文档文本内容
第１讲 分数与循环小数
１
计算类转化思想
第２讲 分数巧算
１１
计算类整体思想
转化思想
第３讲 比较与估算
２１
计算类作差法、倒数法、放缩法、糖水原理
第４讲 牛吃草问题
３１
应用类假设法
归一思想
第５讲 工程问题初步
４２
应用类数形结合
量不变思想
第６讲 因倍质合初步
５２
数论类枚举法
有序思维
第７讲 排列组合初步
６０
计数类枚举法
有序思想
第８讲 比与比例初步
７０
计算类量不变思想
第９讲 解方程与方程组
７９
计算类整体思想
代换思想
第１０讲 余数的性质与计算
８９
数论类转化思想
第１１讲 物不知数与同余
９８
数论类转化思想
第１２讲 完全平方数
１０７
数论类枚举法
有序思维
第１３讲 位值原理
１１７
计算类整体思想
第１４讲 蝴蝶模型
１２５
几何类模型思想
构造思想
第１５讲 鸟头模型
１３６
几何类模型思想
构造思想
第１６讲
数学思想方法综合
１４８
数学思想方法
１
１
分数与循环小数
一个数的小数部分ꎬ从某一位起ꎬ一个数字或几个数字依次不断重复出现ꎬ这样的小数叫作
循环小数ꎮ例如０.３３３、０.４２８５７１４２８５７１和１.９０４３０４３都是循环小数ꎮ
通常我们把０.３３３简写成０. ３
ꎬ０.４２８５７１４２８５７１简写成０. ４
２８５７１
ꎬ１.９０４３０４３简写成
１.９０
４３
ꎮ一个循环小数的小数部分里ꎬ依次不断重复出现的数字ꎬ叫作这个循环小数的循环节ꎮ
循环节从小数点后第一位开始的循环小数ꎬ叫作纯循环小数ꎬ例如０.３
和０.４
２８５７１
ꎻ不是从第一
位开始的循环小数ꎬ叫作混循环小数ꎬ如１.９０
４３
ꎮ
在课本中我们已经学到分数转化成小数以及有限小数转化成分数的方法ꎬ在本讲中我们将
继续学习分数与循环小数的互相转化以及带有循环小数的混合运算ꎮ
将下列分数化成小数: ３
４、２
７、８
１５ꎮ
第９辑
２
分数化成小数ꎬ利用分数与除法的关系ꎬ也就是分子除以分母ꎬ是一定能算出结果的ꎬ不管
这个结果是有限小数还是无限小数ꎻ另外一种化成分母是１０、１００、１０００的方法ꎬ有些小数就不
适用了ꎬ就有局限性了ꎮ
３
４＝３÷４＝０.７５或者３
４＝３×２５
４×２５＝７５
１００＝０.７５
２
７＝２÷７＝０.２
８５７１４
８
１５＝８÷１５＝０.５３
将下列分数化成小数: ７
２０、１
６、７
１１ꎮ
将下列分数化成小数: ２
１２５、２９
１６、１３
９ꎮ
将下列分数化成小数:２３
９９、２３
９９０、２３
９９９ꎮ
第１讲分数与循环小数
３
将下列小数化成分数:０.５
、０.１５
、０.１
２３
ꎮ
(１)Ａ＝０.５５ ①ꎬ
１０Ａ＝５.５５(小数点向右移动１位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１０Ａ－Ａꎬ右边＝５.５５－０.５５ꎬ
即９Ａ＝５ꎬＡ＝５÷９＝５
９ꎬ
所以循环小数０.５
化成分数就是５
９ꎮ
第９辑
４
(２)Ａ＝０.１５５ꎬ
１０Ａ＝１.５５(小数点向右移动１位) ①ꎬ１００Ａ＝１５.５５(小数点向右移动２位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１００Ａ－１０Ａꎬ右边＝１５.５５－１.５５ꎬ
即９０Ａ＝１４ꎬＡ＝１４÷９０＝１４
９０＝７
４５ꎬ
所以循环小数０.１５
化成分数就是７
４５ꎮ
(３)Ａ＝０.１２３１２３ ①ꎬ
１０００Ａ＝１２３.１２３１２３(小数点向右移动３位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１０００Ａ－Ａꎬ右边＝１２３.１２３１２３－０.１２３１２３ꎬ
即９９９Ａ＝１２３ꎬＡ＝１２３÷９９９＝１２３
９９９＝４１
３３３ꎬ
所以循环小数０.１
２３
化成分数就是４１
３３３ꎮ
多做几个ꎬ你会发现规律:不管是纯循环小数还是混循环小数ꎬ要把它们化成分数ꎬ我们都可
以从分子和分母两方面来考虑ꎮ
纯循环小数:分子是由循环节所组成的多位数ꎬ而分母则由若干个“９”组成ꎬ且“９”的个数恰
好等于循环节的位数ꎮ比如:０.５５＝５
９ꎬ０.１２３１２３＝１２３
９９９＝４１
３３３等ꎮ
混循环小数:分子是两数相减所得的差ꎬ其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末
位所组成的多位数ꎬ而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数ꎮ分母由若干个“９” 和若
干个“０”组成ꎬ９的个数等于循环节的位数ꎬ０的个数等于小数点后不循环部分的位数ꎮ比如:
０.１５５＝１５－１
９０＝７
４５ꎬ０.６１８１８＝６１８－６
９９０＝６１２
９９０＝３４
５５等ꎮ
将下列小数化成分数:０.８
、０.２３
、０.４
５６
ꎮ
将下列小数化成分数:０.８
７
、０.４
７５６
ꎮ
第１讲分数与循环小数
５
将下列小数化成分数:１.８
７
、２.４５１３
ꎮ
计算０.２
＋０.１２７＋０.１３
ꎮ
第９辑
６
方法１:０.２
＋０.１２７＋０.１３
＝２
９＋１２７
１０００＋２
１５
＝２０００
９０００＋１１４３
９０００＋１２００
９０００
＝４３４３
９０００
方法２:０.２
＋０.１２７＋０.１３
＝０.２２２２２＋０.１３３３３＋０.１２７
＝０.３５５５５＋０.１２７
＝０.４８２５５５
＝４３４３
９０００
计算０.６
＋０.３２１＋０.２１
ꎮ(提示:全部化成分数进行计算或者全部化成小数进行计算)
计算:０.０
１
＋０.１
２
＋０.２
３
＋０.３
４
＋＋０.７
８
＋０.８
９
(结果保留三位小数)ꎮ
第１讲分数与循环小数
７
用两种方法计算０.１
＋０.２
＋０.３
－０.４ꎮ
计算:１６.６＋０.０６
３×５
ꎮ
第９辑
８
先计算出分子ꎬ转化成分数ꎬ然后根据分数乘除法进行计算ꎮ
１６.６＋０.０６
３×５
＝１６.６
３×５
＝１６２
３× １
３×５
＝５０
３× １
３×５
＝１０
９
计算８０.８＋０.０８
７×１３
ꎮ
计算０.１５
×０.３
× １
２×３(提示:把循环小数转化成分数ꎬ再根据分数乘除法进行计算)ꎮ
计算０.１
５
×０.３７
÷０.１
４２８５７
ꎮ
２００２
２００９＋１
２８７化成循环小数后ꎬ第１００位上的数字是多少?
第１讲分数与循环小数
９
２００２
２００９＋１
２８７＝２００２
２００９＋７
２００９＝２００９
２００９＝１
怎么回事? 结果是１ꎬ不是一个循环小数ꎬ这个问题该怎么解决呢?
其实这里还有一个神奇的０.９
ꎬ请看下面ꎮ
我们把０.９
化成分数ꎬ用前面学习过的方法:
Ａ＝０.９９ ①ꎬ
１０Ａ＝９.９９(小数点向右移动１位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１０Ａ－Ａꎬ右边＝９.９９－０.９９ꎬ
即９Ａ＝９ꎬＡ＝９÷９＝１ꎬ所以循环小数０.９
化成分数就是１ꎮ
２００２
２００９＋１
２８７化成循环小数后ꎬ第１００位上的数字是９ꎮ
第９辑
１０
１３
１０３＋９０
１０３化成循环小数后ꎬ第２０２３位上的数字是多少?
２０１６
２０２３＋１
２８９化成循环小数后ꎬ第２０００位上的数字是多少?
