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小题满分练 2
一、选择题
1．(2022·济宁模拟)若集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|3x≥9}，则A∪B等于( )
A．(－1,2] B．[2,3)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，3)
答案 C
解析 A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－10，a>0，b>0)，x∈[0，＋
∞)，该函数也可以简化为f(x)＝(K>0，a>1，k<0)的形式．已知f(x)＝(x∈N)描述的是一种果
树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1 m，经过一年，该
果树的高为2.5 m，则该果树的高度超过8 m，至少需要( )
A．4年 B．3年 C．5年 D．2年
答案 A
解析 由题意知
则解得b＝2，k＝－1，
∴f(x)＝.
由函数解析式知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
而f(3)＝＝＝7.5<8，
f(4)＝＝9>8，
∴该果树的高度超过8 m，至少需要4年．
7.(2022·太原模拟)七巧板又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可
以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长
为12 cm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括 5个等腰直角三角形，1个正方
形和1个平行四边形．现他从5个三角形中随意取出两个，则这两个三角形的面积之和不小
于另外三个三角形面积之和的概率是( )A. B. C. D.
答案 D
解析 如图所示，设△ADO，△ABO，△GHO，△BEF，△MCF的面积分别为S ，S ，S ，S ，
1 2 3 4
S，
5
所以有S ＝S ＝×12×12＝36，S ＝S ＝××12×12＝9，S ＝××12×12＝18，所以5个等腰直
1 2 3 4 5
角三角形的面积之和为108，依题意得所取的两个等腰直角三角形的面积之和大于或等于
54，故只能在面积为18或36中取两个，
所以所求概率为P＝＝.
8.(2022·沧州模拟)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称
轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的
直径，且∠AOD＝，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接AD，BC，AC，SC.
因为O为AB，CD的中点，且AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形，
所以DB∥AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角．
设圆O的半径为1，则SA＝SC＝.
因为∠AOD＝，所以∠ADO＝.
在Rt△DAC中，CD＝2，得AC＝.
所以在△SAC中，由余弦定理得cos∠SAC＝＝，
所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为.
9．(2022·东北师大附中模拟)已知函数f(x)＝＋ax，则下列关于f(x)的结论中不正确的是()
A．若a≤0，则f(x)单调递减
B．若a≥1，则f(x)单调递增
C．若00，故f(x)单调递增，故B正确；
对于C，当a＝时，f′(x)＝－＋＝≥0，f(x)单调递增，无极值点，故C错误；
对于D，f(－x)＋f(x)＝－ax＋＋ax＝＋＝2，故D正确．
10．(2022·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断
△ABC是钝角三角形的有( )
A．a＝3，b＝3，c＝4
B.AB·BC＝－2a
C.＝
D．b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C
答案 C
解析 因为a＝3，b＝3，c＝4，所以角C最大，
由cos C＝＝>0⇒00，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两
点，B为椭圆的上顶点，若|BM|＝|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设直线l：y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
联立
得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，
所以x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0.
设线段MN的中点为G，
知G点坐标为，
因为|BM|＝|BN|，所以直线BG垂直平分线段MN，
所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G，
可得＝＋b，解得m＝.
因为b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，
解得00，当h∈时，V′<0，
则当h＝时，V取得最大值为，
又毛坯的体积为π×12×2＋×13＝，
∴该模具体积的最小值为－＝.
