文档内容
【试卷总评】
试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方
法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与
数学思想方法的考查；第17、18、19、20、21、22题分别从三角函数、立体几何、数列、
解析几何、函数与导数等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查.第14
与15题考查了选学讲内容，试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理
能力、分析解决问题的能力.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1. 方程 x2 +6x +13 =0的一个根是( )
A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i
2. 命题“$x ∈C Q， x3∈Q ”的否定是( )
0 R 0
A $x ∉C Q，x3∈Q B $x ∈C Q ，x3∉Q
0 R 0 0 R 0
C "x ∉C Q ， x3∈Q D "x ∈C Q ，x3∉Q
0 R 0 0 R 0
3. 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示 ，则它与X轴所围图形的面积为( )
第1页 | 共16页2p 4 3 p
A. B. C. D.
5 3 2 2
【考点定位】本小题考查利用定积分求平面图形的面积问题,
4
不难.定积分是理科生高考的热点分问题之一,几乎年年必
2
考,熟练其基础知识是解决好本类题目的关键. 4
2 2
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
正视图 侧视图
( )
8p 10p
A. B.3π C. D.6π[来源:学科网]
3 3
【答案】B
【解析】由三视图可知, 该几何体为一底面半径为1且高
俯视图
为 2 的 圆 柱 与 一 圆 锥 组 合 而 成 , 所 以 其 体 积 为
第4题图
2p+p=3p,故选B.
【考点定位】本小题考查立体几何中的三视图.三视图是新课标新增内容,是高考的重点和热
点,年年必考,一般以选择或填空题的形式出现,经常与表面积、体积相结合来考查.
5.设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=( )
A.0 B.1 C.11 D.12
【答案】D
[来源:Z#xx#k.Com]
【解析】因为 512012的个位数是 1, 且 a∈Z， 0≤a≤13，512012+a 能被 13 整除，所以
a=12,故选D.
【考点定位】本小题考查整除问题,属中档题.
a+b+c
6.设a,b,c,x,y,z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则 =( )
x+ y+z
第2页 | 共16页1 1 1 3
A. B. C. D,
4 3 2 4
【答案】C
【 解 析 】 由 于 (a2 +b2 +c 2 )(x2 + y2 +z2)(ax+by+cz)2 , 等 号 成 立 当 且 仅 当
a b c
= = =t, 则 a=t x b=t y c=t z ，t2(x2 + y2 +z2)=10 所以由题知t =1/2,又
x y z ,
a b c a+b+c a+b+c
= = = ,所以 =t =1/2，答案选C.
x y z x+ y+z x+ y+z
【考点定位】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.
7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a }，{f
n
（a ）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+
n
∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③ ；④f（x）=ln|x |。
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
2 1 1 2 1
A. 1- B. - . C. D.
p 2 p p p
第3页 | 共16页9.函数f（x）=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
p
【解析】令f（x）=xcosx2 =0得x=0或cosx2 =0,解得x=0或x2 =kp+ ,kÎz,
2
p 3p 5p 7p 9p
因为xÎ[0,4],所以x=0、 、 、 、 、 ，共有6个零点，故选
2 2 2 2 2
C.
【考点定位】本小题考查函数的零点求解.函数的零点即方程 f(x)=0的根,是高考的热点
问题之一,年年必考,掌握求函数零点的几种方法(解方程法、画图象法等).
10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，
所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一
316
个近似公式d » V .人们还用过一些类似的近似公式。根据x=3.14159…..判断，下列近似
9
公式中最精确的一个是( )
316 3 300 3 21
A．d » V B．d » 3 2V C．d » V D．d » V
9 157 11
【答案】D
【解析】
第4页 | 共16页3
4 d 6V a 6b 6´9
由V = p( )3，得d= ,设选项中常数为 ,则p= ；A中代入得p= =3.375，
3 2 p b a 16
6´1 6´157 6´11
B中代入得p= =3，C中代入得p= =3.14,D中代入得p= =3.142857，
2 300 21
由于D中值最接近p的真实值，故选择D。
【考点定位】本小题考查球的有关问题.球问题也是高考的一个重点问题之一,熟练球的基
础知识是解决好本题的关键.
二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填
在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
（一）必考题（11-14题）
11.设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c.若（a+b-c）（a+b+c）=ab，
则角C=______________.
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.
第5页 | 共16页【答案】9
【解析】当a=1,n=1时,计算出的s =1;当a=3,n=2时,计算出的s =4;当a=5,n=3
时,计算出的s =9,此时输出的结果s=9.