０.１６
＋０.５＋０.３
化成循环小数后ꎬ第２０００位上的数字是多少? (提示:先计算结果)
１. 分数与循环小数解答技巧:
(１)分数可以化成小数ꎬ用分子除以分母的方法一定能化成小数ꎮ结果可能是有限小数ꎬ也
可能是无限小数ꎮ
(２)小数也可以化成分数ꎬ有限小数直接化成分母是１０、１００、１０００的分数ꎬ然后能约分
的要约分ꎻ循环小数也可以化成分数ꎮ
(３)循环小数相关的运算中ꎬ既可以把分数化成小数去计算ꎬ也可以把小数化成分数去
计算ꎮ
(４)循环小数可以求出小数部分后某一位置的数字(如第２０００位)ꎬ也可以求出后面位数的
数字之和(如前面的２０００位)ꎮ
(５)０.９
是一个神奇的数ꎬ０.９
＝１ꎮ
２. 循环小数化分数:
不管是纯循环小数还是混循环小数ꎬ要把它们化成分数ꎬ都要从分子和分母两方面来考虑ꎮ
纯循环小数:分子是由循环节所组成的多位数ꎬ而分母则由若干个“９”组成ꎬ且“９”的个数恰
好等于循环节的位数ꎮ
混循环小数:分子是两数相减所得的差ꎬ其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末
位所组成的多位数ꎬ而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数ꎮ分母由若干个“９”和若
干个“０”组成ꎬ９的个数等于循环节的位数ꎬ０的个数等于小数点后不循环部分的位数ꎮ
２
１１
分数巧算
分数计算是小学数学的重要内容之一ꎮ
分数计算同整数计算一样ꎬ计算法则、运算律与性质是进行计算的依据ꎮ解题时ꎬ对算式认
真观察ꎬ剖析算式的特点及各数之间的关系ꎬ巧妙、灵活地运用运算律ꎬ合理改变运算顺序ꎬ才能
使计算简便易行ꎮ
计算下列各题ꎬ能简算的要简算ꎮ
( ３
４－２
５＋１
６)×６０ ３７
８×９＋３７
８÷ １
８－３７
８
观察算式我们可以发现ꎬ第１小题中６０是４、５、６的公倍数ꎬ用６０分别乘３
４、２
５、１
６这三个分数
后可以直接约分ꎻ而第２小题中的除法可以转化为乘法ꎬ经过转化ꎬ题目可以变为３７
８×９＋３７
８×８－
第９辑
１２
３７
８×１ꎬ这样每个乘法部分都有相同因数３７
８ꎬ可以用乘法分配律计算ꎮ
( ３
４－２
５＋１
６)×６０ ３７
８×９＋３７
８÷ １
８－３７
８
＝３
４×６０－２
５×６０＋１
６×６０
＝３７
８×９＋３７
８×８－３７
８×１
＝４５－２４＋１０
＝３７
８×(９＋８－１)
＝３１
＝３１
８×１６
＝６２
计算下列各题ꎬ能简算的要简算ꎮ
９９× ５
８－０.６２５×６８＋１÷ ８
５ ２０２３×２４１
２７１－２４１×１７６２
２７１＋１０÷２７１
２４１
计算下列各题ꎬ能简算的要简算ꎮ
２０２２２０２２
２０２３÷２０２２
２０２３
１
２０２１×２０２１
２０２２
计算下列题目ꎬ能简算的要简算ꎮ
４１１
３× ３
４＋５１１
４× ４
５＋６１１
５× ５
６＋７１１
６× ６
７
第２讲分数巧算
１３
计算:１１３×２.３
＋２０８÷ ３
７ꎮ
观察算式我们可以发现ꎬ把除法转化为乘法后ꎬ算式中恰好出现相同的数７
３ꎬ且该算式符合乘
法分配律的一般形式ａ×ｃ＋ｂ×ｃꎬ因此用乘法分配律解决更方便ꎮ
１１３×２.３
＋２０８÷ ３
７
＝１１３× ７
３＋２０８× ７
３
＝(１１３＋２０８)× ７
３
＝３２１× ７
３
＝７４９
第９辑
１４
计算下列各题ꎬ能简算的要简算ꎮ
３
７×３６－１６× ３
５＋２４× ６
７＋３
５ ４２
４３×４２
计算下列各题ꎬ能简算的要简算ꎮ
１２４× ７
２５＋３６×１２
２５
２７
３５×１３＋６６
３５×９
计算下列各题ꎬ能简算的要简算ꎮ
２０２２÷２０２２２０２２
２０２３
２０２２２０２２
２０２３×２０２３２０２３
２０２４
计算１
１×２＋１
２×３＋１
３×４＋１
４×５＋１
５×６＋１
６×７ꎮ
第２讲分数巧算
１５
观察算式我们可以发现ꎬ把每一个部分拆分成两个分数相减的形式ꎬ再把相邻两部分中相同
的分数相互抵消ꎬ从而达到简算的目的ꎮ
１
１×２＋１
２×３＋１
３×４＋１
４×５＋１
５×６＋１
６×７
＝( １
１－１
２)＋( １
２－１
３)＋( １
３－１
４)＋( １
４－１
５)＋( １
５－１
６)＋( １
６－１
７)
＝１
１－１
２＋１
２－１
３＋１
３－１
４＋１
４－１
５＋１
５－１
６＋１
６－１
７
＝１－１
７
＝６
７
计算１
４×５＋１
５×６＋１
６×７＋１
７×８＋１
８×９＋
１
９×１０ꎮ
第９辑
１６
计算１
６＋１
１２＋１
２０＋１
３０＋１
４２＋１
５６＋１
７２＋１
９０＋１
１１０ꎮ
计算１１
１２＋１９
２０＋２９
３０＋４１
４２＋５５
５６＋７１
７２＋８９
９０ꎮ
计算(１＋１
２＋１
３＋１
４)× ( １
２＋１
３＋１
４＋１
５)－(１＋１
２＋１
３＋１
４＋１
５)× ( １
２＋１
３＋１
４)ꎮ
第２讲分数巧算
１７
(１＋１
２＋１
３＋１
４)× ( １
２＋１
３＋１
４＋１
５)－(１＋１
２＋１
３＋１
４＋１
５)× ( １
２＋１
３＋１
４)
设１
２＋１
３＋１
４＝ａꎬ则
原式＝(１＋ａ)× (ａ＋１
５)－(１＋ａ＋１
５)×ａ
＝ａ＋ａ２＋１
５＋１
５ａ－(ａ＋ａ２＋１
５ａ)
＝１
５
计算(１＋１
１９９９＋
１
２０００＋
１
２００１) × (
１
１９９９＋
１
２０００＋
１
２００１＋
１
２００２) －( １＋
１
１９９９＋
１
２０００＋
１
２００１＋
１
２００２) ×
(
１
１９９９＋１
２０００＋１
２００１)ꎮ
计算( １
８＋１
９＋１
１０＋１
１１)× ( １
９＋１
１０＋１
１１＋１
１２)－( １
８＋１
９＋１
１０＋１
１１＋１
１２)× ( １
９＋１
１０＋１
１１)ꎮ
第９辑
１８
计算(２＋１.５６＋２.６７)×(１.５６＋２.６７＋３.７８)－(２＋１.５６＋２.６７＋３.７８)×(１.５６＋２.６７)ꎮ
１×
１
１×
１
１×
１
１×
１
１× １
２＋１
＋１
＋１
＋１
＋１
第２讲分数巧算
１９
１×
１
１×
１
１×
１
１×
１
１× １
２＋１
＋１
＋１
＋１
＋１
＝１×
１
１×
１
１×
１
１× １
３
２
＋１
＋１
＋１
＋１＝１×
１
１×
１
１× １
５
３
＋１
＋１
＋１
＝１×
１
１× １
８
５
＋１
＋１＝１× １
１３
８
＋１＝１× ８
１３＋１＝１８
１３
２×
１
２×
１
２×
１
２×
１
２× １
２＋５
＋４
＋３
＋２
＋１
已知１＋
１
１＋
１
１＋
１
１＋１
１＋ｘ
＝１２３
３７ꎬ求ｘ的值ꎮ
第９辑
２０
计算(３２＋５２＋７２＋９２＋１１２)－(２２＋４２＋６２＋８２＋１０２)
１＋２＋３＋４＋５＋４＋３＋２＋１
ꎮ
１. 整数的运算律在分数运算中也适用:
加法交换律:ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
加法结合律:(ａ＋ｂ)＋ｃ＝ａ＋(ｂ＋ｃ)
乘法交换律:ａ×ｂ＝ｂ×ａ
乘法结合律:(ａ×ｂ)×ｃ＝ａ×(ｂ×ｃ)
乘法分配律:(ａ±ｂ)×ｃ＝ａ×ｃ±ｂ×ｃ
２. 减法和除法的运算性质在分数运算中也同样适用:
减法的性质:ａ－ｂ－ｃ＝ａ－(ｂ＋ｃ)
除法的性质:ａ÷ｂ÷ｃ＝ａ÷(ｂ×ｃ)
