小题满分练 2
一、选择题
1．(2022·济宁模拟)若集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|3x≥9}，则A∪B等于( )
A．(－1,2] B．[2,3)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，3)
答案 C
解析 A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，
B＝{x|3x≥9}＝{x|x≥2}，
故A∪B＝(－1，＋∞)．
2．(2022·新高考全国Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.
3．(2022·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(－1,3)在
角α的终边上，则sin 2α等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 D
解析 根据三角函数的定义可知sin α＝
＝＝，
cos α＝＝＝－，
由二倍角公式得sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝－.
4．(2022·开封模拟)已知公差为1的等差数列{a}中，a＝aa ，若该数列的前n项和S ＝0，
n 3 6 n
则n等于( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 D
解析 设等差数列{a}的首项为a ，公差为d，则d＝1，又因为a＝aa ，所以(a ＋4d)2＝(a
n 1 3 6 1 1
＋2d)·(a＋5d)，则a＝－6，
1 1
由S＝na＋d＝－6n＋＝n2－n＝0，解得n＝13.
n 1
5.(2022·广州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝4CD，点E
为AD的中点，设BE＝xBA＋yBC，则x＋y等于( )A. B. C. D.
答案 A
解析 连接BD(图略)，因为E为AD的中点，
所以BE＝BA＋BD，
因为BD＝BC＋CD＝BC＋BA，
所以BE＝BA＋＝BA＋BC，
因为BE＝xBA＋yBC，所以x＝，y＝，
所以x＋y＝＋＝.
6．(2022·广东六校联考)一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的
发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟
阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线．美国
生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称
为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为f(x)＝(K>0，a>0，b>0)，x∈[0，＋
∞)，该函数也可以简化为f(x)＝(K>0，a>1，k<0)的形式．已知f(x)＝(x∈N)描述的是一种果
树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1 m，经过一年，该
果树的高为2.5 m，则该果树的高度超过8 m，至少需要( )
A．4年 B．3年 C．5年 D．2年
答案 A
解析 由题意知
则解得b＝2，k＝－1，
∴f(x)＝.
由函数解析式知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
而f(3)＝＝＝7.5<8，
f(4)＝＝9>8，
∴该果树的高度超过8 m，至少需要4年．
7．(2022·泸州模拟)《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴
阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，
五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数分别记为 a，
b，则满足|a－b|＝1的概率为( )A. B. C. D.
答案 B
解析 阳数为1,3,5,7,9，阴数为2,4,6,8,10，则选出的(a，b)的所有情况如下：(1,2)，(1,4)，
(1,6)，(1,8)，(1,10)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(3,10)，
(5,2)，(5,4)，(5,6)，(5,8)，(5,10)，(7,2)，(7,4)，(7,6)，(7,8)，(7,10)，(9,2)，(9,4)，(9,6)，
(9,8)，(9,10)，共有25种情况，其中满足|a－b|＝1的有(1,2)，(3,2)，(3,4)，(5,4)，(5,6)，
(7,6)，(7,8)，(9,8)，(9,10)，共9种情况，
所以概率为.
8.(2022·沧州模拟)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称
轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的
直径，且∠AOD＝，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接AD，BC，AC，SC.
因为O为AB，CD的中点，且AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形，
所以DB∥AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角．
设圆O的半径为1，则SA＝SC＝.
因为∠AOD＝，所以∠ADO＝.
在Rt△DAC中，CD＝2，得AC＝.
所以在△SAC中，由余弦定理得cos∠SAC＝＝，
所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为.
