量取值为0，又从 中任选4个变量有 种取法，
故满足条件的 的个数为 ，即210个，
故选：C.
5．（2023·北京朝阳·高三统考期末）在数列 中， ，若存在
常数c，对任意的 ，都有 成立，则正数k的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
由于 满足上式，故
当 时，有 趋近于 时， 趋近于
此时 没有最大值，故不满足题意，舍去；
所以 ，
当 时，可证对任意的 ，都有 ，
由题知，若存在常数c，对任意的 ，都有 成立，则 ，
以下进行证明：存在常数 ，对任意的 ，都有 成立.
当 时， ，结论成立
假设 时结论成立，即
则 ，
则存在常数 ，对任意的 ，都有 成立
故正数k的最大值为 .故选：B.
6．（2023·湖南长沙·统考一模）裴波那契数列 ，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子
繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列 满足 ，且
．卢卡斯数列 是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列
联系紧密，即 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以当 时， ，
所以 ，
故 ，
因为 ，
所以 ， ，
故 ，
所以 .
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 是数列 的前 项和，且 ，
（ ），则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得： ， ，
由于 ，故数列 不是等比数列，A错误；
则 ， ， ，
由于 ，故数列 不为等比数列，B错误；时， ，即 ，
又 ，
故 为等比数列，首项为2，公比为3，
故 ，
故 ， ，……， ，
以上20个式子相加得： ，C错误；
因为 ，所以 ，两式相减得：
，
当 时， ， ，……， ，
以上式子相加得： ，
故 ，而 也符和该式，故 ，
令 得： ，
当 时， ， ，……， ，
以上式子相加得： ，
故 ，而 也符号该式，故 ，
令 得： ，
综上： ，D正确.
故选：D
8．（2023·山西太原·高三统考期末）如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行
每列的数都成等差数列，设 表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的
是（ ）
2 3 4 5 6 7 …
1
3 5 7 9 11 …
2
4 7 10 1 16 1 …3 9
1 2
5 9 13 21 …
7 5
2 3
6 11 1 26 …
1 1
1 2 3
7 19 31 …
3 5 7
… … … … … … …
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于 ， 表示第3行第18个数字，由数阵可知：第3行是以4为首项，
以3为公差的等差数列，则第18个数字为 ，故选项 错误；
对于 ， 表示第6行第8个数字，由数阵可知：第6行是以7为首项，以6为公差的
等差数列，则第8个数字为 ，故选项 错误；
对于 ， 表示第7行第7个数字，由数阵可知：第7行是以8为首项，以7为公差
的等差数列，则第7个数字为 ，故选项 错误；
对于 ， 表示第12行第4个数字，由数阵可知：第12行是以13为首项，以12为
公差的等差数列，则第4个数字为 ，故选项 正确，
故选： .
9．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知等差数列 的前 项和为 ，
向量 ， ， ，且 ，则
用 表示 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得： ，即 ，，
， ；
为等差数列 的前 项和，设其公差为 ，
，
同理可得： ，
，
.
故选：B.
二、多选题
10．（2023·湖北·校联考模拟预测）数列 各项均为正数，其前n项和 ，且满足
，下列四个结论中正确的是（ ）
A． 为等比数列 B． 为递减数列
C． 中存在大于3的项 D． 中存在小于 的项
【答案】BD
【解析】对于A：假设数列 为等比数列，设其公比为q，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，故数列 不
是等比数列，故A错；
对于B：当 时， .因为 ，所以 ，所以，可得 ，所以数列 为递减数列，故B对；
对于C：由题意可知， ，当 时， ，可得 ；由B知数列
为递减数列，故C错；
对于D：因为数列 各项均为正数，其前n项和 ，所以随着n的增大， 递增.
而 恒成立，所以 递减，且 ，
所以 中必存在小于 的项
故选：BD.
