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第五周
[周一]
1．(2022·聊城模拟)已知数列{a}满足：a ＋(－1)na＝3，a＝1，a＝2.
n n＋2 n 1 2
(1)记b＝a ，求数列{b}的通项公式；
n 2n－1 n
(2)记数列{a}的前n项和为S，求S .
n n 30
解 (1)因为a ＋(－1)na＝3，
n＋2 n
令n取2n－1，则a －a ＝3，
2n＋1 2n－1
即b －b＝3，b＝a＝1，
n＋1 n 1 1
所以数列{b}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以b＝3n－2.
n n
(2)令n取2n，则a ＋a ＝3，
2n＋2 2n
所以S ＝(a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋…＋a )，
30 1 3 29 2 4 30
由(1)可知，
a＋a＋…＋a ＝b＋b＋…＋b ＝330；
1 3 29 1 2 15
a＋a＋…＋a ＝a＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )＝2＋21＝23，
2 4 30 2 4 6 28 30
所以S ＝330＋23＝353.
30
[周二]
2．如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把△BDC沿BD折起，使得点C至点P处，如
图2.
(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若PA与平面ABD所成角的余弦值为，AB＝2，求三棱锥P－ABD的体积．
(1)证明 如图所示，取AC与BD的交点为O，连接PO，
由题意得AC⊥BD，CB＝CD，PB＝PD，∴PO⊥BD，
∵AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，AC∩PO＝O，
∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，
∴平面PAC⊥平面ABCD.(2)解 ∵AO＝CO＝PO，
∴△PAC为直角三角形，
∵PA与平面ABD所成角的余弦值为，即∠PAC＝45°，
∴△PAC为等腰直角三角形，
∴PO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，
∴PO⊥平面ABCD，
∵AB＝2，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，
∴BD＝2，AO＝CO＝PO＝，
∴V ＝S ·PO＝××2××＝1.
P－ABD △ABD
[周三]
3．在一次数学考试中，将某班所有学生的成绩按照性别绘制成如图所示的茎叶图，规定：
分数不低于125分为优秀．
(1)求本次成绩的众数、中位数；
(2)从该班中任意抽取一名学生，求该学生成绩优秀的概率；
(3)完成下列2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为该班学生数学成绩是否优秀与性别
有关？
数学成绩 男生 女生 总计
优秀
不优秀
总计
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
0
解 (1)本次成绩的众数为124，中位数为＝127.5.
(2)由茎叶图可知，该班有50名学生，成绩优秀的有28名，所以从该班中任意抽取一名学生，
该学生成绩优秀的概率P＝＝.
(3)2×2列联表如下，
数学成绩 男生 女生 总计优秀 16 12 28
不优秀 9 13 22
总计 25 25 50
K2＝＝≈1.299，
因为1.299<2.706，
所以没有90%的把握认为该班学生数学成绩是否优秀与性别有关．
[周四]
4．(2022·南通模拟)已知函数f(x)＝ln x＋，其中a∈R，e为自然对数的底数，e≈2.718.
(1)若函数f(x)在定义域上有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)当a＝1时，求证：f(x)<＋sin x.
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故函数f(x)在定义域上不可能有两个零点；
当a>0时，令f′(x)>0得x>a，
令f′(x)<0得00，当x→0时，f(x)→＋∞，
由零点存在定理可知，在(0，a)与(a,1)范围内各有一个零点，
综上，实数a的取值范围是.
(2)证明 当a＝1时，要证f(x)<＋sin x，
即证ln x＋<＋sin x(x>0)，
由于sin x∈[－1,1]，
故＋sin x≥－1，
只需证ln x＋<－1，
令h(x)＝ln x＋－＋1(x>0)，
则h′(x)＝－－
＝，
因为x>0，所以1－ex<0，令h′(x)>0得01，
所以h(x)在x＝1处取得极大值，也是最大值，
h(x) ＝h(1)＝2－e<0，
max
故h(x)<0在x∈(0，＋∞)上恒成立，结论得证．
[周五]
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点P到两个焦点的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程和短轴长；
(2)已知点D(－4,0)，过左焦点F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A，B两点，设直线AD
1
与椭圆C的另一个交点为E，连接EF，求证：FD平分∠BFE.
1 1 1
(1)解 由题意知则故b2＝a2－c2＝3，则b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1，短轴长为2.
(2)证明 要证FD平分∠BFE，即证∠EFD＝∠BFD＝∠AFF(F 为椭圆右焦点)，如图所示，
1 1 1 1 1 2 2
所以，只需证 ＝0即可，F(－1,0)，
1
由题意，设直线AD的方程为y＝k(x＋4)，A(x ，y )，E(x ，y )，联立椭圆方程并整理得(3＋
A A E E
4k2)x2＋32k2x＋64k2－12＝0，
所以x ＋x ＝－，x x ＝，且Δ＝144(1－4k2)>0，即－0，解得a>－1或a<－－1，
且t＋t＝(1＋a)，tt＝1，
1 2 12
设点P，Q分别对应参数t，t.
1 2
则|MP|＝|t|，|MQ|＝|t|，|PQ|＝|t－t|，
1 2 1 2
由题意得|t－t|2＝4|t||t|，
1 2 1 2
则有(t＋t)2＝8tt，即2(1＋a)2＝8，
1 2 12
解得a＝1或a＝－3.
6．[不等式选讲]
已知正数a，b，c，d满足a2＋b2＋c2＋d2＝1，证明：
(1)0