３. 在运算时ꎬ要注意观察算式的特征ꎬ利用数字的特征能够简便运算的要简便运算ꎬ能约分的
先进行约分ꎬ能抵消的尽量先抵消ꎬ以达到简化算式的目的ꎮ
４. 繁分数运算其实就是化简的过程ꎬ要分别对分子和分母进行逐步计算ꎬ再利用一些灵活计
算的方法化“繁”为“简”ꎮ
３
２１
比较与估算
生活中比较整数、小数大小的方法比较简单ꎬ而比较分数的大小就不那么简单ꎬ因此也就产
生了多种多样的比较方法ꎮ通分的方法不一定最简捷ꎬ还有一些特殊比较法:巧通分子法、作差
法、倒数法、放缩法无论哪种方法ꎬ均来源于“分母相同ꎬ分子大的分数大ꎻ分子相同ꎬ分母小
的分数大”这一基本方法ꎮ
比一比ꎬ３
５和５
７的大小ꎮ
第９辑
２２
方法一:统一分数单位(通分母)
３
５＝２１
３５ꎬ５
７＝２５
３５ꎬ
分母都是３５ꎬ两个分数的分数单位都是１
３５ꎬ
２１个１
３５小于２５个１
３５ꎬ
得３
５< ５
７ꎮ
方法二:统一取的份数(通分子)
３
５＝１５
２５ꎬ５
７＝１５
２１ꎬ
都取了１５份ꎬ其中３
５相当于２５份中取了１５份ꎬ即１５个１
２５ꎻ５
７相当于２１份中取了１５
份ꎬ即１５个１
２１ꎮ
因为１
２５< １
２１ꎬ所以１５
２５<１５
２１ꎬ
得３
５< ５
７ꎮ
比一比ꎬ４
９和５
１１的大小ꎮ
将下列分数从小到大排成一列不等式ꎮ
２
３
５
８
７
１２
９
１６
第３讲比较与估算
２３
比２
３大ꎬ比３
４小的分数有无数个ꎬ请你写出三个ꎮ
比一比ꎬ１３
２５和１７
２９的大小ꎮ
第９辑
２４
如果用通分子或通分母的方法比较１３
２５和１７
２９的大小会比较麻烦ꎬ对于这些分母和分子的差相等
的分数ꎬ我们可以采用比倒数、作差、糖水原理等方法比较两个分数的大小ꎮ
方法一:先找原分数的倒数 １３
２５→２５
１３＝１１２
１３ꎬ１７
２９→２９
１７＝１１２
１７
比较倒数的大小 １１２
１３>１１２
１７
倒数大的原数反而小ꎬ得１３
２５<１７
２９ꎮ
方法二:以“１”为标准作差 １－１３
２５＝１２
２５ １－１７
２９＝１２
２９
比较差的大小 １２
２５>１２
２９
差越大ꎬ原数越小ꎬ得１３
２５<１７
２９ꎮ
方法三:根据糖水原理可知１３
２５<１３＋４
２５＋４ꎬ得１３
２５<１７
２９ꎮ
比一比ꎬ３２
５９和４６
７３的大小ꎮ
将下列分数从小到大排成一列不等式ꎮ
６５７
７６８ ６３２４
６４３５ ４２５３
４３６４
第３讲比较与估算
２５
比一比ꎬ１１１１０
２２２２１和４４４４３
８８８８７的大小ꎮ
在不等式２
３<
５
( )< ３
４的( )里填上一个自然数使得不等式成立ꎮ
第９辑
２６
２
３ꎬ
５
( )ꎬ３
４这三个分数的分子和分母各不相同ꎬ其中三个数的分子是已知的ꎬ可以先通过
通分子确定中间数分母的范围ꎬ２
３＝３０
４５ꎬ
５
( )＝
３０
( )ꎬ３
４＝３０
４０ꎬ此时( ) 里的数可以是４１、
４２、４３、４４ꎻ又因为原分数的分子是５ꎬ所以这个数必须是６的倍数ꎬ只有４２满足条件ꎬ故原( )
里的数是４２÷６＝７ꎮ
在不等式１
３<
３
( )< ４
９的( )里填上一个自然数使得不等式成立ꎮ
在不等式３
４<( )
１４
< ５
６的( )里填上一个自然数使得不等式成立ꎮ
在大于１
７ꎬ且小于３
１１的最简真分数中ꎬ分子不超过３的共有多少个?
已知Ａ＝１
３＋１
４＋１
５＋１
６＋１
７＋１
８＋１
９ꎬ则Ａ的整数部分是( )ꎮ
第３讲比较与估算
２７
Ａ＝１
３＋１
４＋１
５＋１
６＋１
７＋１
８＋１
９ꎬ要求它的和的整数部分ꎬ如果通过算出准确结果比较麻烦ꎬ可以通
过放大或者缩小先确定Ａ的范围之后ꎬ再找到Ａ的整数部分是几ꎮ
放大:Ａ＝１
３＋１
４＋１
５＋１
６＋１
７＋１
８＋１
９< １
３＋１
４×６＝１５
６ꎬ
缩小:Ａ＝１
３＋１
４＋１
５＋１
６＋１
７＋１
８＋１
９> １
３＋１
９×６＝１ꎬ
得１<Ａ<１５
６ꎬ所以Ａ的整数部分是１ꎮ
已知Ａ＝２
１１＋２
１２＋２
１３＋＋２
２０ꎬ则Ａ的整数部分是多少?
第９辑
２８
求９
１０＋９９
１００＋９９９
１０００＋＋９９９９９９９９
１００００００００计算结果的整数部分ꎮ
求１１０
１００＋２１０
１０１＋３１０
１０２＋＋１１１０
１１０计算结果的整数部分ꎮ
Ａ＝１
５＋１
２９ꎬＢ＝１
６＋２
２９ꎬ它们中较大的是哪个?
第３讲比较与估算
２９
Ａ＝１
５＋１
２９ꎬＢ＝１
６＋２
２９ꎬ如果先计算结果再比较大小比较麻烦ꎬ可以用两个式子作差的结果与０
比较大小来判断Ａ和Ｂ的大小关系ꎮ
Ａ－Ｂ
＝( １
５＋１
２９)－( １
６＋２
２９)
＝１
５＋１
２９－１
６－２
２９
＝( １
５－１
６)＋( １
２９－２
２９)
＝１
３０－１
２９
因为１
３０－１
２９<０ꎬ
所以Ａ<Ｂꎬ即它们中较大的是Ｂ＝１
６＋２
２９ꎮ
Ａ＝１
７＋１
５５ꎬＢ＝１
８＋２
５５ꎬ它们中较大的是哪个?
第９辑
３０
下面三个算式哪个最大ꎬ哪个最小?
Ａ＝１
１１＋１
２９ꎬＢ＝１
１５＋１
２５ꎬＣ＝１
１９＋１
２１
在下面８个算式中:
①３
５＋５
２０ ②３
６＋６
２０ ③３
７＋７
２０ ④３
８＋８
２０ ⑤３
９＋９
２０ ⑥３
１０＋１０
２０ ⑦３
１１＋１１
２０ ⑧３
１２＋１２
２０
哪个算式的运算结果最小?
１. 分数的大小比较常用方法:
通分母:分子小的分数小
通分子:分母小的分数大
比倒数:倒数大的分数小
与１相减比较法:分别与１相减ꎬ差大的分数小(适用于真分数)
２. 重要结论:
(１)对于两个真分数ꎬ如果分子和分母相差相同的数ꎬ那么分子和分母都大的分数比较大ꎻ
(２)对于两个假分数ꎬ如果分子和分母相差相同的数ꎬ那么分子和分母都小的分数比较大ꎮ
放缩法:为求出某数的整数部分ꎬ设法放大或缩小ꎬ使结果介于某两个接近数之间ꎬ从而估算
结果ꎮ
第１讲 分数与循环小数
０１
第２讲 分数巧算
０３
第３讲 比较与估算
０５
第４讲 牛吃草问题
０７
第５讲 工程问题初步
０９
第６讲 因倍质合初步
１１
第７讲 排列组合初步
１３
第８讲 比与比例初步
１５
第９讲 解方程与方程组
１７
第１０讲 余数的性质与计算
１９
第１１讲 物不知数与同余
２１
第１２讲 完全平方数
２３
第１３讲 位值原理
２５
第１４讲 蝴蝶模型
２７
第１５讲 鸟头模型
２９
第１６讲 数学思想方法综合
３１
第１讲
分数与循环小数
１
第三十一届“迎春杯”初赛
在下面分母小于１０的最简分数中ꎬ最接近２０.１４的分
数是
( )
Ａ. １０１
５
Ｂ. １４１
７
Ｃ. １８１
９
Ｄ. １６１
８
２
计算:１.８
２５
－０.８
＝ ꎮ
３
把０.１２３
５
、０.９
化成分数ꎮ
４
计算０.１
２
＋０.２
３
＋０.３
４
＋０.４
５
ꎮ
５
计算:０.１
＋０.２
＋０.３
＋０.４
＋０.５
＋０.６
＋０.７
＋０.８
＋０.９
ꎮ
６
第十届世界奥林匹克数学竞赛选拔赛
３
７化成小数后ꎬ小数点后第２０１４位上的数字
是多少?
１
０
小学数学·第９辑
７
计算(４.２
－０.４
８
)÷２.０５
ꎮ
８
算式１
２＋１
４＋１
６＋１
１２化成循环小数后ꎬ第２０００位上的数字是多少?
９
算式１＋１
２＋１
３＋１
４＋１
５＋１
６＋１
７＋１
８＋１
９＋１
１０的结果的小数点后第２０１２位上的数字是
多少?
