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第 3 讲 分类讨论思想
思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,需对研究的对象按某个标
准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题
的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.
方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类,如绝对值的
定义、不等式的转化、等比数列{a}的前n项和公式等,然后分别对每类问题进行解决.
n
例1 (1)(2022·滁州质检)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2+y2+2x-6y+6=0相交于A,B两
点,则当|AB|=2时,直线l的方程为( )
A.x=0
B.15x-8y-8=0
C.3x-4y+4=0或x=0
D.3x+4y-4=0或x=0
思路分析 设直线方程→k存在,l:y=kx+1→圆心到直线l的距离d=1求解→斜率不存在,
l:x=0.
答案 D
解析 因为圆x2+y2+2x-6y+6=0化为(x+1)2+(y-3)2=4,
所以圆心为(-1,3),半径为r=2,
因为|AB|=2,
所以圆心到直线的距离为d=1,
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,
此时圆心(-1,3)到直线的距离为1,满足条件;
当直线l的斜率存在时,设斜率为k,直线l的方程为y=kx+1,
圆心到直线l的距离为d=,
所以=1,解得k=-,
此时直线方程为3x+4y-4=0,
综上,所求直线方程为3x+4y-4=0或x=0.
(2)已知数列{a}满足a=-2,a=2,a -2a=1-(-1)n,则下列选项不正确的是( )
n 1 2 n+2 n
A.{a }是等比数列
2n-1
B.(a +2)=-10
2i-1C.{a }是等比数列
2n
D.=52
i
思路分析 a -2a=1--1n→n为奇,{a }为等比数列;n为偶,{a }为等比数列
n+2 n 2n-1 2n
答案 B
解析 对于A,当n是奇数时,a -2a=2,
n+2 n
所以a +2=2(a+2),
n+2 n
又因为a=-2,所以a+2=0,
1 1
所以当n是奇数时,a+2=0,即a=-2,
n n
即{a }是以首项为-2,公比为1的等比数列,
2n-1
即选项A正确;
对于B,由A知,当n是奇数时,a+2=0,
n
所以(a +2)=0,
2i-1
即选项B错误;
对于C,当n为偶数时,a -2a=0,
n+2 n
即a =2a,
n+2 n
又因为a=2,所以=2,
2
所以{a }是以首项为2,公比为2的等比数列,
2n
故选项C正确;
对于D,
=(a+a+a+a+a)+(a+a+a+a+a )
i 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10
=-10+=52,即选项D正确.
批注 涉及数列中(-1)n的问题,一般需分奇偶讨论,当n为奇数时,首项是a ,a 是第个
1 n
奇数项;当n为偶数时,首项是a,a 是第个偶数项.
2 n
规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质,根据需要对所有情形分类.本例中,设直线
方程需分斜率存在和不存在两种情况,数列中含(-1)n需分奇偶两种情况,要注意分类讨论
要有理有据、不重不漏.
方法二 由图形位置或形状引起的讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论,这种方法适用
于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究.
例2 设F ,F 为椭圆+=1的两个焦点,点P为椭圆上一点,已知点P,F ,F 是一个直
1 2 1 2
角三角形的三个顶点,且|PF|>|PF|,则=________.
1 2答案 或2
解析 若∠PFF=90°,
2 1
则|PF|2=|PF|2+|FF|2,
1 2 1 2
又|PF|+|PF|=6,|FF|=2,
1 2 1 2
解得|PF|=,|PF|=,∴=.
1 2
若∠FPF=90°,则|FF|2=|PF|2+|PF|2,
1 2 1 2 1 2
∴|PF|2+(6-|PF|)2=20,
1 1
又|PF|>|PF|,∴|PF|=4,|PF|=2,
1 2 1 2
∴=2.
综上可知,=或2.
批注 P,F ,F 是一个直角三角形的三个顶点,并没有说明哪个点是直角顶点,所以需分
1 2
类讨论,仔细审题,理解题意是关键.
规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论;立体几何中点、线、面的位置
变化,三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.
方法三 由参数变化引起的分类讨论
某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需对参数进行讨论,
如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准,讨论中做
到不重不漏,结论整合要周全.
例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)=x+(x>0),若的最大值为,则正实数a=
________.
答案 1
解析 令t=x+(x>0),则t≥2,
则==,
令y=t+(a>0,t≥2),
当04时,t+≥2(当且仅当t=时,等号成立),则0<≤,
即的最大值为,则=,
解得a=(舍),
综上,所求正实数a=1.
规律方法 若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨
论,此类题目为含参型,应全面分析参数变化引起的结论的变化情况,在分类讨论时要遵循
分类的原则:一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量
避免分类,杜绝无原则的分类讨论.