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第 4 讲 转化与化归思想
思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简
单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转
化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．
方法一 特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一
般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成
批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问
题答案．
例1 (1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直
的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆 C：＋＝
1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为( )
A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7
C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝4
思路分析 求蒙日圆方程→求蒙日圆半径→找圆上任一点即可求半径→取特殊点→求两切线
的交点，即为蒙日圆上一点
答案 B
解析 因为椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，所以＝，解得a＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
所以椭圆的上顶点A(0，)，右顶点B(2,0)，所以经过A，B两点的切线方程分别为y＝，x＝
2，
所以两条切线的交点坐标为(2，)，
又过A，B的切线互相垂直，
由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径r＝＝，
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.
批注 根据题意每个椭圆的“蒙日圆”都是固定的，所以取特殊点，利用过特殊点的互相垂
直的切线的交点也在蒙日圆上即可求半径，体现了特殊到一般的思想．
(2)在平行四边形ABCD中，|AB|＝12，|AD|＝8，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM
等于( )
A．20 B．15 C．36 D．6思路分析 假设ABCD为矩形，建系→写出坐标→数量积运算
答案 C
解析 假设ABCD为矩形，以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立如图所示
的平面直角坐标系，
则A(0,0)，M(12,6)，N(8,8)，
∴AM＝(12,6)，NM＝(4，－2)，
∴AM·NM＝12×4＋6×(－2)＝36.
规律方法 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题
的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．
对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把
题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．
方法二 命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得
以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转
化．
例2 (1)(2022·济南模拟)若“∃x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则k的取值范围为
( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
思路分析 原命题为假命题→“∀x∈0，π，sin 2x－ksin x≥0”为真命题→分离常数求解.
答案 A
解析 依题意知，命题“∃x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，
则“∀x∈(0，π)，sin 2x－ksin x≥0”为真命题，
所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x，
解得k≤－2，所以k的取值范围为(－∞，－2]．
(2)已知在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC
的体积为( )
A．40 B．80C．160 D．240
思路分析 求P－ABC的体积→补成长方体→求长方体除P－ABC之外的三棱锥体积
答案 C
解析 因为三棱锥P－ABC的三组对边两两相等，所以可将此三棱锥放在一个特定的长方体
中(如图所示)，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC.
易知三棱锥P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线．
不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，
则由已知，可得⇒
从而知V ＝V －V －V －V －V ＝V －4V ＝6×8×10
P－ABC AEBG－FPDC P－AEB C－ABG B－PDC A－FPC AEBG－FPDC P－AEB
－4×××6×8×10＝160.
规律方法 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正
难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元．
方法三 函数、方程、不等式之间的转化
函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数 y＝f(x)的图象性质可以确定方程f(x)＝
0，不等式f(x)>0和f(x)<0的解集．
例 3 已知 f(x)＝ln x－＋，g(x)＝－x2－2ax＋4，若对∀x∈(0,2]，∃x∈[1,2]，使得
1 2
f(x)≥g(x)成立，则a的取值范围是__________．
1 2
思路分析 对∀x∈0，2]，∃x∈[1，2]，使得 fx≥gx成立→∃x∈[1，2]，
1 2 1 2 2
fx ≥gx→分离参数求范围.
min
答案
解析 因为f(x)＝ln x－＋，
所以f′(x)＝－－
＝＝－，
当00，
所以f(x) ＝f(1)＝，
min
即∃x∈[1,2]，g(x)≤，
即∃x∈[1,2]，－x2－2ax＋4≤，∴a≥ ，
min
函数φ(x)＝－＋在[1,2]上单调递减，
∴φ(x)∈，
∵a≥－，
∴a的取值范围是.
例4 已知函数f(x)＝eln x，g(x)＝f(x)－(x＋1).
(1)求函数g(x)的极大值；
(2)求证：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)．
思路分析 gx的极值→ln x0)．
令g′(x)>0，解得01.
∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x) ＝g(1)＝－2.
极大值
(2)证明 由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，
∴g(x)≤g(1)＝－2，
即ln x－(x＋1)≤－2⇒ln x≤x－1(当且仅当x＝1时，等号成立)，
令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)(t>－1)．
取t＝(n∈N*)时，则>ln＝ln ，
∴1>ln 2，>ln ，>ln ，…，>ln，
∴叠加得1＋＋＋…＋>ln＝ln(n＋1)．
即1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)．
规律方法 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关
系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
