文档内容
【试卷总评】
试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思
想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知
识与数学思想方法的考查；第18、19、20、21、22题分别从三角函数、立体几何、数列、
解析几何、函数与导数等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查.试卷
整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1.已知集合A={x| x2 -3x +2=0,x∈R } ， B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A ÍC ÍB 的
集合C的个数为( )
A 1 B 2 C 3 D 4
2. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表
分组 [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70)
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10,40]的频率为( )
A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65
【答案】B
【解析】因为样本数据落在区间[10,40]的频数分别为2,3,4, 容量为20,所以样本数据落在
区间[10,40]的频率分别为0.1,0.15,0.2,所以所求频率为0.1+0.15+0.2=0.45,故选B.
【考点定位】本小题考查频率分布表,属统计内容,是高考的重点,年年必考,主要考查抽样方
频数
法、数字特征、线性回归等内容，熟练频率= 等公式是解决好本类问题的关键.
样本容量
第1页 | 共13页3. 函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A 2 B 3 C 4 D 5
[来源:Z,xx,k.Com]
4.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数，它的平方是有理数
B.任意一个无理数，它的平方不是有理数
C.存在一个有理数，它的平方是有理数
D.存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B
【解析】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平
方不是有理数”.
【考点定位】本小题考查存在性命题的否定是全称命题,属于常用逻辑用语内容,常用逻辑用
语是高考的重点内容之一,年年必考,多以小题形式出现,考查充分必要条件、四种命题等内
容.
5.过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之
差最大，则该直线的方程为 ( )
[来源:学 科网]
A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0
【答案】A
【解析】要使直线将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分成这两部分的面积之差最大，只需
过点P（1,1）的直线与圆相交得的弦长最短即可,所以该直线的斜率为-1，又因为直线过点P
（1,1）,所以所求直线的方程为x+y-2=0.
【考点定位】本题考查直线与圆的基础知识.对文科来说,直线与圆一直是高考的重点,经常
以选择或填空题的形式单独考查直线与圆的知识，也可能与圆锥曲线相结合以解答题的形式
y
1
第2页 | 共13页
O 1 2 x
-1
第6题图考查，难度较大.
6．已知定义在区间（0，2）上的函数y=f(x)的图像如图所示，
则y=-f(2-x)的图像为( )
y y y y
1 1 1 1
O 1 2 x O 1 2 x O 1 2 x O 1 2 x
-1 -1 -1 -1
A B C D
7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a }，{f
n
（a ）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+
n
∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③ f(x)= |x|；④f（x）=ln|x |.
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【答案】C
【解析】若数列{a }是等比数列，则数列
a
2
也是等比数列,故①是“保等比数列函数”;
n n
同理③对应的函数也是等比数列,故选C.
【考点定位】本小题以数列为载体,给出了新定义的题目,考查了同学们利用所学问题分析
问题和解决问题的能力,近几年的高考对这类问题的考查越来越重视,应引起我们的重视.
8.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且
A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为( )
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
第3页 | 共13页1 1 1
9.设a,b,c,∈ R,,则“abc=1”是“ + + £a+b+c”的( )
a b c
A.充分条件但不是必要条件，B.必要条件但不是充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件
【答案】A
1 1 1
【解析】若 “abc=1”,则 + + = bc + ac + ab £a+b+c,故是充分条件;
a b c
反之,不成立.
【考点定位】本小题考查不等式与充分必要条件,这是高考的重点内容之一,熟练基础知识是
解答本类题目的关键.
10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
1 1 1 2 2
A. - B. . C. 1- D.
2 p p p p
第4页 | 共13页二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。请将答案填在答题卡对应题号的位
置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
11.一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。现用分层抽样的方法抽取若干人，
若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人。
【答案】6
【解析】因为这支田径运动队有男、女运动员的人数的比例为4:3,抽取的男运动员有8人，
7 3
所以这支田径运动队的男、女运动员共有8´ =14人, 则抽取的女运动员有14´ =6
4 7
人.
【考点定位】本小题考查分层抽样方法,属容易题.抽样方法是高考的重点内容之一,几乎年
年必考,其中分层抽样与系统抽样是高考的热点内容,应熟练掌握.
3+bi
12.若 =a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________.
1-i
【答案】3
【解析】由题意知:3+bi = (a+bi)(1-i),所以由复数相等的定义知a+b=3且b-a=b,
解得a=0,b=3,所以a+b=3.
【考点定位】本小题考查复数相等的含义.复数的运算及复数相等是复数的重点内容之一,也
是高考的重点内容,年年必考,以选择或填空题的形式出现.
r r
13.已知向量a=（1,0），b=（1,1），则
r r
（Ⅰ）与2a+b同向的单位向量的坐标表示为____________；
r r r
（Ⅱ）向量b-3a与向量a夹角的余弦值为____________。
第5页 | 共13页ìx- y³-1,
ï
14.若变量x，y满足约束条件íx+ y³1, ，则目标函数z=2x+3y的最小值是________.
