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第4 讲 转化与化归思想
思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种情
形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时
也是获取成功的思维方式.
方法一 特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊
问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某
些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案.
例1 (1)已知函数f(x)满足对∀x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，且f(1)=1，则f(-3)等于( )
A.2
B.3
C.6
D.9
思路分析 方法一 取特值求f(2)，f(3)
f(3)与f(-3)的关系→求f(-3).
方法二 令f(x)=x2→求f(-3).
答案 D
解析 方法一 令x=y=0，得f(0)=0，
令x=y=1，得f(2)=4，
令x=2，y=1，得f(3)=9，
令x=3，y=-3，得f(0)=f(3)+f(-3)-18，
解得f(-3)=9.
方法二 取f(x)=x2，满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy 及f(1)=1，
所以f(-3)=(-3)2=9.
批注 此类题目一般都是采用方法一，赋值法求解，比较烦琐，所以可以直接取满足条件的函数求解.
(2)在△ABC 中，点M，N 满足⃗AM=2⃗MC，⃗BN=⃗NC，若⃗MN=x⃗AB+y⃗AC，x，y∈R，则x= ，
y= .
思路分析 假设AC⊥AB，AB=4，AC=3，建系→写出坐标→利用向量的坐标运算求解.
答案 1
2 -1
6
解析 特殊化，不妨设AC⊥AB，AB=4，AC=3，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直
线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，M(0，2)，C(0，3)，B(4，0)，N(2，3
2)，
∴⃗MN=(2，- 1
2)，⃗AB=(4，0)，⃗AC=(0，3)，
∵⃗MN=x⃗AB+y⃗AC，即(2，- 1
2)=x(4，0)+y(0，3)，
∴4x=2，3y=-1
2，∴x=1
2，y=-1
6.
[规律方法] 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，
使我们达到成批处理问题的效果.对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一
个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案.
方法二 命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包
括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化.
例2 (1)已知命题p：∃x∈(0，3)，x2-a-2ln x≤0.若p 为假命题，则a 的取值范围为 .
思路分析 p 为假命题→綈p 为真命题→x2-a-2ln x>0 恒成立→a<x2-2ln x 恒成立→利用导数研究最值求解.
答案 (-∞，1)
解析 ∵p 为假命题，
∴綈p：∀x∈(0，3)，x2-a-2ln x>0 为真命题，
故对∀x∈(0，3)，a<x2-2ln x 恒成立，
令f(x)=x2-2ln x，x∈(0，3)，
则f'(x)=2x-2
x =2( x
2-1)
x
，x∈(0，3)，
令f'(x)>0，解得1<x<3；
令f'(x)<0，解得0<x<1，
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，
∴f(x)min=f(1)=1，∴a<1.
(2)某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示，底面ABCD 是边长为2 的
正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直，
则该包装盒的容积为( )
A.10√3
3
B.20
3
C.10√3
D.20
思路分析 补成长方体→求补的部分的体积→长方体的体积减去补的部分的体积即可.
答案 A
解析 将几何体补全为长方体，如图所示，
A1E=A1H=1
2A1B1=1，
AA1=√A E
2- A1 E
2
=√2
2-1
2=√3，
所以该包装盒的容积为
V 长方体ABCD - A1B1C1 D1-4V 三棱锥A - A1 EH
=2×2×√3-4×[
1
3 ×(
1
2 ×1×1)×√3]
=4√3-2√3
3
=10√3
3
.
[规律方法] 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见的思路；对复杂问题可采用正难则反策
略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.
方法三 函数、方程、不等式之间的转化
函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y=f(x)的图象性质可以确定方程f(x)=0、不等式f(x)>0 和
f(x)<0 的解集.
例3 (1)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x∈[
1
e ，1]，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得ln x-
x+1+a=y2ey成立，则实数a 的取值范围是( )
A.[
1
e ，e]
B.(
2
e ，e]
C.(
2
e ，+∞)
D.(
2
e ，e+ 1
e)
思路分析 f(x)=ln x-x+1+a，x∈[
1
e ，1]的值域M→g(y)=y2ey的单调性、图象→结合g(y)的图象，找到唯一
的y 对应的g(y)的值的取值集合N→利用M⊆N 求解.
答案 B
解析 设f(x)=ln x-x+1+a，当x∈[
1
e ，1]时，f'(x)=1- x
x
≥0，f(x)单调递增，
所以当x∈[
1
e ，1]时，f(x)∈[a- 1
e ，a].
