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小题满分练 1
一、选择题
1．(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于( )
A．{x|0≤x<2} B.
C．{x|3≤x<16} D.
答案 D
解析 因为M＝{x|<4}，所以M＝{x|0≤x<16}；
因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝.
所以M∩N＝.
2．(2022·漳州质检)已知z＝|i－1|＋，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ∵z＝|i－1|＋
＝＋
＝2＋＝－i，
∴在复平面内z对应的点为，位于第四象限．
3．“∀x≥0，a≤x＋”的充要条件是( )
A．a>2 B．a≥2
C．a<2 D．a≤2
答案 D
解析 ∵x≥0，
∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2，
当且仅当x＋2＝，即x＝0时取等号，∴a≤2.
4．(2022·温州质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的
题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小
的两份之和，问最大的一份为( )
A．35 B. C. D．40
答案 C
解析 根据题意设每人所得面包为a，a，…，a，成等差数列且依次增大，
1 2 5
则有
所以a＋a＋a＝7(a＋a)，
3 4 5 1 2可得8(a＋a)＝100，化简得
1 2
设公差为d，所以
所以a＝，d＝，
1
所以a＝＋4×＝.
5
5．(2022·济南质检)为促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙
两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位：分钟)进行了调研．根据统
计数据制成折线图如下：
下列说法不正确的是( )
A．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30
B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65
C．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小
D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大
答案 D
解析 A项，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为 30，故A正确；B项，班级甲
该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为 65，故B正确；C项，班级甲该周每天的人均体
育锻炼时间的极差为72－30＝42，班级乙的极差为90－30＝60，所以班级甲的极差小于班
级乙的极差，故C正确；D项，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，
故D错误．
6．(2022·全国乙卷)执行如图所示的程序框图，输出的n等于( )A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 第一次循环：b＝1＋2×1＝3，a＝3－1＝2，n＝1＋1＝2，＝＝＞0.01；第二次循环：
b＝3＋2×2＝7，a＝7－2＝5，n＝2＋1＝3，＝＝＞0.01；第三次循环：b＝7＋2×5＝17，a
＝17－5＝12，n＝3＋1＝4，＝＝＜0.01，输出n＝4.故选B.
7．(2022·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为sin＝，
所以(cos α－sin α)＝.
所以cos α－sin α＝，
所以1－2sin αcos α＝，
得sin αcos α＝，
因为cos α＋sin α＝＝，
所以＝＝＝＝.
8．(2022·长沙十六校联考)下列不等式成立的是( )
A．log (sin 1)>2sin 1 B.2>
2
C.－>－2 D．log 3<log 5
4 6
答案 D
解析 ∵sin 1∈(0,1)，∴log (sin 1)<0,2sin 1>1，
2
∴log (sin 1)<2sin 1，故A不正确；
2
∵0<2<1， >1，∴2< ，故B不正确；
－＝，－2＝，
∵＋>＋，∴－<－2，
故C不正确；
∵log 3＝1＋log ，log 5＝1＋log ，
4 4 6 6
∵log <log ，且log <log ，
4 4 4 6
∴log <log ，∴log 3<log 5，故D正确．
4 6 4 6
9．(2022·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x，给出下列结论，其中正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是2π
B．函数f(x)在区间上单调递减
C．函数f(x)的图象关于点对称
D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长
度得到
答案 B
解析 由题意，函数f(x)＝sin 2x－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x－1＝sin－1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，所以A错误；
由x∈，可得2x＋∈，
根据正弦函数的图象与性质，可得函数y＝sin x在上单调递减，
所以函数f(x)在区间上单调递减，所以B正确；
由函数f(x)＝sin－1，令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，
当k＝0时，可得x＝－，所以函数f(x)的对称中心为，所以C不正确；
由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin，
再向下平移1个单位长度得到y＝sin－1，所以D不正确．
10．(2022·南通模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂
足为P，点Q在双曲线上，且满足FP＝2FQ，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 设P在渐近线y＝－x上，F(－c,0)，
则直线FP的方程为y＝(x＋c)，
由得
即P，由FP＝2FQ，
得Q，因为Q在双曲线上，
所以－＝1，化简得c2＝2a2，e＝＝.
