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小题满分练 2
一、选择题
1．(2022·济宁模拟)若集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|3x≥9}，则A∪B等于( )
A．(－1,2] B．[2,3)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，3)
答案 C
解析 A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，
B＝{x|3x≥9}＝{x|x≥2}，
故A∪B＝(－1，＋∞)．
2．(2022·新高考全国Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.
3．(2022·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(－1,3)在
角α的终边上，则sin 2α等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 D
解析 根据三角函数的定义可知sin α＝
＝＝，
cos α＝＝＝－，
由二倍角公式得sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝－.
4．(2022·开封模拟)已知公差为1的等差数列{a}中，a＝aa ，若该数列的前n项和S ＝0，
n 3 6 n
则n等于( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 D
解析 设等差数列{a}的首项为a ，公差为d，则d＝1，又因为a＝aa ，所以(a ＋4d)2＝(a
n 1 3 6 1 1
＋2d)·(a＋5d)，则a＝－6，
1 1
由S＝na＋d＝－6n＋＝n2－n＝0，解得n＝13.
n 1
5.(2022·广州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝4CD，点E
为AD的中点，设BE＝xBA＋yBC，则x＋y等于( )A. B. C. D.
答案 A
解析 连接BD(图略)，因为E为AD的中点，
所以BE＝BA＋BD，
因为BD＝BC＋CD＝BC＋BA，
所以BE＝BA＋＝BA＋BC，
因为BE＝xBA＋yBC，所以x＝，y＝，
所以x＋y＝＋＝.
6．(2022·广东六校联考)一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的
发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟
阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线．美国
生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称
为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为f(x)＝(K>0，a>0，b>0)，x∈[0，＋
∞)，该函数也可以简化为f(x)＝(K>0，a>1，k<0)的形式．已知f(x)＝(x∈N)描述的是一种果
树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1 m，经过一年，该
果树的高为2.5 m，则该果树的高度超过8 m，至少需要( )
A．4年 B．3年 C．5年 D．2年
答案 A
解析 由题意知
则解得b＝2，k＝－1，
∴f(x)＝.
由函数解析式知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
而f(3)＝＝＝7.5<8，
f(4)＝＝9>8，
∴该果树的高度超过8 m，至少需要4年．
7.(2022·太原模拟)七巧板又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可
以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长
为12 cm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括 5个等腰直角三角形，1个正方
形和1个平行四边形．现他从5个三角形中随意取出两个，则这两个三角形的面积之和不小
于另外三个三角形面积之和的概率是( )A. B. C. D.
答案 D
解析 如图所示，设△ADO，△ABO，△GHO，△BEF，△MCF的面积分别为S ，S ，S ，S ，
1 2 3 4
S，
5
所以有S ＝S ＝×12×12＝36，S ＝S ＝××12×12＝9，S ＝××12×12＝18，所以5个等腰直
1 2 3 4 5
角三角形的面积之和为108，依题意得所取的两个等腰直角三角形的面积之和大于或等于
54，故只能在面积为18或36中取两个，
所以所求概率为P＝＝.
8.(2022·沧州模拟)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称
轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的
直径，且∠AOD＝，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接AD，BC，AC，SC.
因为O为AB，CD的中点，且AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形，
所以DB∥AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角．
设圆O的半径为1，则SA＝SC＝.
因为∠AOD＝，所以∠ADO＝.
在Rt△DAC中，CD＝2，得AC＝.
所以在△SAC中，由余弦定理得cos∠SAC＝＝，
所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为.