11．（2023·全国·高三专题练习）若数列 满足 ，
则称数列 为“差半递增”数列，则（ ）
A．正项递增数列均为“差半递增”数列
B．若数列 的通项公式为 ，则数列 为“差半递增”数列
C．若数列 为公差大于0的等差数列，则数列 为“差半递增”数列
D．若数列 为“差半递增”数列，其前 项和为 ，且满足 ，则实数
的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对于A，假设一个正项递增数列为：1,4,5，
则 ，则 ，不满足“差半递增”数列，A错误；
对于B，因为 ，
所以
，
因为 ，所以函数 单调递增，所以当 ，
即 恒成立，所以数列 为“差半递增”数列，B正确；
对于C，设公差 ， ， ， ，
所以 ，所以 ，数列 为“差半递增”数列，C正确；
对于D，因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，所以 ，
所以数列 为等差数列，公差为1，所以 ，
所以 ，
所以对任意 ， ，即
，
所以 ，
所以 ，因为 ,
所以当 时 有最大值为 ，
所以 ，D正确；
故选:BCD.
12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）以下为自然数从小到大依次排成的
数阵：
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
第n行有 个数，则（ ）A．该数阵第n行第一个数为
B．该数阵第n行最后一个数为
C．该数阵前n行共有 个数
D．该数阵前n行所有数的和为
【答案】ABC【解析】对于A，该数阵每行第一个数分别为 ， ， …，归纳可得数阵第 行第一个
数为 ，故A正确；
对于B，由A知，第 行的第一个数为 ，故第 行的最后一个数为 ，故B正确；
对于C，数阵前 行共有 个数，故C正确；
对于D，数列前 行总和为 ，故D不正
确
故选：ABC
13．（2023·山东德州·高三统考期末）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
则（ ）
A． B．
C．数列 为等差数列 D． 为奇数时，
【答案】ABD
【解析】对于A选项， ，A对；
对于B选项，因为 ，则 ，
对任意的 ，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，
所以，数列 中的奇数项成以 为首项，公差为 的等差数列，
数列 中的偶数项成以 为首项，公差为 的等差数列，
当 为奇数时，设 ，则 ，
当 为偶数时，设 ，则 ，
综上所述， ，B对；
对于C选项， ，故数列 不是等差数列，C错；
对于D选项，当 为奇数时，设 ，则 ，
则，D对.
故选：ABD.
14．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列 满足 ，
数列 前 项和为 ，则下列叙述正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】 ，
又 ，
归纳可得 ，
故选项A正确；
数列 单调递减，
当 时， ；
当 时， .故选项D正确；
，
，
，
，
，又 ，
，
，
，
,
，
所以当 时，
.
故选项C错误；
， 故选项B正确；
故选：ABD.
15．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知数列 满足 ，且 ，
是数列 的前 项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A: , , 在 单调递增, 在 单
调递减, ,当且仅当 时,
若 ,又因为 则 ,则 ，则 ,又因为
所以 所以 ，
设 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.所以 所以 所以
由 , 当 时,
因为 ，所以 ,则 ,同理得 ,
当 时， ；
所以 ，所以数列 单调递减.则 , 所以选项A正确.
对于B：由前面得 ．下面证明 ．
只需证明 ，令 ，
，
令 ，则 ，
∴ 成立．所以 ，
所以 ，所
以选项B错误；
对于C： ，设 ，设
，
则 ．所以函数 单调递减，所以随着 减小，
从而 增大．所以 ，即 ．所以C错误．
对于D：一般地，证明： ．
只需证明 ．
．令 ，则 ，
∴ 成立．所以 ，所以 ．所以D正确．
故选： .
三、填空题
16．（2023·山西太原·高三统考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，有“数学王子”之
称，以其名字命名的成果有110个.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称
为高斯函数，若用 表示 的非负纯小数，如 ，已知数列 满足
，则 __________.
【答案】
【解析】 ， ，
， ，
，
由此可得到规律：当 为奇数时， ，
，
故答案为： .
17．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，
在通信技术中应用广泛.设 是一个“0，1数列”，定义数列 ：数列 中每个0都变
为“1，0，1”， 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列 ：1，0，则数
列 ：0，1，0，1，0，1.已知数列 ：1，0，1，0，1，记数列 ， ，
2，3，…，则数列 的所有项之和为______.