设g(y)=y2ey，则g'(y)=eyy(y+2)，
则g(y)在[-1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，g(0)=0，且g(-1)=1
e <g(1)=e，
因为对任意的x∈[
1
e ，1]，
总存在唯一的y∈[-1，1]，
使得f(x)=g(y)成立，所以[a- 1
e ，a]⊆(
1
e ，e]，
所以2
e <a≤e.
(2)已知m，n∈(2，e)，且1
n
2- 1
m
2<ln m
n ，则( )
A.m>n B.m<n
C.m>2+1
n D.m，n 的大小关系不确定
思路分析 由1
n
2- 1
m
2<ln m
n →1
n
2+ln n< 1
m
2+ln m→构造函数f(x)= 1
x
2+ln x→利用函数性质解不等式.
答案 A
解析 由不等式可得1
n
2- 1
m
2<ln m-ln n，
即1
n
2+ln n< 1
m
2+ln m，
设f(x)= 1
x
2+ln x，x∈(2，e)，
则f'(x)=- 2
x
3+1
x = x
2-2
x
3
.
因为x∈(2，e)，所以f'(x)>0，
故函数f(x)在(2，e)上单调递增.
因为f(n)<f(m)，
所以n<m.
[规律方法] 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最
值(值域)问题，从而求出含参变量的范围.
专题强化练
[分值：80 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于( )
A.-26
B. -18
C. -10
D.10
答案 A
解析 ∵f(x)=x5+ax3+bx-8，
∴f(-x)=-x5-ax3-bx-8，
∴f(x)+f(-x)=-16，
令x=2，则f(2)+f(-2)=-16，
又f(-2)=10，∴f(2)=-16-10=-26.
2.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是( )
A.3
B.4
C.9
2
D.11
2
答案 B
解析 由2xy≤(
x +2 y
2 )
2
得，
8=x+2y+2xy≤x+2y+(
x +2 y
2 )
2
(当且仅当x=2y 时取等号)，解得x+2y≥4 或x+2y≤-8，
由条件知x+2y>0，所以x+2y≥4，
当且仅当x=2，y=1 时等号成立.
所以x+2y 的最小值为4.
3.在平行四边形ABCD 中，|⃗AB|=12，|⃗AD|=8，若点M，N 满足⃗BM=3⃗MC，⃗DN=2⃗NC，则⃗AM·⃗NM等于(
)
A.20
B.15
C.36
D.6
答案 C
解析 假设平行四边形ABCD 为矩形，以A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示
的平面直角坐标系，
则A(0，0)，M(12，6)，N(8，8)，
∴⃗AM=(12，6)，⃗NM=(4，-2)，
∴⃗AM·⃗NM=12×4+6×(-2)=36.
4.已知向量a≠e，|e|=1，对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则( )
A.a⊥e
B.a⊥(a-e)
C.e⊥(a-e)
D.(a+e)⊥(a-e)
答案 C
解析 不等式等价于(a-te)2≥(a-e)2，
整理得t2-2a·te+2a·e-1≥0 对任意t∈R 恒成立，所以Δ≤0，
又Δ=4(a·e)2-4(2a·e-1)=4(a·e-1)2≥0，
所以Δ=0，即(a·e-1)2=0，
所以a·e=1，所以e·(a-e)=a·e-e2=0，
即e⊥(a-e).
5.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2√2，E 为CC1的中点，则直线AC1到平面BED 的距离
为( )
A.2
B.√3
C.√2
D.1
答案 D
解析 如图所示，连接AC 交BD 于点O，连接OE，易知O 为AC 的中点，因为E 为CC1的中点，所以
OE∥AC1，
又OE⊂平面BED，AC1⊄平面BED，
所以AC1∥平面BED，所以直线AC1到平面BED 的距离等于点C1到平面BED 的距离.
又E 为CC1的中点，所以点C1到平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离.
由题意得BE=DE=√6，BD=2√2，则OE=2，
设点C 到平面BED 的距离为d，
由V 三棱锥C-BED=V 三棱锥E-BDC，
得1
3S△BED·d=1
3S△BDC·EC，
即1
3×1
2×2√2×2×d=1
3×1
2×2×2×√2，
解得d=1，即直线AC1到平面BED 的距离为1.