9．(2022·东北师大附中模拟)已知函数f(x)＝＋ax，则下列关于f(x)的结论中不正确的是()
A．若a≤0，则f(x)单调递减
B．若a≥1，则f(x)单调递增
C．若0<a<1，则f(x)有极值点
D．f(－x)＋f(x)＝2
答案 C
解析 对于A，f′(x)＝－＋a，当a≤0时，f′(x)＝－＋a<0，故A正确；
对于B，当a≥1时，f′(x)＝－＋1＋a－1＝＋a－1>0，故f(x)单调递增，故B正确；
对于C，当a＝时，f′(x)＝－＋＝≥0，f(x)单调递增，无极值点，故C错误；
对于D，f(－x)＋f(x)＝－ax＋＋ax＝＋＝2，故D正确．
10．(2022·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断
△ABC是钝角三角形的有( )
A．a＝3，b＝3，c＝4
B.AB·BC＝－2a
C.＝
D．b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C
答案 C
解析 因为a＝3，b＝3，c＝4，所以角C最大，
由cos C＝＝>0⇒0<C<，
所以不能判断△ABC为钝角三角形，故A不正确，
由AB·BC＝－2a⇒－cacos B＝－2a⇒ccos B＝2⇒B∈，不能判断△ABC是钝角三角形，因
此B不正确；
由正弦定理，知＝⇒＝⇒b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理可知cos A＝＝＝－⇒A＝，所以△ABC是钝角三角形，因此C正确；
由正弦定理，知
b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C
⇒sin2Bsin2C＋sin2Csin2B
＝2sin Bsin Ccos Bcos C
⇒sin Bsin C＝cos Bcos C
⇒cos(B＋C)＝0
⇒cos(π－A)＝0
⇒cos A＝0⇒A＝，
所以△ABC是直角三角形，因此D不正确．
11．(2022·德州质检)已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f(2a)＋
f(b－4)＝0，则＋的最小值是( )A. B. C．2 D．4
答案 B
解析 因为f(2a)＋f(b－4)＝0，
所以f(2a)＝－f(b－4)，
因为奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，
所以f(2a)＝－f(b－4)＝f(4－b)，
所以2a＝4－b，即2a＋b＝4，
所以2a＋2＋b＝6，即2(a＋1)＋b＝6，
所以＋＝[2(a＋1)＋b]
＝
＝
≥
＝×(4＋4)＝，
当且仅当＝，
即当a＝，b＝3时取等号，
所以＋的最小值是.
12．(2022·景德镇模拟)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两
点，B为椭圆的上顶点，若|BM|＝|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设直线l：y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
联立
得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，
所以x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0.
设线段MN的中点为G，
知G点坐标为，
因为|BM|＝|BN|，所以直线BG垂直平分线段MN，
所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G，
可得＝＋b，解得m＝.
因为b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，
解得0<b<，
因为e2＝1－＝1－b2，
所以<e<1.二、填空题
13．(2022·石家庄模拟)在(3＋y)(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．
答案 6
解析 ∵(3＋y)(x－y)4＝(3＋y)·(C·x4－C·x3y＋C·x2y2－C·xy3＋Cy4)，
∴展开式中含x2y3的项为y·C·x2y2＝Cx2y3＝6x2y3，故它的展开式中x2y3的系数为6.
14．若x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________．
答案 9
解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示，
由z＝2x－y，得y＝2x－z，作出直线y＝2x，向下平移过点A时，目标函数取得最大值，
由得即A(4，－1)，
所以z＝2x－y的最大值为2×4－(－1)＝9.
15．(2022·福州质检)写出一个使等式＋＝2成立的α的值为________．
答案 (答案不唯一，只要满足α＝π－(k∈Z)即可)
解析 ∵＋
＝
＝＝2，
∴sin＝sin，
∴2α＋＋2α＋＝(2k＋1)π(k∈Z)，
解得α＝－(k∈Z)，
当k＝0时，α＝，
∴使得等式成立的一个α的值为(答案不唯一)．
16.(2022·承德模拟)某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如
图所示，是由一个圆柱与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，高为2，
半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上、
下底面与毛坯的圆柱底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最
小值为________．答案
解析 如图，设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2＋h(0<h<2)，
则r2＋2＝1，r2＝1－，
∴中空圆柱的体积V＝πr2(2＋h)＝π(2＋h)．
V′＝－π，可得当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，
则当h＝时，V取得最大值为，
又毛坯的体积为π×12×2＋×13＝，
∴该模具体积的最小值为－＝.