１０
定义:符号{ｘ}表示ｘ的小数部分ꎬ如{３.１４} ＝０.１４ꎬ{０.５} ＝０.５ꎮ求２０１５
３
{
} ＋３１５
４
{
} ＋
４１２
５
{
}ꎮ(结果用小数表示)
１１
真分数ａ
７化为小数后ꎬ如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是
１９９２ꎬ那么ａ是多少?
２
０
第２讲
分数巧算
１
( １
４－１
５÷４)× ５
１３＋１÷１１
１２
４
７×５４－１６× ３
５＋２７× ６
７＋１
５×３
２
第十八届“华杯赛”
１９×０.１２５＋２８１× １
８－１２.５
３
第十七届“华杯赛”
(０.８＋１
５)×２４＋６.６
é
ë
êê
ù
û
úú ÷ ９
１４－７.６
４
１２６１
４９÷２５
４０３×１２３
１２４
５
１＋２＋３＋４＋５＋６＋５＋４＋３＋２＋１
６６６６６６×６６６６６６
３
０
小学数学·第９辑
６
( １
５＋１
７＋１
９＋１
１１)× ( １
７＋１
９＋１
１１＋１
１３)－( １
５＋１
７＋１
９＋１
１１＋１
１３)× ( １
７＋１
９＋１
１１)
７
１×２×４＋２×４×８＋３×６×１２
１×４×５＋２×８×１０＋３×１２×１５
１
１×４＋１
４×７＋
１
７×１０＋
１
１０×１３＋
１
１３×１６＋
１
１６×１９
８
(１)
１
４－
１
３＋
１
２－１
１＋１
２
(２)已知
１
１＋
１
２＋
１
３＋１
４＋１
ｘ
＝６７
９６ꎬ求ｘ的值ꎮ
９
[ ( １
２＋１
４＋１
６＋１
８)－( １
３＋１
６＋１
９＋１
１２) ]÷ [ ( １
４＋１
８＋１
１２＋１
１６)－( １
５＋１
１０＋１
１５＋１
２０) ]
１０
(２＋３＋４
１
－３＋４＋５
２
＋４＋５＋６
３
－５＋６＋７
４
＋＋１０＋１１＋１２
９
－１１＋１２＋１３
１０
) ÷ ( １－１
２＋１
３－１
４＋＋
１
９－１
１０)
４
０
第３讲
比较与估算
１
比较下列分数的大小ꎮ
７
１１和９
１３ １１
１５和７
１２
２
将下列分数从小到大排成一列不等式ꎮ
２
１７
３
２３
６
４９
３
比较３３３３
３３３５和５５５５５
５５５５７的大小ꎮ
４
(１)在不等式３
７<
５
( ) 的( ) 里填入一个自然数ꎬ使得不等式成立ꎮ那么
( )里最大能填( )ꎮ
(２) 在不等式５
２２<
２３
( ) < ４
１７的( ) 里填入一个自然数ꎬ使得不等号成立ꎮ一共有
( )种不同的填法ꎮ
５
在４５２
４８９ꎬ３６
７３ꎬ６２９
７２９ꎬ１０２３
１０６０这４个分数中ꎬ哪个分数最大? 哪个分数最小?
５
０
小学数学·第９辑
６
算式１２
１３＋３２
１５＋５２
１７＋＋１１２
２３计算结果的整数部分是多少?
７
下面三个算式的结果中ꎬ最大的是哪一个? 最小的是哪一个?
Ａ＝１
１１＋１
９ Ｂ＝１
１３＋１
７ Ｃ＝１
１５＋１
５
８
比较下列分数的大小:(１)２２２２２
９９９９９与２２２
９９９ꎻ(２)２２２２２２
９９９９９与２２２２２
９９９９ꎻ(３) ２２２２２
９９９９９９与２２２２
９９９９９ꎮ
９
已知Ａ＝２０２４
２０２３＋２０２３
２０２４ꎬＢ＝２０２２
２０２１＋２０２１
２０２２ꎬ比较Ａ和Ｂ的大小ꎮ
１０
求１９× ( １
１０２＋１
１１２＋１
１２２＋＋
１
２０１３２＋
１
２０１４２)的整数部分ꎮ
６
０
讲解册参考答案
第１讲 分数与循
环小数
０.３５ ０.１６
０.６
３
解 析
７
２０＝７÷２０＝０.３５或者７
２０＝７×５
２０×５＝３５
１００＝０.３５
１
６＝１÷６＝０.１６
７
１１＝７÷１１＝０.６
３
０.０１６ １.８１２５ １.４
解 析
２
１２５＝２÷ １２５＝０. ０１６或者２
１２５＝２×８
１２５×８＝１６
１０００＝
０.０１６
２９
１６＝２９÷１６＝１.８１２５
１３
９＝１３÷９＝１.４
０.２
３
０.０２
３
０.０
２３
解 析
２３
９９＝２３÷９９＝０.２
３
２３
９９０＝２３÷９９０＝０.０２
３
２３
９９９＝２３÷９９９＝０.０
２３
８
９
７
３０ １５２
３３３
解 析
(１)Ａ＝０.８８ ①ꎬ
１０Ａ＝８.８８(小数点向右移动１位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１０Ａ－Ａꎬ右边＝８.８８－０.８８ꎬ
即９Ａ＝８ꎬＡ＝８÷９＝８
９ꎬ
所以循环小数０.８
化成分数就是８
９ꎮ
(２)Ａ＝０.２３３ꎬ
１０Ａ＝２.３３(小数点向右移动１位) ①ꎬ
１００Ａ＝２３.３３(小数点向右移动２位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１００Ａ－１０Ａꎬ右边＝２３.３３－２.３３ꎬ
即９０Ａ＝２１ꎬＡ＝２１÷９０＝２１
９０＝７
３０ꎬ
所以循环小数０.２３
化成分数就是７
３０ꎮ
(３)Ａ＝０.４５６４５６ ①ꎬ
１０００Ａ＝４５６.４５６４５６(小数点向右移动３位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１０００Ａ－Ａꎬ右边＝４５６.４５６４５６－０.４５６４５６ꎬ
即９９９Ａ＝４５６ꎬＡ＝４５６÷９９９＝４５６
９９９＝１５２
３３３ꎬ
所以循环小数０.４
５６
化成分数就是１５２
３３３ꎮ
２９
３３ ４７５６
９９９９
解 析
(１)Ａ＝０.８７８７ ①ꎬ
１００Ａ＝８７.８７８７(小数点向右移动２位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１００Ａ－Ａꎬ右边＝８７.８７８７－０.８７８７ꎬ
即９９Ａ＝８７ꎬＡ＝８７÷９９＝８７
９９＝２９
３３ꎬ
所以循环小数０.８
７
化成分数就是２９
３３ꎮ
(２)Ａ＝０.４７５６４７５６ ①ꎬ
１００００Ａ＝４７５６.４７５６４７５６(小数点向右移动４位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１００００Ａ－Ａꎬ
右边＝４７５６.４７５６４７５６－０.４７５６４７５６ꎬ
即９９９９Ａ＝４７５６ꎬＡ＝４７５６÷９９９９＝４７５６
９９９９ꎬ
所以循环小数０.４
７５６
化成分数就是４７５６
９９９９ꎮ
６２
３３ ３６７７
１５００
解 析
(１)Ａ＝１.８７８７ ①ꎬ
１００Ａ＝１８７.８７８７(小数点向右移动２位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１００Ａ－Ａꎬ右边＝１８７.８７８７－１.８７８７ꎬ
即９９Ａ＝１８６ꎬＡ＝１８６÷９９＝１８６
９９＝６２
３３ꎬ
所以循环小数１.８
７
化成分数就是６２
３３ꎮ
(２)Ａ＝２.４５１３３３ꎬ
１０００Ａ＝２４５１.３３３３(小数点向右移动３位) ①ꎬ
１００００Ａ＝２４５１３.３３３３(小数点向右移动４位) ②ꎬ
②－①ꎬ左边＝１００００Ａ－１０００Ａꎬ
右边＝２４５１３.３３３３－２４５１.３３３３ꎬ
即９０００Ａ＝２２０６２ꎬＡ＝２２０６２÷９０００＝２２０６２
９０００＝３６７７
１５００ꎬ
所以循环小数２.４５１３
化成分数就是３６７７
１５００ꎮ
１０７８９
９０００
解 析