6.已知不等式t2-2at+1≥sin x 对任意x∈[-π，π]及a∈[-1，1]恒成立，则实数t 的取值范围是( )
A.t≤-2 或t≥2
B.t≤2
C.t≥-2
D.t≤-2 或t≥2 或t=0
答案 D
解析 由t2-2at+1≥sin x 对任意x∈[-π，π]恒成立，得t2-2at+1≥1，即2at-t2≤0，
令f(a)=2at-t2，
则f(a)≤0 对任意a∈[-1，1]恒成立，
所以{
f (-1)=-2t -t
2≤0，
f (1)=2t -t
2≤0，
解得t≤-2 或t≥2 或t=0.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x)+f(2)，且在区间[0，2]上单调递增，则下列说法正确的是(
)
A.函数f(x)的一个周期为4
B.直线x=-4 是函数f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)在[-6，-5)上单调递增，在[-5，-1)上单调递减
D.函数f(x)在[0，100]内有25 个零点
答案 ABD
解析 f(x+4)=f(x)+f(2)，
①
在①式中，令x=-2，得f(2)=f(-2)+f(2)，即f(-2)=0，
由于函数f(x)为偶函数，故f(2)=f(-2)=0，
所以f(x+4)=f(x)，
②
函数f(x)是以4 为周期的周期函数，故A 正确；
因为f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)，
③
在③式中，用x-4 代替x 得，f(x-4)=f(4-x)，
由周期性可得f(x-4)=f(4-x-8)，即f(x-4)=f(-x-4)，
所以直线x=-4 是函数f(x)图象的一条对称轴，故B 正确；
因为f(x)在区间[0，2]上单调递增，且f(x)为偶函数，所以f(x)在[-2，0]上单调递减，又f(x)的一个周期为
4，所以函数f(x)在[-6，-4]上单调递减，故C 错误；
根据f(2)=0，f(x)的一个周期为4 可知，f(2)=f(6)=f(10)=…=f(98)=0，
故f(x)在[0，100]内共有25 个零点，故D 正确.
8.已知函数f(x)满足：①∀x，y∈R，f(x+y)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+2；②若x≠y，则f(x)≠f(y).则下列结论正确的
有( )
A.f(0)=2
B.f(x)+f(-x)≥4
C.若f(1)=3，则f(2)=5
D.若f(3)=9，则f(4)=11
答案 ABC
解析 对于A，f(x+y)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+2，令x=y=0，
得3f(0)=[f(0)]2+2，解得f(0)=1 或f(0)=2，
当f(0)=1 时，令y=0，得2f(x)+1=f(x)+2，解得f(x)=1，
此时也有f(y)=1，与若x≠y，则f(x)≠f(y)矛盾，故排除，
所以f(0)=2，故A 正确；
对于B，令y=-x，结合f(0)=2，
得2+f(x)+f(-x)=f(x)f(-x)+2，
化简得f(x)+f(-x)=f(x)f(-x)，
由重要不等式得f(x)f(-x)≤[ f ( x)+ f (- x)]
2
4
，
当且仅当f(x)=f(-x)时取等号，
故f(x)+f(-x)≤[ f ( x)+ f (- x)]
2
4
，
解得f(x)+f(-x)≥4 或f(x)+f(-x)≤0，
而f(0)=2，故f(x)+f(-x)≤0 不成立，
所以f(x)+f(-x)≥4 成立，故B 正确；
对于C，若f(1)=3，令y=1，得f(x+1)+f(x)+3=3f(x)+2，
故f(x+1)=2f(x)-1，则f(2)=2f(1)-1=6-1=5，故C 正确；
对于D，令f(x)=2x+1，满足f(3)=9，
由指数函数性质，得f(x)在R 上单调递增，满足当x≠y 时，f(x)≠f(y)，
而f(x+y)+f(x)+f(y)=2x+y+1+2x+1+2y+1=2x+y+2x+2y+3，
f(x)f(y)+2=(2x+1)(2y+1)+2=2x+y+2x+2y+1+2=2x+y+2x+2y+3，
故f(x)满足f(x+y)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+2，
则f(4)=24+1=17，故D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知函数f(x)=ln x-ax-2 在区间(1，2)上不单调，则实数a 的取值范围为 .
答案 (
1
2 ，1)
解析 f'(x)=1
x -a=1-ax
x
.
①若函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，则f'(x)≥0 在(1，2)上恒成立，
即当x∈(1，2)时，1-ax
x
≥0 恒成立，
则a≤(
1
x)min
，所以a≤1
2；
②若函数f(x)在区间(1，2)上单调递减，则f'(x)≤0 在(1，2)上恒成立，
即当x∈(1，2)时，1-ax
x
≤0 恒成立，
则a≥(
1
x)max
，所以a≥1.
综上，若函数f(x)在区间(1，2)上单调，则实数a 的取值范围为a≤1
2或a≥1.
