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微重点 9 子数列问题
子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，
一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．
考点一 奇数项、偶数项
例1 (2022·淄博模拟)已知数列{a}满足a＝1，且a ＝n∈N*.设b＝a .
n 1 n＋1 n 2n－1
(1)证明：数列{b＋2}为等比数列，并求出{b}的通项公式；
n n
(2)求数列{a}的前2n项和．
n
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规律方法 (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(a＋a ＝f(n)或a·a ＝f(n))；
n n＋1 n n＋1
②含有(－1)n的类型；
③含有{a }，{a }的类型；
2n 2n－1
④已知条件明确的奇偶项问题．
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a}求S 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的
n n
和，也可以把a ＋a 看作一项，求出S ，再求S ＝S －a .
2k－1 2k 2k 2k－1 2k 2k
跟踪演练1 (2022·山东学期联考)已知数列{a}满足a －a ＝a －a (n≥2)，且a ＝1，a
n n－1 n n n＋1 1 7
＝13；数列{b}的前n项和为S，且S＝.
n n n
(1)求数列{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)若数列c＝求数列{c}的前n项和T.
n n n
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考点二 两数列的公共项
例2 已知数列{a}的前n项和S＝，{b}的前n项之积T＝ (n∈N*)．
n n n n
(1)求{a}与{b}的通项公式；
n n(2)把数列{a}和{b}的公共项由小到大排成的数列记为{c}，求c＋c＋…＋c 的值．
n n n 1 2 20
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规律方法 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两
个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
跟踪演练2 (2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列
{a}，则{a}的前n项和为________．
n n
考点三 分段数列
例3 已知公比大于1的等比数列{a}满足a＋a＝20，a＝8.
n 2 4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)记b 为{a}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
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规律方法 解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意求分段数列的通项，要弄清楚为什么
要分段，从什么地方开始分段．常见的题型有取整问题、求绝对值数列的和、添加部分数列
或删除部分数列等．
跟踪演练3 (2022·荆州质检)已知数列{a}的前n项和为S，满足S＝(a－1)，n∈N*.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)记b＝a·sin ，求数列{b}的前100项的和T .
n n n 100
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