方法１:０.６
＋０.３２１＋０.２１
＝２
３＋３２１
１０００＋１９
９０＝６０００
９０００＋
２８８９
９０００＋１９００
９０００＝１０７８９
９０００
方法２:０.６
＋０.３２１＋０.２１
＝０.６６６６６＋０.２１１１１＋０.３２１＝
０.８７７７７＋０.３２１＝１.１９８７７７＝１０７８９
９０００
１
０
４.０９１
解 析
原式＝１
９９＋１２
９９＋２３
９９＋３４
９９＋＋７８
９９＋８９
９９＝４０５
９９＝４１
１１＝
４.０
９
≈４.０９１ꎮ
４
１５
解 析
方法１:０.１
＋０.２
＋０.３
－０.４＝１
９＋２
９＋３
９－２
５＝２
３－
２
５＝４
１５
方法２:０.１
＋０.２
＋０.３
－０.４＝０.１１１１＋０.２２２２＋０.３３３３－
０.４＝０.６６６６－０.４＝０.２６６６＝４
１５
８
９
解 析
８０.８＋０.０８
７×１３
＝８０.８
７×１３＝８０８
９×
１
７×１３＝７２８
９×
１
７×１３＝８
９
７
８１０
解 析
０.１５
×０.３
× １
２×３＝１４
９０× １
３× １
２×３＝７
８１０
１１９
２９７
解 析
０.１
５
×０.３７
÷０.１
４２８５７
＝１５
９９×３４
９０÷ １
７＝１１９
２９７
９
解 析
１３
１０３＋９０
１０３＝１ꎮ
１３
１０３＋９０
１０３化成循环小数后ꎬ第２０２３位上的数字是９ꎮ
９
解 析
２０１６
２０２３＋１
２８９＝２０１６
２０２３＋７
２０２３＝２０２３
２０２３＝１ꎮ
２０１６
２０２３＋１
２８９化成循环小数后ꎬ第２０００位上的数字是９ꎮ
９
解 析
０.１６
＋０.５＋０.３
＝１
６＋１
２＋１
３＝１
０.１６
＋０.５＋０.３
化成循环小数后ꎬ第２０００位上的数字是９ꎮ
第２讲 分数巧算
２０ ２４１
解 析
先把除法转化为乘法ꎬ找到相同因数ꎬ再利用乘
法分配律计算ꎮ
９９× ５
８－０.６２５×６８＋１÷ ８
５＝５
８×(９９－６８＋１)＝５
８×３２＝２０
２０２３×２４１
２７１－２４１×１７６２
２７１＋１０÷２７１
２４１＝２０２３×２４１
２７１－１７６２×２４１
２７１＋１０×
２４１
２７１＝(２０２３－１７６２＋１０)×２４１
２７１＝２７１×２４１
２７１＝２４１
１
１
２０２３ ２０２２
解 析
先把除法转化为乘法ꎬ再把带分数拆分成与第
二个因数可以约分的两部分ꎬ最后利用乘法分配律进行简
便计算ꎮ
２０２２２０２２
２０２３÷ ２０２２＝( ２０２２＋２０２２
２０２３) ×
１
２０２２＝２０２２×
１
２０２２＋
２０２２
２０２３× １
２０２２＝１＋１
２０２３＝１
１
２０２３
２０２３
１
２０２１× ２０２１
２０２２＝( ２０２２＋１
１
２０２１) × ２０２１
２０２２＝２０２２× ２０２１
２０２２＋
２０２２
２０２１×２０２１
２０２２＝２０２１＋１＝２０２２
１８４
解 析
把带分数拆分成与第二个因数可以约分的两
部分ꎬ再利用乘法分配律进行简便计算ꎮ
４１１
３× ３
４＋５１１
４× ４
５＋６１１
５× ５
６＋７１１
６× ６
７
＝( ４０＋１１
３) × ３
４＋( ５０＋１１
４) × ４
５＋( ６０＋１１
５) × ５
６＋
( ７０＋１１
６) × ６
７
＝４０× ３
４＋４
３× ３
４＋５０× ４
５＋５
４× ４
５＋６０× ５
６＋６
５× ５
６＋７０×
６
７＋７
６× ６
７
＝３０＋１＋４０＋１＋５０＋１＋６０＋１
＝１８４
２７ ４１１
４３
解 析
找到因数之间的联系ꎬ再利用运算律简便计算ꎮ
３
７×３６－１６× ３
５＋２４× ６
７＋３
５＝６
７×１８＋２４× ６
７－１６× ３
５＋３
５＝
６
７×(１８＋２４)－(１６－１)× ３
５＝３６－９＝２７
４２
４３×４２＝( １－１
４３) ×４２＝１×４２－１
４３×４２＝４２－４２
４３＝４１１
４３
或者４２
４３×４２＝４２
４３×(４３－１)＝４２
４３×４３－４２
４３×１＝４２－４２
４３＝４１１
４３
５２ ２７
解 析
１２４× ７
２５＋３６× １２
２５＝３１×７× ４
２５＋３６×３× ４
２５＝(２１７＋
１０８)× ４
２５＝５２
２
０
２７
３５×１３＋６６
３５×９＝２７
３５×１３＋２７
３５×２２＝２７
３５×(１３＋２２)＝２７
２０２３
２０２４ ４０９４５５０
解 析
２０２２÷ ２０２２２０２２
２０２３＝２０２２÷ ２０２２×２０２３＋２０２２
２０２３
＝
２０２２×
２０２３
２０２２×(２０２３＋１)＝２０２３
２０２４
２０２２２０２２
２０２３×２０２３２０２３
２０２４
＝２０２２×２０２３＋２０２２
２０２３
×２０２３×２０２４＋２０２３
２０２４
＝２０２２×(２０２３＋１)
２０２３
×２０２３×(２０２４＋１)
２０２４
＝２０２２×２０２４
２０２３
×２０２３×２０２５
２０２４
＝２０２２×２０２５
＝４０９４５５０
３
２０
解 析
利用公式
１
ａ×(ａ＋１)＝１
ａ－１
ａ＋１ꎬ把算式整体拆分ꎬ
抵消后即可简便计算ꎮ
１
４×５＋１
５×６＋１
６×７＋１
７×８＋１
８×９＋
１
９×１０＝(
１
４－１
５) ＋(
１
５－
１
６) ＋(
１
６－１
７) ＋(
１
７－１
８) ＋(
１
８－１
９) ＋(
１
９－１
１０) ＝
１
４－１
１０＝３
２０
９
２２
解 析
利用公式
１
ａ×(ａ＋１)＝１
ａ－１
ａ＋１ꎬ把算式整体拆分ꎬ
抵消后即可简便计算ꎮ
１
６＋１
１２＋１
２０＋１
３０＋１
４２＋１
５６＋１
７２＋１
９０＋１
１１０＝(
１
２－１
３) ＋(
１
３－
１
４) ＋(
１
４－１
５) ＋(
１
５－１
６) ＋(
１
６－１
７) ＋(
１
７－１
８) ＋
(
１
８－１
９) ＋(
１
９－１
１０) ＋(
１
１０－１
１１) ＝１
２－１
１１＝９
２２
６２３
３０
解 析
１１
１２＋１９
２０＋２９
３０＋４１
４２＋５５
５６＋７１
７２＋８９
９０＝( １－１
１２) ＋( １－
１
２０) ＋( １－１
３０) ＋( １－１
４２) ＋( １－１
５６) ＋( １－１
７２) ＋( １－
１
９０) ＝７－(
１
１２＋１
２０＋１
３０＋１
４２＋１
５６＋１
７２＋１
９０) ＝７－[ (
１
３－
１
４) ＋(
１
４－１
５) ＋(
１
５－１
６) ＋(
１
６－１
７) ＋(
１
７－１
８) ＋
(
１
８－１
９) ＋(
１
９－１
１０) ] ＝７－(
１
３－１
１０) ＝７－７
３０＝６２３
３０
１
２００２
解 析( １＋
１
１９９９＋
１
２０００＋
１
２００１) × (
１
１９９９＋
１
２０００＋
１
２００１＋
１
２００２) －( １＋
１
１９９９＋
１
２０００＋
１
２００１＋
１
２００２) × (
１
１９９９＋
１
２０００＋
１
２００１)
设１
１９９９＋１
２０００＋１
２００１＝ａꎬ则原式＝(１＋ａ)× ( ａ＋１
２００２) －( １＋
ａ＋１
２００２) ×ａ＝ａ＋ａ２＋１
２００２＋１
２００２ａ－( ａ＋ａ２＋１
２００２ａ) ＝
１
２００２
１
９６
解 析(
１
８＋１
９＋１
１０＋１