9．(2022·东北师大附中模拟)已知函数f(x)＝＋ax，则下列关于f(x)的结论中不正确的是(
)A．若a≤0，则f(x)单调递减
B．若a≥1，则f(x)单调递增
C．若0<a<1，则f(x)有极值点
D．f(－x)＋f(x)＝2
答案 C
解析 对于A，f′(x)＝－＋a，当a≤0时，f′(x)＝－＋a<0，故A正确；
对于B，当a≥1时，f′(x)＝－＋1＋a－1＝＋a－1>0，故f(x)单调递增，故B正确；
对于C，当a＝时，f′(x)＝－＋＝≥0，f(x)单调递增，无极值点，故C错误；
对于D，f(－x)＋f(x)＝－ax＋＋ax＝＋＝2，故D正确．
10．(2022·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断
△ABC是钝角三角形的有( )
A．a＝3，b＝3，c＝4
B.AB·BC＝－2a
C.＝
D．b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C
答案 C
解析 因为a＝3，b＝3，c＝4，所以角C最大，
由cos C＝＝>0⇒0<C<，
所以不能判断△ABC为钝角三角形，故A不正确，
由AB·BC＝－2a⇒－cacos B＝－2a⇒ccos B＝2⇒B∈，不能判断△ABC是钝角三角形，因
此B不正确；
由正弦定理，知＝⇒＝⇒b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理可知cos A＝＝＝－⇒A＝，所以△ABC是钝角三角形，因此C正确；
由正弦定理，知
b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C
⇒sin2Bsin2C＋sin2Csin2B
＝2sin Bsin Ccos Bcos C
⇒sin Bsin C＝cos Bcos C
⇒cos(B＋C)＝0
⇒cos(π－A)＝0
⇒cos A＝0⇒A＝，
所以△ABC是直角三角形，因此D不正确．
11．已知x＋y＝＋＋8(x，y>0)，则x＋y的最小值为( )
A．5 B．9C．4＋ D．10
答案 B
解析 x＋y＝＋＋8⇒x＋y－8＝＋，
两边同时乘以“x＋y”得(x＋y－8)(x＋y)＝(x＋y)，
所以(x＋y－8)(x＋y)＝(x＋y)＝5＋＋≥9，
当且仅当y＝2x时等号成立，令t＝x＋y，
所以(t－8)·t≥9，解得t≤－1或t≥9，
因为x＋y>0，所以x＋y≥9，即(x＋y) ＝9.
min
12．(2022·临沂模拟)已知F ，F 分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在
1 2
第二象限内，且满足|FP|＝a，(F2P＋F2F1)·F1P＝0，线段FP与双曲线C交于点Q，若|FP|
1 1 1
＝3|FQ|.则C的离心率为( )
1
A. B. C. D.
答案 C
解析 取线段FP的中点E，连接FE，
1 2
因为(F2P＋F2F1)·F1P＝0，所以FE⊥FP，
2 1
所以△FFP是等腰三角形，且|FP|＝|FF|＝2c，
1 2 2 1 2
在Rt△FEF 中，由余弦定理得cos∠FFE＝＝＝，
1 2 2 1
连接FQ，又|FQ|＝，点Q在双曲线C上，
2 1
由|FQ|－|FQ|＝2a，则|FQ|＝，
2 1 2
在△FQF 中，cos∠FFQ＝＝＝，整理得12c2＝17a2，
1 2 2 1
所以离心率e＝＝.
二、填空题
13．(2022·大连模拟)已知命题“∃x∈R，x2－2ax＋3a≤0”是假命题，则实数a的取值范围
是________________________________________________________________________．
答案 (0,3)
解析 由题意知“∀x∈R，x2－2ax＋3a>0”为真命题，
所以Δ＝4a2－12a<0，解得0＜a＜3.
14．若x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________．
答案 9
解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示，由z＝2x－y，得y＝2x－z，作出直线y＝2x，向下平移过点A时，目标函数取得最大值，
由得即A(4，－1)，
所以z＝2x－y的最大值为2×4－(－1)＝9.
15．(2022·福州质检)写出一个使等式＋＝2成立的α的值为________．
答案 (答案不唯一，只要满足α＝π－(k∈Z)即可)
解析 ∵＋
＝
＝＝2，
∴sin＝sin，
∴2α＋＋2α＋＝(2k＋1)π(k∈Z)，
解得α＝－(k∈Z)，
当k＝0时，α＝，
∴使得等式成立的一个α的值为(答案不唯一)．
16.(2022·承德模拟)某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如
图所示，是由一个圆柱与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，高为2，
半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上、
下底面与毛坯的圆柱底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最
小值为________．
答案
解析 如图，设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2＋h(0<h<2)，则r2＋2＝1，r2＝1－，
∴中空圆柱的体积V＝πr2(2＋h)＝π(2＋h)．
V′＝－π，可得当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，
则当h＝时，V取得最大值为，
又毛坯的体积为π×12×2＋×13＝，
∴该模具体积的最小值为－＝.