所以若函数f(x)在区间(1，2)上不单调，则实数a 的取值范围为(
1
2 ，1).
10.已知a 为正实数，若不等式√1+ x≥1+ x
2- x
2
2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为 .
答案 4
解析 原不等式可化为x
2
2a≥1+ x
2-√1+ x 对x≥0 恒成立，(*)
令√1+ x=t，t≥1，则x=t2-1，
所以(*)式可化为(t
2-1)
2
2a
≥1+t
2-1
2
-t=t
2-2t +1
2
=(t -1)
2
2
对t≥1 恒成立，
而(t-1)2≥0，当且仅当t=1 时等号成立，
所以(t +1)
2
a
≥1 对t≥1 恒成立，又a 为正实数，
所以a≤[(t+1)2]min=4 ，故a 的最大值是4.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知c=2，(b+c)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B).
(1)求角C 的值；(3 分)
(2)求a+2b 的最大值；(5 分)
(3)若AB 边上的中线CD 的长为2，求△ABC 的面积.(5 分)
解 (1)因为(b+c)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B)，
由正弦定理得(b+c)(c-b)=a(a-b)，
即a2+b2-c2=ab，
所以cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
= ab
2ab=1
2，
又因为C∈(0，π)，所以C=π
3 .
(2)由(1)知C=π
3 且c=2，设△ABC 的外接圆半径为R，可得2R=
c
sinC = 4
√3，
又由正弦定理，得a=2Rsin A= 4
√3sin A，
b=2Rsin B= 4
√3sin B，且A+B=2π
3 ，
则a+2b= 4
√3sin A+ 8
√3sin B= 4
√3sin A+ 8
√3sin(
2π
3 - A)
= 4
√3sin A+ 8
√3(
√3
2 cos A + 1
2 sin A)
= 8
√3sin A+4cos A=4√21
3
sin(A+φ)，
其中tan φ=√3
2 ，且φ 为锐角，
因为0<A<2π
3 ，所以当A+φ=π
2 时，a+2b 取得最大值，最大值为4√21
3
.
(3)因为CD 为AB 边上的中线，且CD=2，
则⃗CD=1
2 (⃗CA+⃗CB)，
所以|⃗CD|2=1
4 (|⃗CA|2+|⃗CB|2+2|⃗CA||⃗CB|cos C)=1
4 (a2+b2+ab)，
即a2+b2+ab=16，
①
又由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，
得a2+b2-ab=4，
②
联立①②，可得ab=6，
所以△ABC 的面积S△ABC=1
2absin C=1
2×6×√3
2 =3√3
2 .
12.(15 分)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=x+aln x-xa，a∈R.
(1)当a=2 时，求函数f(x)在x=1 处的切线方程；(5 分)
(2)若不等式f(x)+ 1
e
x ≥0 对x∈(1，+∞)恒成立，求实数a 的最小值.(10 分)
解 (1)当a=2 时，
f(x)=x+2ln x-x2，f(1)=0，
所以f'(x)=1+2
x -2x，f'(1)=1，
所以函数f(x)在x=1 处的切线方程为y=x-1.
(2)由题意知f(x)+ 1
e
x ≥0 对x∈(1，+∞)恒成立，得x+aln x-xa+ 1
e
x ≥0 对x∈(1，+∞)恒成立，
所以当x∈(1，+∞)时，x+ 1
e
x ≥xa-aln x=xa-ln xa恒成立，
即1
e
x -ln 1
e
x ≥xa-ln xa恒成立，
构造函数g(x)=x-ln x，x>0，则g(
1
e
x)≥g(xa)在x∈(1，+∞)上恒成立，
g'(x)=1-1
x = x -1
x
，
令g'(x)>0，解得x>1，
令g'(x)<0，解得0<x<1，
故g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
又x∈(1，+∞)，则0< 1
e
x<1，而xa与1 的大小不确定，
因为求实数a 的最小值，故只需考虑a 为负数的情况，
此时0<xa<1.又因为g(x)在区间(0，1)上单调递减，
故1
e
x ≤xa在x∈(1，+∞)上恒成立，两边取对数得-x≤aln x 在x∈(1，+∞)上恒成立，
即a≥- x
ln x 在(1，+∞)上恒成立，
令h(x)=- x
ln x ，x∈(1，+∞)，
则h'(x)=1- ln x
(ln x)
2 ，
令h'(x)>0，得1<x<e，令h'(x)<0，得x>e，
所以h(x)在(1，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，
所以h(x)≤h(e)=-e，即a≥-e，故a 的最小值是-e.