１１) × (
１
９＋１
１０＋１
１１＋１
１２) －(
１
８＋
１
９＋１
１０＋１
１１＋１
１２) × (
１
９＋１
１０＋１
１１)
设１
９＋１
１０＋１
１１＝ａꎬ则原式＝(
１
８＋ａ) × ( ａ＋１
１２) －(
１
８＋ａ＋
１
１２) ×ａ＝１
８ａ＋ａ２＋１
８× １
１２＋１
１２ａ－(
１
８ａ＋ａ２＋１
１２ａ) ＝１
８×
１
１２＝１
９６
７.５６
解 析
设１. ５６＋２. ６７＝ａꎬ１. ５６＋２. ６７＋３. ７８＝ｂꎬ则原
式＝(２＋ａ)ｂ－(２＋ｂ)ａ＝２ｂ＋ａｂ－２ａ－ａｂ＝２(ｂ－ａ)＝２×(１.５６＋
２.６７＋３.７８－１.５６－２.６７)＝７.５６ꎮ
１０３
５８
解 析
原式＝２×
１
２×
１
２×
１
２× １
６＋４
＋３
＋２
＋１
＝２×
１
２×
１
２× １
１３
３
＋３
＋２
＋１
＝２×
１
２× １
４５
１３
＋２
＋１
＝２× １
１１６
４５
＋１
＝２× ４５
１１６＋１＝１０３
５８
３
０
ｘ＝４
５
解 析
本题可以用倒推法解决ꎮ
１
１＋
１
１＋
１
１＋１
１＋ｘ
＝２３
３７ꎬ那么１＋
１
１＋
１
１＋１
１＋ｘ
＝３７
２３ꎬ
１
１＋
１
１＋１
１＋ｘ
＝３７
２３－１＝
１４
２３ꎬ１＋
１
１＋１
１＋ｘ
＝２３
１４ꎬ那么
１
１＋１
１＋ｘ
＝２３
１４－１＝９
１４ꎬ１＋１
１＋ｘ＝１４
９ꎬ那
么１
１＋ｘ＝１４
９－１＝５
９ꎬ１＋ｘ＝９
５ꎬ那么ｘ＝９
５－１＝４
５ꎮ
１３
５
解 析
繁分数运算时要分别对分子和分母进行逐步计
算ꎬ观察分子、分母中数字的特点ꎬ找到简算的方法进行
简算ꎮ
原式＝(３２－２２)＋(５２－４２)＋(７２－６２)＋(９２－８２)＋(１１２－１０２)
１＋２＋３＋４＋５＋４＋３＋２＋１
＝５＋９＋１３＋１７＋２１
２５
＝６５
２５
＝１３
５
第３讲 比较与估算
４
９< ５
１１
解 析
将４
９和５
１１通分子ꎬ得４
９＝４×５
９×５＝２０
４５ꎬ５
１１＝５×４
１１×４＝
２０
４４ꎬ因为２０
４５<２０
４４ꎬ所以４
９< ５
１１ꎮ
９
１６< ７
１２< ５
８< ２
３
解 析
将分数通分母ꎬ更加容易找到最小公倍数ꎬ
[３ꎬ８ꎬ１２ꎬ１６] ＝４８ꎬ
则２
３＝３２
４８ꎬ５
８＝３０
４８ꎬ７
１２＝２８
４８ꎬ９
１６＝２７
４８ꎮ
因为２７
４８<２８
４８<３０
４８<３２
４８ꎬ
所以９
１６< ７
１２< ５
８< ２
３ꎮ
答案不唯一ꎬ如３３
４８、１７
２４、３５
４８
解 析
将这两个分数通分ꎬ分子、分母同时乘一个数ꎬ写
出在此分数范围中的数即可ꎮ
３２
５９<４６
７３
解 析
１－３２
５９＝２７
５９ꎬ１－４６
７３＝２７
７３ꎬ
因为２７
５９>２７
７３ꎬ所以３２
５９<４６
７３ꎮ
６５７
７６８<４２５３
４３６４<６３２４
６４３５
解 析
１－６５７
７６８＝１１１
７６８ꎬ１－６３２４
６４３５＝１１１
６４３５ꎬ
１－４２５３
４３６４＝１１１
４３６４ꎮ因为１１１
７６８> １１１
４３６４> １１１
６４３５ꎬ
所以６５７
７６８<４２５３
４３６４<６３２４
６４３５ꎮ
１１１１０
２２２２１<４４４４３
８８８８７
解 析
１１１１０
２２２２１＝４４４４０
８８８８４ꎬ
根据糖水原理可知ꎬ４４４４０
８８８８４<４４４４０＋３
８８８８４＋３ꎬ即４４４４０
８８８８４< ４４４４３
８８８８７ꎬ故
１１１１０
２２２２１<４４４４３
８８８８７ꎮ
７或８
解 析
先通分子: １
３<
３
( )< ４
９⇒１２
３６<
１２
( )<１２
２７ꎬ
此时( )里可以填２８、２９、３０、３１、３２、３３、３４、３５ꎬ且满足
是４的倍数的有２８、３２ꎬ
所以原( )里可以填２８÷４＝７或３２÷４＝８ꎮ
１１
解 析
先通分母: ３
４<( )
１４
< ５
６⇒６３
８４<( )
８４
<７０
８４ꎬ
此时( )里可以填６４、６５、６６、６７、６８、６９ꎬ
且满足是６的倍数的有６６ꎬ
所以原( )里可以填６６÷６＝１１ꎮ
１２个
解 析
①分子是１的真分数１
２> ３
１１ꎬ不满足题意ꎻ
１
３> ３
１１ꎬ不满足题意ꎻ
１
４< ３
１１ꎬ１
４> １
７ꎬ满足题意ꎻ
１
５< ３
１１ꎬ１
５> １
７ꎬ满足题意ꎻ
１
６< ３
１１ꎬ１
６> １
７ꎬ满足题意ꎻ
４
０
则分子是１的共有３个ꎮ
②同样的方法判断分子是２的最简真分数ꎬ２
３ꎬ２
５ꎬ２
７均
大于３
１１ꎬ不满足题意ꎬ２
９ꎬ２
１１ꎬ２
１３满足题意ꎬ则分子是２的
共有３个ꎮ
③１
７＝３
２１ꎬ在３
２１和３
１１之间的最简真分数有３
１３ꎬ３
１４ꎬ３
１６ꎬ
３
１７ꎬ３
１９ꎬ３
２０ꎬ共６个ꎮ
所以满足题意的最简真分数有３＋３＋６＝１２(个)ꎮ
１
解 析
放大:Ａ＝２
１１＋２
１２＋２
１３＋＋２
２０< ２
１１×１０＝１９
１１ꎬ
缩小:Ａ＝２
１１＋２
１２＋２
１３＋＋２
２０> ２
２０×１０＝１ꎬ
得１<Ａ<１９
１１ꎬ
所以Ａ的整数部分是１ꎮ
７
解 析
放大: ９
１０＋９９
１００＋９９９
１０００＋＋９９９９９９９９
１００００００００<１×８＝８ꎬ
缩小: ９
１０＋９９
１００＋９９９
１０００＋＋９９９９９９９９
１００００００００> ９
１０×８＝７２
１０ꎬ
得７２
１０< ９
１０＋９９
１００＋９９９
１０００＋＋９９９９９９９９
１００００００００<８ꎬ所以计算结果
的整数部分是７ꎮ
６７
解 析
将结果分成两部分计算ꎬ
整数部分:１＋２＋３＋＋１１＝(１＋１１)×１１÷２＝６６ꎬ
分数部分: １０
１００＋１０
１０１＋１０
１０２＋＋１０
１１０ꎬ
放大: １０
１００＋１０
１０１＋１０
１０２＋＋１０
１１０< １０
１００×１１＝１１
１０ꎬ
缩小: １０
１００＋１０
１０１＋１０
１０２＋＋１０
１１０> １０
１１０×１１＝１ꎬ
分数部分的结果大于１且小于１１
１０ꎬ
所以计算结果的整数部分是６６＋１＝６７ꎮ
Ｂ＝１
８＋２
５５
解 析
Ａ－Ｂ＝(
１
７＋１
５５) －(
１
８＋２
５５) ＝１
７＋１
５５－１
８－２
５５＝
(
１
７－１
８) ＋(
１
５５－２
５５) ＝１
５６－１
５５
因为１
５６－１
５５<０ꎬ
所以Ａ<Ｂꎬ即它们中较大的是Ｂ＝１
８＋２
５５ꎮ
Ａ最大ꎬＣ最小
解 析
观察三个算式的特征ꎬ分母相加的和都是４０ꎮ
Ａ＝１
１１＋１
２９＝１×２９
１１×２９＋１×１１
２９×１１＝４０
３１９ꎬ
Ｂ＝１
１５＋１
２５＝１×２５
１５×２５＋１×１５
２５×１５＝４０
３７５ꎬ
Ｃ＝１
１９＋１
２１＝１×２１
１９×２１＋１×１９
２１×１９＝４０
３９９ꎬ
因为４０
３１９> ４０
３７５> ４０
３９９ꎬ所以Ａ最大ꎬＣ最小ꎮ
④３
８＋８
２０的运算结果最小
解 析
从①到⑧ꎬ每个算式的第二个数都依次增加１
２０ꎬ
不断变大ꎻ第一个数的分母依次增加１ꎬ不断变小ꎻ
３
７－３
８＝３
５６> １
２０ꎬ说明从①到④ꎬ算式的结果不断变小ꎻ
３
８－３
９＝３
７２< １
２０ꎬ说明从④到⑧ꎬ算式的结果不断变大ꎻ
所以④３
８＋８
２０的运算结果最小ꎮ
５
０
练习册参考答案
第１讲 分数与循
环小数
Ｂ
解 析