【答案】
【解析】依题意，可知经过一次变换 ，每个1变成3项，其中2个0，1个1；每
个0变成3项，其中2个1，1个0，
因为数列 ：1，0，1，0，1，共有5项，3个1，2个0，所以 有 项，3个1变为6个0，3个1；2个0变为4个1，2个0；故数列
中有7个1，8个0；
有 项，7个1变为14个0，7个1；8个0变为16个1，8个0；故数列
中有23个1，22个0；
有 项，23个1变为46个0，23个1；22个0变为44个1，22个0；故数列
中有67个1，68个0；
所以数列 的所有项之和为 .
故答案为： .
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，其首项 ，若
数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意得 ，则 ，即 ，
当 时， 解得 或 ；
当 时，不等式无解；
又因为 ，所以
即 ，又 ，所以
即 ；
又因为 ，易得
所以， ，解得 或
利用对勾函数性质可知，函数 在 上满足 恒成立，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
19．（2023·全国·高三对口高考）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿
纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到
， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和
，以此类推，对折 次，那么 ________ ．
【答案】
【解析】由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，
所以对着三次的结果有： ， ， ； ，
共4种不同规格（单位 ）；故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ，
，共5种不同规格；
由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，
故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为 的等比数列，首项为 ，
第 次对折共有 种规格，其面积均为 ，
则对于第 次对折后的图形的面积之和 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，
因此， ．
故答案为： ．
20．（2023·上海·高三专题练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．
为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件
的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，
8，16，…，其中第一项是 ，接下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，
依此类推．求满足如下条件的最小整数N： 且该数列的前N项和为2的整数幂．那
么该款软件的激活码是______．【答案】440
【解析】由题意可知：第一项 ，第二项 ，第三项 ， ，第 项
，
根据等比数列前 项和公式，求得每项和分别为： ， ， ， ， ，
每项含有的项数为：1，2，3， ， ，
总共的项数为 ，
所有项数的和为
，
由题意可知： 为2的整数幂，只需将 消去即可，
则① ，解得： ，总共有 ，不满足 ，
② ，解得： ，总共有 ，不满足 ，
③ ，解得： ，总共有 ，不满足 ，
④ ，解得： ，总共有 ，满足
，
该款软件的激活码440．
故答案为：440.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且对于任意的
，都有 恒成立，则实数 的取值范围______________．
【答案】
【解析】 ， ，
两式相减得： ，
对于任意的 ，都有 恒成立， 对于任意的 ，都有 恒成
立， 对于任意的 恒成立，当 时， 单调
递增，欲使 ，即 即可；
当 时， ，因为 单调递减，欲使 即 ．综上所述，实数 的取值范围是： ．
故答案为：
22．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）现取长度为2的线段 的中点 ，以
为直径作半圆，该半圆的面积为 （图1），再取线段 的中点 ，以 为
直径作半圆．所有半圆的面积之和为 （图2），再取线段 的中点 ，以 为
直径作半圆，所有半圆的面积之和为 ，以此类推，则 ______．
【答案】
【解析】依题意， ，
，
，
以此类推可知，数列 是首项为 ，公比是 的等比数列，
所以 .
令 ，
则 ，
，
两式相减得所以 .
所以 .
故答案为：
23．（2023·山东日照·高三校联考期末）设正项等比数列 的公比为 ，首项
，关于 的方程 有两个不相等的实根 ，且存在唯一的
，使得 ．则公比 的取值范围为______．
【答案】
【解析】 有两个不相等的实根 ， ，
，解得： ， ， ，
，解得： ， ；
不满足 ，则存在唯一的 ，使得 ，
， ， 等比数列 为递减数列，即 ；
若 ，则 均不满足 ，不合题意；
，又 唯一，则 ，
，解得： ，即公比 的取值范围为 .
故答案为： .
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，， 是递增数列， 是递减数列，则 __________．
【答案】
【解析】因为 是递增数列，所以 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 是递减数列，所以 ，
同理 ，所以 ，
所以 ，即 的首项为3，公差为 的等差数列，
即 ．
故答案为： .
