2013年高考数学试卷（理）（安徽）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2012-2025·（安徽）数学高考真题

何图形的认识和把握；大题20题数列证明题，难度极大，考查了数列与函数的综合，含双变量，
考生在做的时候，不能有效的把握好，同时还考查了常见的放缩方法；大题第21题：概率压轴题，
意思难懂，计算了较大，还考查了分类讨论思想.
第1页 | 共22页本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！
一．选择题选择题：本大题共 10小题.每小题 5分，共 50分.在每个小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
_
（1）设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若zzi22z，则z=（ ）
（A）1i （B）1i （C）1i （D）-1-i
（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
1 25 3 11
（A） （B） （C） （D）
6 24 4 12
【答案】D
第2页 | 共22页（3）在下列命题中，不是公理的是（ ）
（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行
（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
（D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线
（4）“a0”“是函数 f x ax1x 在区间  0,  内单调递增”的（ ）
（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
第3页 | 共22页（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在
某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为
88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）
（A）这种抽样方法是一种分层抽样
（B）这种抽样方法是一种系统抽样
（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
【答案】C
【解析】一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取
一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样.分层抽样又称
类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：（1）分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要
第4页 | 共22页（6）已知一元二次不等式 f  x ＜0的解集为  x|x＜1或x＞ 1   ，则 f  10x  ＞0的解集为（ ）
 2
（A）  x|x＜1或x＞-lg2  （B）  x|1＜x＜lg2 
(C) {x|x>lg2} (D) {x| x<lg2}
（7）在极坐标系中，圆2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）

（A）（0 R）和cos2 （B） （R）和cos2
2

（C） （R）和cos1 （D）（0 R）和cos1
2
【答案】B
【解析】将圆2cos转化为直角坐标系方程： x2  y2 2x，可求的垂直与 x轴的方程为
x0和x2再将x0和x2转化为极坐标系方程为：

 （R）和cos2
2
【学科网考点定位】极坐标与直角坐标系的相互转化，极坐标运算.
第5页 | 共22页(8) 函数 y  f(x)的图像如图所示，在区间a,b上可找到n(n2)个不同的数x ,x , ,x 使得
1 2  n，
f(x ) f(x ) f(x )
1  2   n ，则n的取值范围为（ ）

x x x
1 2 n
(A)
2,3
(B)
2,3,4
(C)
3,4
(D)
3,4,5
（9）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A,B满足 OA  OB OAOB2，则点集
    
P|OPOAOB, 1,,R 所表示的区域的面积是（ ）
（A）2 2 （B）2 3 （C） 4 2 （D）4 3
第6页 | 共22页（10）若函数 f  x   x3ax2 bxc有极值点 x ,x ，且 f  x   x ，则关于 x的方程
1 2 1 1
3

f

x
2
2af

x

b0的不同实根个数是（ ）
（A）3 （B）4
（C） 5 （D）6
【答案】A
第7页 | 共22页二．填空题
8
 a 
（11）若x  的展开式中x4的系数为7，则实数a_________.
 3 x 
1
【答案】
2
第8页 | 共22页（12）设DABC的内角 A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若bc2a，则3sin A5sinB则角
C _________.
（13）已知直线y a交抛物线y  x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，
则a的取值范围为___________.
（14）如图，互不相同的点A，A，A 和B，B B 分别在角O的两条边上，所有A B
1 2 n 1 2 n n n
 
相互平行，且所有梯形A B B A 的面积均相等.设OA a 若a 1,a 2则数列 a 的通项
n n n1 n1 n n 1 2 n
公式是____________.
第9页 | 共22页（15）如图，正方体ABCDABC D 的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC 上的动点，
1 1 1 1 1
过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 （写出所有正
确命题的编号）.
第10页 | 共22页1
①当0<CQ< 时，S为四边形
2
1
②当CQ 时，S为等腰梯形
2
3 1
③当CQ 时，S与C D 的交点R满足C R
4 1 1 1 3
3
④当 <CQ<1时，S为六边形
4
6
⑤当CQ1时，S的面积为
2
第11页 | 共22页第12页 | 共22页三.解答题
（16）（本小题满分12分）
 
已知函数 f  x  4cosxsinx   ＞0  的最小正周期为.
 4
（Ⅰ）求的值；
é ù
（Ⅱ）讨论 f  x  在区间 0, 上的单调性.
ê ú
ë 2û
第13页 | 共22页（17）（本小题满分12分）
设函数 f  x  ax  1a2  x2，其中a＞0，区间I   x| f x＞0 
（Ⅰ）求I 的长度（注：区间  ，  的长度定义为-）；
 
（Ⅱ）给定常数k 0,1 ，当1k a1k时，求I 长度的最小值.
第14页 | 共22页（18）（本小题满分12分）
x2 y2
设椭圆  1的焦点在x轴上
a2 1a2
（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设F，F 分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F P交 y轴与点
1 2 2
Q，并且FP FQ，证明：当a变化时，点P在某定直线上.
1 1
第15页 | 共22页再利用P在圆锥曲线上，即可求出P点坐标，继而能够确定P点在定直线上，属于中档题.
【学科网考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线与直线，直线与椭圆的位置关系.
（19）（本小题满分13分）
第16页 | 共22页如图，圆锥顶点为P.底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5.AB和CD是底面圆O上的两
条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60，
（Ⅰ）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（Ⅱ）求cosCOD.
取CD的中点E，连接OE，PE，则OE CD,PE CD
CD面OEP，CD底面ABDC
OEP PCD
第17页 | 共22页（20）（本小题满分13分）
x2 x3 xn
设函数 f  x  1x   (xR,nN*)，证明：
x 22 32 n2
é2 ù
（Ⅰ）对每个nN*，存在唯一的x  ,1 ，满足 f  x  0；
n ê ë3 ú û x n
1
（Ⅱ）对任意 pN*，由（Ⅰ）中x 构成的数列  x  满足0＜x x ＜ .
n n n np n
第18页 | 共22页①②并移项，利用0< x < x 1，得
np n
第19页 | 共22页（21）（本小题满分13分）
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负
责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数）.假设李
老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到.记
该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x
（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
 
（Ⅱ）求使P X m 取得最大值的整数m.
【答案】设事件A：“学生甲收到李老师所发信息”，事件B：“学生甲收到张老师所发信息”，由题
意A和B是相互独立的事件，则A与B 相互独立，
Ck1 k
而P(A) P(B) n1 
Ck n
n
第20页 | 共22页é(k1)2ù
则当(k1)2不能被n2整除时，P(X m)在m2k
ê ú
处达最大值.（注：x表示不
ë n2 û
第21页 | 共22页第22页 | 共22页