１０１
５＝１０１÷ ５＝２０.２( 与２０.１４相差０.０６)ꎬ１４１
７＝
１４１÷ ７＝２０. １４２８５７１４２８５７( 与２０. １４相差约
０.００２８５７１４)ꎬ１８１
９
＝１８１÷ ９＝２０. １１１( 与２０. １４相差
约０.０２８８９)ꎬ１６１
８＝１６１÷８＝２０.１２５(与２０.１４相差０.０１５)ꎮ
比较可得结果ꎮ
０.９３６９３６或１０４
１１１
解 析
方法１:１.８
２５
－０.８
＝１.８２５８２５８２５－０.８８８８８８８８＝
０.９３６９３６
方法２:１.８
２５
－０.８
＝１８２４
９９９－８
９＝９３６
９９９＝１０４
１１１
１２２３
９９００ １
解 析
(１)令Ａ＝０.１２３５３５３５ꎬ
则１００Ａ＝１２.３５３５３５(小数点向右移动２位) ①ꎬ
１００００Ａ＝１２３５.３５３５３５(小数点向右移动４位) ②ꎬ
②－①ꎬ得左边＝１００００Ａ－１００Ａꎬ
右边＝１２３５.３５３５３５－１２.３５３５３５ꎬ
即９９００Ａ＝１２２３ꎬＡ＝１２２３÷９９００＝１２２３
９９００ꎬ
所以循环小数０.１２３
５
化成分数就是１２２３
９９００ꎮ
(２)令Ａ＝０.９９９ ①ꎬ
则１０Ａ＝９.９９９(小数点向右移动１位) ②ꎬ
②－①ꎬ得左边＝１０Ａ－Ａꎬ
右边＝９.９９９－０.９９９ꎬ即９Ａ＝９ꎬＡ＝９÷９＝１ꎮ
所以循环小数０.９
化成分数就是１ꎮ
１.１５１５或３８
３３
解 析
方法１:０. １
２
＋０. ２
３
＋０. ３
４
＋０. ４
５
＝０.１２１２１２＋
０.２３２３２３＋０.３４３４３４＋０.４５４５４５＝１.１５１５
方法２:０.１
２
＋０.２
３
＋０.３
４
＋０.４
５
＝１２
９９＋２３
９９＋３４
９９＋４５
９９＝１１４
９９＝３８
３３
５
解 析
原式＝１
９＋２
９＋３
９＋＋８
９＋９
９
＝１＋２＋３＋＋８＋９
９
＝４５
９
＝５
５
解 析
３
７＝０.４２８５７１４２８５７１这里的“４２８５７１” 是一个
循环节ꎬ包含６个数字ꎬ且循环节从小数位数第１位开始ꎬ
利用除法就可以解决ꎬ２０１４÷ ６＝３３５４ꎬ也就是小数
部分包含了３３５个循环节还多４个数字(４２８５)ꎮ所以３
７
化成小数后ꎬ小数点后第２０１４位上的数字是５ꎮ
２０
１１
解 析
(４.２
－０.４
８
) ÷２.０５
＝( ４２
９－４８
９９) ÷ １８５
９０＝(
３８
９－
４８
９９) ÷１８５
９０＝３７０
９９× ９０
１８５＝２０
１１
９
解 析
１
２＋１
４＋１
６＋１
１２＝６
１２＋３
１２＋２
１２＋１
１２＝１ꎬ０.９
＝１ꎬ所
以第２０００位上的数字是９ꎮ
５
解 析
１＋１
２＋１
３＋１
４＋１
５＋１
６＋１
７＋１
８＋１
９＋１
１０＝１＋
０.５＋０.３３３３＋０.２５＋０.２＋０.１６６６＋０.１４２８５７１４２８５７＋
０.１２５＋０.１１１１＋０. １＝１＋０.５＋０. ２５＋０. ２＋０. １２５＋０. １＋
０.３３３３＋０.１６６６＋０.１４２８５７１４２８５７＋０.１１１１＝２.１７５＋
０.３３３３＋０.１６６６＋０.１４２８５７１４２８５７＋０.１１１１＝２.１７５＋
０.７５３９６８２５３９６８２５３＝２.９２８９６８２５３９６８２５３
这里的“９６８２５３”是一个循环节ꎬ包含６个数字ꎬ且循环节
从小数位数第４位开始ꎬ利用除法就可以解决ꎮ因为小数
部分的前３位不是循环节ꎬ所以从２０１２里要减去３ꎬ
(２０１２－３)÷６＝３３４５ꎬ也就是小数部分包含了３３４个
循环节还多５个数字(９６８２５)ꎮ所以算式结果的小数点
后第２０１２位上的数字是５ꎮ
１.８１６
解 析
原式＝
６７１２
３
{
} ＋７８３
４
{
} ＋８２２
５
{
} ＝２
３＋３
４＋
２
５＝１０９
６０＝１.８１６
ꎮ
ａ＝６
解 析
１
７＝０. １
４２８５７
ꎬ２
７＝０. ２
８５７１４
ꎬ３
７＝０. ４
２８５７１
ꎬ
４
７＝０.５
７１４２８
ꎬ５
７＝０.７
１４２８５
ꎬ６
７＝０.８
５７１４２
ꎮ
１
３
因此ꎬ真分数ａ
７化为小数后ꎬ从小数点后第一位开始ꎬ每
连续六个数字之和都是１＋４＋２＋８＋５＋７＝２７ꎬ又因为
１９９２÷２７＝７３２１ꎬ２７－２１＝６ꎬ而６＝２＋４ꎬ所以ａ
７＝
０.８
５７１４２
ꎬ即ａ＝６ꎮ
第２讲 分数巧算
１ ４５
解 析
原式＝(
１
４－１
２０) × ５
１３＋１÷ １３
１２＝１
５× ５
１３＋１２
１３＝１
１３＋
１２
１３＝１
原式＝(
４
７×５４＋２７× ６
７) －( １６× ３
５－１
５×３) ＝２７× (
８
７＋
６
７) －３
５×(１６－１)＝２７×２－３
５×１５＝５４－９＝４５
２５
解 析
１９×０.１２５＋２８１× １
８－１２.５＝１９× １
８＋２８１× １
８－１００×
１
８＝(１９＋２８１－１００)× １
８＝２００× １
８＝２５
４０
解 析
( ０.８＋１
５) ×２４＋６.６
[
] ÷ ９
１４－７.６＝(１×２４＋６.６) ×
１４
９－７.６＝３０.６×１４
９－７.６＝４７.６－７.６＝４０
５２
４９ ３９９３
４
解 析
１２６１
４９÷ ２５＝( １２５＋１１
４９) ÷ ２５＝１２５× １
２５＋５０
４９×
１
２５＝５＋２
４９＝５２
４９
４０３×１２３
１２４＝４０３× ( １－１
１２４) ＝４０３－４０３
１２４＝４０３－１３
４＝３９９３
４
１
１２３４５６５４３２１
解 析
原式＝
６×６
６６６６６６×６６６６６６＝
１
１１１１１１×１１１１１１＝
１
１２３４５６５４３２１ꎮ
１
６５
解 析
设１
７＋１
９＋１
１１＝ａꎬ则原式＝(
１
５＋ａ) × ( ａ＋１
１３) －
(
１
５＋ａ＋１
１３) × ａ＝１
５ａ＋ａ２＋１
１３ａ＋１
５× １
１３－(
１
５ａ＋ａ２＋
１
１３ａ) ＝１
５× １
１３＝１
６５ꎮ
２
５
６
１９
解 析
原式＝１×２×４×(１×１×１＋２×２×２＋３×３×３)
１×４×５×(１×１×１＋２×２×２＋３×３×３)
＝１×２×４
１×４×５＝２
５ꎮ
因为１
１×４＝(
１
１－１
４) × １
３ꎬ１
４×７＝(
１
４－１
７) × １
３ꎬꎬ所以
原式＝(
１
１－１
４) × １
３＋(
１
４－１
７) × １
３＋(
１
７－１
１０) × １
３＋
(
１
１０－１
１３) × １
３＋(
１
１３－１
１６) × １
３＋(
１
１６－１
１９) × １
３＝
[ (
１
１－１
４) ＋(
１
４－１
７) ＋(
１
７－１
１０) ＋(
１
１０－１
１３) ＋
(
１
１３－１
１６) ＋(
１
１６－１
１９) ] × １
３＝(
１
１－１
１９) × １
３＝６
１９
(１) １５
５６ (２)ｘ＝２
解 析
( １)
１
４－
１
３＋
１
２－
１
１＋１
２
＝
１
４－
１
３＋
１
２－１
３
２
＝
１
４－
１
３＋
１
２－２
３
＝
１
４－
１
３＋１
４
３
＝
１
４－
１
３＋３
４
＝
１
４－１
１５
４
＝
１
４－４
１５
＝１
５６
１５
＝１５
５６
(２) 由题可知ꎬ１＋
１
２＋
１
３＋
１
４＋１
ｘ
＝９６
６７ꎬ
１
２＋
１
３＋
１
４＋１