【考点定位】本小题考查框图的基本知识.框图是高考的热点内容之一,年年必考,经常以选
择或填空题的形式出现一个,难度不大,熟练基本算法以及算到哪一步是解决好本类问题的
关键.
13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2
位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.
则
（Ⅰ）4位回文数有______个；
（Ⅱ）2n＋1（n∈N ）位回文数有______个。[来源:Z。xx。k.Com]
+
x2 y2
14.如图，双曲线 - =1 (a,b>0)的两顶点为A ，A ，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为
a2 b2 1 2
F ，F .若以A A 为直径的圆内切于菱形F B F B ，切点分别为A，B，C，D.则
1 2 1 2 1 1 2 2 [来源:Z+xx+k.Com]
（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；
S
（Ⅱ）菱形F B F B 的面积S 与矩形ABCD的面积S 的比值 1 =_________.
1 1 2 2 1 2
S
2
第6页 | 共16页（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选
的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。）
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，
则CD的最大值为_____________.
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
第7页 | 共16页π
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线q=
4
ìx=t+1,
与曲线í （t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为_________.
îy=(t-1)2
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已 知 向 量 a=(coswx-sinwx, sinwx)， b=(-coswx-sinwx, 2 3coswx)， 设 函 数
1
f(x)=a×b+l(xÎR)的图象关于直线x=π对称，其中w，l为常数，且wÎ( , 1).
2
（1） 求函数f（x）的最小正周期；
p 3p
（2） 若y=f（x）的图像经过点( ,0),求函数f（x）在区间[0, ]上的取值范围.
4 5
【解析】（1）因为 f(x)=sin2wx-cos2wx+2 3sinwx×coswx+l
p
=-cos2wx+ 3sin2wx+l=2sin(2wx- )+l，所以
6
p
由直线直线x=π是y = f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2wx- )=±1，
6
p p k 1 1
所以2wx- )=kp+ ,kÎz，即w= + ,kÎz，又因为wÎ( ,1),kÎz，
6 2 2 3 2
5 6p
所以k =1，故w= ，所以 f(x)的最小正周期是 .
6 5
p p
(2)由y = f(x)的图象过点( ,0),得 f( )=0,
4 4
第8页 | 共16页5 p p p 5 p
即l=-2sin( ´ - )=-2sin =- 2,即l=- 2,故 f(x) =2sin( x- )- 2,
6 2 6 4 3 6
3p p 5 p 5p 1 5 p
由0£ x£ 得- £ x- £ ,所以- £sin( x- )£1,
5 6 3 6 6 2 3 6
5 p
得-1- 2 £2sin( x- )- 2 £2- 2,
3 6
3p
所以 f(x)在区间[0, ]上的取值范围为[-1- 2,2- 2].
5
【考点定位】本题考查三角函数的化简与求值,考查三角函数的基本性质等基础知识,考查考
生分析问题与解决问题的能力.
18.（本小题满分12分）
已知等差数列{a }前三项的和为-3，前三项的积为8.
n
（1）求等差数列{a }的通项公式；
n
（2）若a ,a ,a 成等比数列，求数列 a 的前n项的和.
2 3 1 n
【考点定位】本小题考查等差数列的通项公式的求解,考查等比数列等基础知识,考查分类讨
论的数学思想方法,考查同学们运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
第9页 | 共16页19.（本小题满分12分）
如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接
AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），[来源:Zxxk.Com]
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确
定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小
【解析】
（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC中，设BD=x (00；当xÎ(1, 3)时， f¢(x)<0．
所以当x=1时， f(x)取得最大值．
故当BD=1时, 三棱锥A-BCD的体积最大．
（Ⅱ）解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系D-xyz．
第10页 | 共16页由（Ⅰ）知，当三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2．
1
于是可得D(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(0,2, 0)，A(0, 0, 2)，M(0,1,1)，E( ,1, 0)，
2
uuuur
且BM =(-1,1,1)．
uuur 1 uuur uuuur
设N(0,l,0)，则EN =(- ,l-1,0). 因为EN ^BM 等价于EN×BM =0，即
2
1 1 1 1
(- ,l-1, 0)×(-1,1,1)= +l-1=0，故l= ，N(0, , 0).