11.已知O 是正方体ABCD－ABC D 的中心O关于平面ABC D 的对称点，则下列说法中
1 1 1 1 1 1 1 1 1正确的是( )
A．OC 与AC是异面直线
1 1 1
B．OC ∥平面ABCD
1 1 1 1
C．OC ⊥AD
1 1
D．OC ⊥平面BDD B
1 1 1 1
答案 B
解析 如图，连接AC，AC ，交于点O，连接AC ，BD，交于点P.
1 1 1 1 1 1
连接AC，BD，AB，DC，OO.
1 1 1
由题可知，O 在平面AC CA内，∴OC 与AC共面，故A错误；
1 1 1 1 1 1
在四边形OO C C中，OO∥C C且OO＝C C，∴四边形OO C C为平行四边形．
1 1 1 1 1 1 1 1
∴OC ∥OC.
1 1
∵OC⊂平面ABCD ，OC ⊄平面ABCD ，
1 1 1 1 1 1
∴OC ∥平面ABCD ，故B正确；
1 1 1 1
由正方体的性质可得AC ⊥BD，∵OB＝OD，点P为BD 的中点，∴OP⊥BD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又∵OP∩AC ＝P，
1 1 1
∴BD⊥平面OAC ∴BD⊥OC ，
1 1 1 1 1, 1 1 1 1
又∵BD∥BD，
1 1
∴BD⊥OC ，而AD与BD所成角为45°，
1 1
∴显然OC 与AD不垂直，故C错误；
1 1
显然OC 与OB 不垂直，而OB⊂平面BDD B，∴OC 与平面BDD B 不垂直，故D错误．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12．(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)＝x(ex－e－x)＋x2，若f(x)<f(y)<f(x＋y)，则( )
A．xy>0 B．xy<0
C．x＋y>0 D．x＋y<0
答案 A
解析 由题意得函数的定义域为R.
f(－x)＝－x(e－x－ex)＋x2＝x(ex－e－x)＋x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．当x>0时，f′(x)＝ex－＋xex＋xe－x＋2x，
因为x>0，所以f′(x)>0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．
则由已知f(x)<f(y)<f(x＋y)，
得f(|x|)<f(|y|)<f(|x＋y|)，
所以|x＋y|>|y|>|x|，(*)
可知x，y同号，故A正确，B错误；
对于C，当x＝－1，y＝－2时，x＋y＝－3，满足(*)式，此时x＋y<0，故C错误；
对于D，当x＝1，y＝2时，x＋y＝3满足(*)式，此时x＋y>0，故D错误．
二、填空题
13．(2022·济南模拟)曲线f(x)＝ln 2x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为________________．
答案 y＝3x＋ln 2－2
解析 ∵f′(x)＝·(2x)′＋2x＝＋2x，
∴k＝f′(1)＝3，又f(1)＝1＋ln 2，
∴切线方程为y－(1＋ln 2)＝3(x－1)，
即y＝3x＋ln 2－2.
14.(2022·苏州四校联考)如图，在△ABC中， AB＝4，AC＝2，点E，F分别是AB，AC的中
点，则(BF＋CE)·BC＝________.
答案 6
解析 ∵BF＝AC－AB，CE＝AB－AC，
∴BF＋CE＝－(AB＋AC)，
∴(BF＋CE)·BC＝－(AB＋AC)·(AC－AB)
＝(AB2－AC2)＝6.
15．已知函数f(x)＝又函数g(x)＝f(x)－t有4个不同的零点x ，x ，x ，x(x<x<x<x)，则
1 2 3 4 1 2 3 4
x·x·x·x 的取值范围是__________．
1 2 3 4
答案
解析 作出f(x)的图象如图所示，由图可得，t∈(0,1)，x∈，x＋x＝6，
3 3 4
由|log x|＝t得，xx＝1.
2 1 2
因此x·x·x·x＝x(6－x)，
1 2 3 4 3 3
令y＝x(6－x)，
3 3
则y＝x(6－x)在上单调递增，∴y∈.
3 3
16.克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定
理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补
时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆 O的直径为2，A为直径延长线上的一点，
OA＝2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长度最大时，
∠AOC＝______.
答案 60°
解析 因为OB·AC＋OA·BC≥OC·AB，且△ABC为等边三角形，OB＝1，OA＝2，
所以OB＋OA≥OC，所以OC≤3，所以OC的最大值为3，
当不等式OC≤3取等号时，
∠OBC＋∠OAC＝180°，
所以cos∠OBC＋cos∠OAC＝0，不妨设AB＝x，
所以＋＝0，解得x＝，
所以cos∠AOC＝＝，所以∠AOC＝60°.