ｘ
＝９６
６７－１＝
２９
６７ꎬ２＋
１
３＋
１
４＋１
ｘ
＝６７
２９ꎬ
１
３＋
１
４＋１
ｘ
＝６７
２９－２＝９
２９ꎬ
３＋
１
４＋１
ｘ
＝２９
９ꎬ
１
４＋１
ｘ
＝２９
９－３＝２
９ꎬ４＋１
ｘ＝９
２ꎬ１
ｘ＝９
２－４＝
１
２ꎬｘ＝２ꎮ
３１
３
解 析
原式＝[
１
２× ( １＋１
２＋１
３＋１
４) －１
３× ( １＋１
２＋
１
３＋１
４) ] ÷ [
１
４× ( １＋１
２＋１
３＋１
４) －１
５× ( １＋１
２＋１
３＋
１
４) ] ＝[ ( １＋１
２＋１
３＋１
４) × (
１
２－１
３) ] ÷ [ ( １＋１
２＋
１
３＋１
４) × (
１
４－１
５) ] ＝(
１
２－１
３) ÷ (
１
４－１
５) ＝１
６÷
２
３
１
２０＝３１
３ꎮ
６
解 析
原式＝[ (
１＋２＋３
１
＋３) －(
１＋２＋３
２
＋３) ＋＋
(
１＋２＋３
９
＋３) －(
１＋２＋３
１０
＋３) ] ÷ ( １－１
２＋１
３－１
４＋＋１
９－
１
１０) ＝(
１＋２＋３
１
－１＋２＋３
２
＋＋１＋２＋３
９
－１＋２＋３
１０
) ÷ ( １－１
２＋
１
３－１
４＋＋１
９－１
１０) ＝[ (１＋２＋３) × ( １－１
２＋１
３－１
４＋＋
１
９－１
１０) ] ÷ ( １－１
２＋１
３－１
４＋＋１
９－１
１０) ＝１＋２＋３＝６ꎮ
第３讲 比较与估算
７
１１< ９
１３
１１
１５> ７
１２
解 析
通分子: ７
１１＝６３
９９ꎬ９
１３＝６３
９１ꎬ因为６３
９９< ６３
９１ꎬ所以７
１１<
９
１３ꎮ通分母:１１
１５＝４４
６０ꎬ７
１２＝３５
６０ꎬ因为４４
６０>３５
６０ꎬ所以１１
１５> ７
１２ꎮ
２
１７< ６
４９< ３
２３
解 析
通分子: ２
１７＝６
５１ꎬ３
２３＝６
４６ꎬ
因为６
５１< ６
４９< ６
４６ꎬ所以２
１７< ６
４９< ３
２３ꎮ
３３３３
３３３５<５５５５５
５５５５７
解 析
因为１－３３３３
３３３５＝
２
３３３５ꎬ１－５５５５５
５５５５７＝
２
５５５５７ꎬ
２
３３３５>
２
５５５５７ꎬ所以３３３３
３３３５<５５５５５
５５５５７ꎮ
(１)１１
解 析
先通分子: ３
７＝１５
３５ꎬ
５
( ) ＝
１５
( )ꎬ此时
１５
( )的( )里填的数必须是３的倍数ꎬ且小于３５ꎬ最
大可以填３３ꎬ故
５
( )的( )里最大填３３÷３＝１１ꎮ
(２)４
解 析
先通分子: ５
２２<
２３
( ) < ４
１７变成４６０
２０２４<
４６０
( ) <
４６０
１９５５ꎬ此时
４６０
( ) 的( ) 里填的数必须是２０的倍数ꎬ
且要小于２０２４ꎬ大于１９５５ꎬ所以可以填１９６０ꎬ１９８０ꎬ
２０００ꎬ２０２０ꎬ所以
２３
( ) 的( ) 里可以填的数有
１９６０÷２０＝９８ꎬ１９８０÷２０＝９９ꎬ２０００÷２０＝１００或者２０２０÷２０＝
１０１ꎬ一共有４种不同的填法ꎮ
最大的分数是１０２３
１０６０ꎬ最小的分数是３６
７３
解 析
①４５２
４８９ꎬ６２９
７２９ꎬ１０２３
１０６０这３个分数均大于１
２ꎬ而３６
７３小
于１
２ꎬ所以最小的分数是３６
７３ꎮ
②１－４５２
４８９＝３７
４８９ꎬ１－６２９
７２９＝１００
７２９ꎬ１－１０２３
１０６０＝３７
１０６０ꎮ因为３７
４８９>
３７
１０６０ꎬ１００
７２９> ３７
１０６０ꎬ所以最大的分数是１０２３
１０６０ꎮ
３６
解 析
整数部分:１＋３＋５＋＋１１＝(１＋１１)×６÷２＝３６ꎬ
放大分数部分: ２
１３＋２
１５＋２
１７＋＋２
２３< ２
１３×６＝１２
１３ꎬ所以分数
部分的和小于１ꎬ所以１２
１３＋３２
１５＋５２
１７＋＋１１２
２３计算结
果的整数部分是３６ꎮ
Ｃ最大ꎬＡ最小
解 析
Ａ＝１
１１＋１
９＝１×９
１１×９＋１×１１
９×１１＝２０
９９ꎬ
Ｂ＝１
１３＋１
７＝１×７
１３×７＋１×１３
７×１３＝２０
９１ꎬ
Ｃ＝１
１５＋１
５＝１×５
１５×５＋１×１５
５×１５＝２０
７５ꎬ
因为２０
９９<２０
９１<２０
７５ꎬ所以Ｃ最大ꎬＡ最小ꎮ
(１)２２２２２
９９９９９＝２２２
９９９ (２)２２２２２２
９９９９９<２２２２２
９９９９
(３) ２２２２２
９９９９９９> ２２２２
９９９９９
解 析
(１)２２２２２
９９９９９＝２×１１１１１
９×１１１１１＝２
９＝２×１１１
９×１１１＝２２２
９９９ꎮ
(２)２２２２２２
９９９９９＝２
９×１１１１１１
１１１１１ꎬ２２２２２
９９９９＝２
９×１１１１１
１１１１ꎬ因此只需要
比较１１１１１１
１１１１１和１１１１１
１１１１的大小ꎻ１１１１１１
１１１１１＝１０
１
１１１１１ꎬ１１１１１
１１１１＝
１０
１
１１１１ꎬ因此有１１１１１１
１１１１１<１１１１１
１１１１ꎬ所以２２２２２２
９９９９９<２２２２２
９９９９ꎮ
(３)与(２) 类似ꎬ２２２２２
９９９９９９＝２
９× １１１１１
１１１１１１ꎬ２２２２
９９９９９＝２
９× １１１１
１１１１１ꎬ
因此只需要比较１１１１１
１１１１１１和１１１１
１１１１１的大小ꎻ因为１１１１１
１１１１１１＝
１１１１０＋１
１１１１１０＋１> １１１１０
１１１１１０＝１１１１
１１１１１ꎬ所以２２２２２
９９９９９９> ２２２２
９９９９９ꎮ
Ａ<Ｂ
解 析
Ａ＝１＋１
２０２３＋１－１
２０２４＝２＋(
１
２０２３－１
２０２４) ꎬ
Ｂ＝１＋１
２０２１＋１－１
２０２２＝２＋(
１
２０２１－１
２０２２) ꎬ
３
３
所以只要比较(
１
２０２３－
１
２０２４) 和(
１
２０２１－
１
２０２２) 的大小
即可ꎮ
１
２０２３－１
２０２４可以变形为
１
２０２３×２０２４ꎬ
１
２０２１－１
２０２２可以变形为
１
２０２１×２０２２ꎬ
所以只要比较
１
２０２３×２０２４与
１
２０２１×２０２２的大小即可ꎬ
显然２０２３×２０２４>２０２１×２０２２ꎬ分子相同ꎬ分母越大分数越
小ꎬ所以１
２０２３－１
２０２４< １
２０２１－１
２０２２ꎬ
所以Ａ<Ｂꎮ
１
解 析
设原式的结果为Ａꎬ
放大: Ａ< １９× (
１
９.５×１０.５＋
１
１０.５×１１.５＋
１
１１.５×１２.５＋＋
１
２０１２.５×２０１３.５＋
１
２０１３.５×２０１４.５) ＝１９× (
１
９.５－１
１０.５＋１
１０.５－
１
１１.５＋１
１１.５－１
１２.５＋＋
１
２０１２.５－
１
２０１３.５＋
１
２０１３.５－
１
２０１４.５) ＝
１９× (
１
９.５－
１
２０１４.５) ＝８０２０
４０２９＝１３９９１
４０２９ꎬ
缩小:Ａ> １９× (
１
１０×１１＋
１
１１×１２＋
１
１２×１３＋＋
１
２０１３×２０１４＋
１
２０１４×２０１５) ＝１９× (
１
１０－１
１１＋１
１１－１
１２＋１
１２－１
１３＋＋
１
２０１３－
１
２０１４＋１
２０１４－１
２０１５) ＝１９× (
１
１０－１
２０１５) ＝７６１９
４０３０＝１３５８９
４０３０ꎬ
故Ａ的范围是１３５８９
４０３０<Ａ<１３９９１
４０２９ꎬ
所以原式的整数部分是１ꎮ
４
３