ï
î3x- y£3,
【答案】2
【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图所示:
由图可知,当目标函数z=2x+3y表示的直线经过点A(1,0)时, z=2x+3y取得最小值为2.
【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识,属于常见题型,不难. 线性规划是不等式的重
点内容,是高考的热点内容之一,年年必考,主要考查本题类型或约束条件中含有变量,或与
均值不等式等其它知识相结合,经常以选择或填空题的形式出现.
[来源:Zxxk.Com]
15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.
第6页 | 共13页【解析】由三视图可知,该几何体为一个底面半径为1且高为4的倒放的圆柱的两端接上两
个底面半径为2且高为1的圆柱，是一个组合体，所以其体积为p×22´1´2+p×4=12p.
【考点定位】本小题考查立体几何中的三视图,考查了同学们的空间想象能力.三视图是高考
的热点,年年必考,一般以选择或填空题的形式出现.
16.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=_________。
【答案】9
【解析】当a=1,n=1时,计算出的s =1;当a=3,n=2时,计算出的s =4;当a=5,n=3
时,计算出的s =9,此时输出的结果s=9.
【考点定位】本小题考查框图的基本知识.框图是高考的热点内容之一,年年必考,经常以选
择或填空题的形式出现一个,难度不大,熟练基本算法以及算到哪一步是解决好本类问题的
关键.
17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究
过如图所示的三角形数：
···
1 3 6 10
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{a }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成
n
一个新数列{b }，可以推测：
n
第7页 | 共13页（Ⅰ）b 是数列{an}中的第______项；
2012
（Ⅱ）b =______。（用k表示）
2k-1
三、解答题：本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本小题满分12分）
设函数 f(x)=sin2wx+2 3sinwx×coswx-cos2wx+l(xÎR)的图像关于直线x=π对
1
称，其中w，l为常数，且wÎ( , 1).
2
（1） 求函数f（x）的最小正周期；
p
（2） 若y=f（x）的图像经过点( ,0)，求函数f（x）的值域.
4
【解析】（1）因为 f(x)=sin2wx-cos2wx+2 3sinwx×coswx+l
p
=-cos2wx+ 3sin2wx+l=2sin(2wx- )+l，所以
6
p
由直线直线x=π是y = f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2wx- )=±1，
6
p p k 1 1
所以2wx- )=kp+ ,kÎz，即w= + ,kÎz，又因为wÎ( ,1),kÎz，
6 2 2 3 2
5 6p
所以k =1，故w= ，所以 f(x)的最小正周期是 .
6 5
p p
(2)由y = f(x)的图象过点( ,0),得 f( )=0,
4 4
5 p p p
即l=-2sin( ´ - )=-2sin =- 2,即l=- 2,
6 2 6 4
第8页 | 共13页5 p
故 f(x) =2sin( x- )- 2,
3 6
所以函数f（x）的值域为[-2- 2,2- 2].
【考点定位】本题考查三角函数的化简与求值,考查三角函数的基本性质等基础知识,考查考
生分析问题与解决问题的能力.
19. （本小题满分12分）
[来源:学科网ZXXK]
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰
梯形的四棱台A B C D -ABCD，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形
1 1 1 1
的四棱柱ABCD-A B C D 。
2 2 2 2
（1） 证明：直线B D ⊥平面ACC A ；
1 1 2 2
（2） 现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知 AB=10， A D 2 C 2
2 B
2
A B =20，AA =30，AA =13（单位：厘米），每平方厘米的
1 1 2 1
加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
【解析】(1)因为四棱柱ABCD-A B C D 全等的矩形，所以
2 2 2 2
D C
A
AA ⊥AB, AA ⊥AD, B
2 2
D
1 C
1
又因为 ABÇAD= A,所以 AA ⊥平面ABCD,连结BD,因为BDÌ
A B
2 1 1
第19题图
平面ABCD,所以AA ⊥BD,
2
又因为四棱台A B C D –ABCD的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所以
1 1 1 1
1
S =S +S = (AB )2 +4´ (AB+ AB )h =
2 直棱柱下底面 四棱台侧面 1 1 2 1 2 等腰梯形的底
第9页 | 共13页1 1
202 +4´ (10+20) 132 -[ (20-10)]2 =1120(cm2).
2 2
所以该实心零部件的表面积为S =S +S =1300+1120=2420(cm2)，
1 2
所以所需加工处理费为0.2S =0.2´2420=484（元）.
【考点定位】本小题考查空间线线与线面的位置关系,考查同学们的空间想象能力、逻辑推
理能力、分析问题与解决问题的能力.