2 2 2 2
1
所以当DN = （即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，EN ^BM ．
2
uuur
ìïn^BN, uuur 1
设平面BMN的一个法向量为n=(x,y,z)，由í
uuuur
及BN =(-1, ,0)，
ïîn^BM, 2
ìy=2x,
得í 可取n=(1, 2, -1)．
îz=-x.
uuur 1 1
设EN 与平面BMN所成角的大小为q，则由EN =(- ,- , 0)，n=(1, 2, -1)，可得
2 2
1
uuur |- -1|
n×EN 2 3
sinq=cos(90o -q)=
uuur
= = ，即q=60o．
|n|×|EN| 2 2 [来源:Zxxk.Com]
6´
2
故EN 与平面BMN所成角的大小为60o.
z
A
A
M
M
D N
DN F
C y
C
B E
B E
x
图a 图b
M
D N F C G H
N
E
B E
B P
图c 图d
第19题解答图
第11页 | 共16页5
连接MN ，ME，由计算得NB=NM =EB=EM = ，
2
所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，
如图d所示，取BM 的中点G，连接EG，NG，
则BM ^平面EGN．在平面EGN中，过点E作EH ^GN 于H ，
则EH ^平面BMN．故ÐENH 是EN 与平面BMN所成的角．
2
在△EGN中，易得EG=GN =NE= ，所以△EGN是正三角形，
2
故ÐENH =60o，即EN 与平面BMN所成角的大小为60o.
【考点定位】本小题考查空间线线与线面的位置关系,考查同学们的空间想象能力、逻辑推
理能力、分析问题与解决问题的能力.
20．（本小题满分12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6[来源:学。科。 10
[来源:学科网ZXXK]
网Z。X。X。K]
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，
0.7，0.9，求：
（I）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。
【解析】
（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：
第12页 | 共16页P(X <300)=0.3, P(300£ X <700)=P(X <700)-P(X <300)=0.7-0.3=0.4，
P(700£ X <900)=P(X <900)-P(X <700)=0.9-0.7=0.2.
P(X 900)=1-P(X <900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列为：
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
于是，E(Y)=0´0.3+2´0.4+6´0.2+10´0.1=3；
D(Y)=(0-3)2´0.3+(2-3)2´0.4+(6-3)2´0.2+(10-3)2´0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
21.（本小题满分13分）
设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，
点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹
为曲线C。
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的
射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存
在，求m的值；若不存在，请说明理由。
【解析】
（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x ,y )，则由|DM |=m|DA|(m>0,且m¹1)，
0 0
1
可得x=x ，| y|=m| y |，所以x =x，| y |= | y|. ①
0 0 0 0 m
因为A点在单位圆上运动，所以x 2 + y 2 =1. ②
0 0
第13页 | 共16页y2
将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2 + =1 (m>0,且m¹1).
m2
因为mÎ(0,1) (1, +¥)，所以
U
当01时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0, - m2 -1)，(0, m2 -1).
（Ⅱ）解法1：如图2、3，"k >0，设P(x,kx )，H(x ,y )，则Q(-x, -kx )，N(0, kx )，
1 1 2 2 1 1 1
直线QN的方程为y=2kx+kx ，将其代入椭圆C的方程并整理可得
1
(m2 +4k2)x2 +4k2xx+k2x2 -m2 =0.
1 1
依题意可知此方程的两根为-x ，x ，于是由韦达定理可得
1 2
4k2x m2x
-x +x =- 1 ，即x = 1 .
1 2 m2 +4k2 2 m2 +4k2
2km2x
因为点H在直线QN上，所以y -kx =2kx = 1 .
2 1 2 m2 +4k2
uuur uuur 4k2x 2km2x
于是PQ=(-2x, -2kx )，PH =(x -x, y -kx )=(- 1 , 1 ).
1 1 2 1 2 1 m2 +4k2 m2 +4k2
uuur uuur 4(2-m2)k2x2
而PQ^PH 等价于PQ×PH = 1 =0，
m2 +4k2
即2-m2 =0，又m>0，得m= 2，
m2(x2 -x 2)+(y2 - y 2)=0. ③
1 2 1 2
依题意，由点P在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P，H 不重合，
故(x -x )(x +x )¹0. 于是由③式可得
1 2 1 2
第14页 | 共16页(y - y )(y + y )
1 2 1 2 =-m2. ④
(x -x )(x +x )
1 2 1 2
2y y + y
又Q，N，H 三点共线，所以k =k ，即 1 = 1 2 .
QN QH x x +x
1 1 2
y y - y 1 (y - y )(y + y ) m2
于是由④式可得k ×k = 1 × 1 2 = × 1 2 1 2 =- .
PQ PH x x -x 2 (x -x )(x +x ) 2
1 1 2 1 2 1 2
m2
而PQ^PH 等价于k ×k =-1，即- =-1，又m>0，得m= 2，
PQ PH 2
y2
故存在m= 2，使得在其对应的椭圆x2 + =1上，对任意的k >0，都有PQ^PH .
2
【考点定位】本小题考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识,考查函数与方程思想、分类讨
论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力.
22.(本小题满分14分)
（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0