20.（本小题满分13分）
已知等差数列{a }前三项的和为-3，前三项的积为8.
n
（1） 求等差数列{a }的通项公式；
n [来源:学*科*网]
（2）若a ,a ,a 成等比数列，求数列{a }的前n项和。
2 3 1 n
【解析】(1)设等差数列{a }的公差为d ,则a =a +d ,a =a +2d ,
n 2 1 3 1
ì3a +3d =-3 ìa =2 ìa =-4
由题意得í 1 ,解得í 1 或í 1 ,
î a (a +d)(a +2d)=8 îd =-3 îd =3
1 1 1
所以由等差数列通项公式可得:a =3n+5或a =3n-7.
n n
(2)当a =3n+5时,a ,a ,a 分别为-1,-4,2,不成等比数列;
n 2 3 1
当a =3n-7时,a ,a ,a 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件,所以
n 2 3 1
ì-3n+7,n=1,2
|a |=|3n-7|=í ,设数列 a 的前n项的和为S ,则
n î3n-7,n³3 n n
当n=1时,S =|a |=4; 当n=2时,S =|a |+|a |=5;
1 1 1 1 2
当n³3时,S
n
=S
2
+|a
3
|+|a
4
|+
L
+|a
n
|=5+(3´3-7)+(3´4-7)+
L
+(3n-7)
(n-2)[2+(3n-7) 3 11
=5+ = n2 - n+10,当n=2时,满足上式,
2 2 2
ì4,n=1
ï
综上,S =í3 11 .
n n2 - n+10,n³2
ï
î2 2
【考点定位】本小题考查等差数列的通项公式的求解,考查等比数列等基础知识,考查分类讨
论的数学思想方法,考查同学们运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
21. （本小题满分14分）
[来源:Zxxk.Com]
第10页 | 共13页设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，
点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）.当点A在圆上运动时，记点M
的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点且斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上
的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥
PH？若存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x ,y )，则由|DM |=m|DA|(m>0,且m¹1)，
0 0
1
可得x=x ，| y|=m| y |，所以x =x，| y |= | y|. ①
0 0 0 0 m
因为A点在单位圆上运动，所以x 2 + y 2 =1. ②
0 0
y2
将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2 + =1 (m>0,且m¹1).
m2
因为mÎ(0,1) (1, +¥)，所以
U
当01时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0, - m2 -1)，(0, m2 -1).
[来源:学*科*网Z*X*X*K] y y y
H
A
H N
P
N P
M
O D x O x O x
Q
Q
图1
图2 (01)
第21题解答图
（Ⅱ）解法1：如图2、3，"k >0，设P(x,kx )，H(x ,y )，则Q(-x, -kx )，N(0, kx )，
1 1 2 2 1 1 1
直线QN的方程为y=2kx+kx ，将其代入椭圆C的方程并整理可得
1
(m2 +4k2)x2 +4k2xx+k2x2 -m2 =0.
1 1
依题意可知此方程的两根为-x ，x ，于是由韦达定理可得
1 2
4k2x m2x
-x +x =- 1 ，即x = 1 .
1 2 m2 +4k2 2 m2 +4k2
第11页 | 共13页2km2x
因为点H在直线QN上，所以y -kx =2kx = 1 .
2 1 2 m2 +4k2
uuur uuur 4k2x 2km2x
于是PQ=(-2x, -2kx )，PH =(x -x, y -kx )=(- 1 , 1 ).
1 1 2 1 2 1 m2 +4k2 m2 +4k2
uuur uuur 4(2-m2)k2x2
而PQ^PH 等价于PQ×PH = 1 =0，
m2 +4k2
即2-m2 =0，又m>0，得m= 2，
y2
故存在 m= 2，使得在其对应的椭圆 x2 + =1上，对任意的 k >0，都有
2
PQ^PH .
y2
故存在m= 2，使得在其对应的椭圆x2 + =1上，对任意的k >0，都有PQ^PH .
2
【考点定位】本小题考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识,考查函数与方程思想、分类讨
论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力.
22.（本小题满分14分）
设函数 f(x)=axn(1-x)+b (x>0)，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的
切线方程为x+y=1.
（1）求a,b的值；
（2）求函数f(x)的最大值
[来源:Z,xx,k.Com]
第12页 | 共13页1
（3）证明：f(x)< .
ne
在(0,1)上,j'(t)<0,故j(t)单调递减;在(1,+¥)上, j'(t)>0,故j(t)单调递增,
所以j(t)在(0,+¥)上的最小值为j(1)=0,所以j(t)>0,(t >1),
1
即lnt >1- (t >1).
t
1 n+1 1 n+1
令t =1+ ，得ln > ，即ln( )n+1 >lne，
n n n+1 n
n+1 nn 1
所以( )n+1 >e，即 < .
n (n+1)n+1 ne
nn 1
由（Ⅱ）知， f(x)£ < ，故所证不等式成立.
(n+1)n+1 ne [来源:Z.xx.k.Com]
【考点定位】本小题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最大值、证明
不等式等问题,考查同学们分析问题和解决问题的能力.
第13页 | 共13页
