文档文本内容
1
数列及其综合应用
题型归纳
题型一：等差数列与等比数列证明
（23-24 高三下·内蒙古包头·三模）已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)证明：数列
是等比数列，并求
；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见解析，
；(2)
【解析】（1）因为
，又
，所以
，整理得
．
由题意得
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故
，即
．
（2）由（1）可
，
当
时，
，
当
时，
，所以
，
.
2
当
，代入
满足公式，
综上，
判断数列是否为等差货等比数列的策略
1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断；
2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即
可。
1．（24-25 高三上·上海·期中）某人购买某种教育基金，今年5 月1 日交了10 万元，年利率5%，以后每年
5 月1 日续交2 万元，设从今年起每年5 月1 日的教育基金总额依次为
，
，
，…….
(1)写出
和
，并求出
与
之间的递推关系式；
(2)求证：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式.
【答案】(1)
，
，
；(2)证明见解析，
【解析】（1）
，
，
，
（2）证明：
是以50 为首项，
为公比的等比数列.
，
3
2．（24-25 高三上·山东淄博·月考）记
为数列{an}的前
项和，已知
，
．
(1)求
，并证明
是等差数列；
(2)求
．
【答案】(1)
，证明见解析；(2)
【解析】（1）当
时，
，
解这个方程：
，即
，解得
.
当
时，
，
把
代入得
，
移项可得
，即
，解得
.
所以
.
由
，可得
.
当
时，
.
展开得
.
整理得
，移项得
，即
.
那么
.
令
，则
，
.
所以
（常数）.
所以
是等差数列.
（2）由
可得：
.
因为
，所以
（
）.
则
.
所以
.
4
展开得
.
题型二：分组转化法求数列的前n 项和
（24-25 高三上·北京·月考）已知
是各项均为正数的等比数列，
，且
，
，
成等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，且
，
因为
，
，
成等差数列，则
，
即
，解得
或
（舍去），
所以
的通项公式为
.
（2）由（1）可知：
，
则
，
所以
.
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，
5
注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
2、常见类型：
（1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：
（2）奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列。
1．（24-25 高三上·河北衡水·月考）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
，求n 的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为
，
所以当
时，
，
即
时，
，
又
时，
，
所以数列
为首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知
，所以
，
又由
，可得
，
所以
，
又
，所以
，整理得到
，解得
，
所以n 的值为
.
2．（24-25 高三上·海南海口·月考）已知数列
是公差为3 的等差数列，数列
满足
，
，
，
(1)求数列
，
的通项公式；
6
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）设数列{an}的公差为
，
中，令
，有
，代入
，
，得
，
所以数列{an}是首项为2，公差为3 的等差数列，通项公式为
；
将
代入
，得
，
，故有
，
因此{bn}是首项为1，公比为
的等比数列，
.
（2）设
，
为奇数时，
，
.
题型三：裂项相消法求数列的前n 项和
（24-25 高三上·湖北·期中）记
是等差数列
的前
项和，
，且
，
，
成等比数
列.
(1)求
和
；
(2)若
，求数列
的前20 项和
.
【答案】(1)
；
；(2)
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，则
，
由
，得
，即
，解得
，
7
所以
，
.
（2）由（1）知，
，又
，则
因此
，
所以
.
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相
消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1）
1
1 1
1
(
)
(
)
n n
k
k n
n
k （2）
2
1
1
1
1
(
)
4
1
2 2
1
2
1
n
n
n
（3）
1
1
1
1
(
1)(
2)
2
(
1)
(
1)(
2)
n n
n
n n
n
n
（4）
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1)
(
(
)
n
n
n
n
n
（5）
2
2
2
2
1
1
1
1
2)
4
2)
(
(
n
n
n
n
n
（6）
1
1 (
)
n
k
n
k
n
k
n
（7）
1
1
1
1
2
(2
1)
(2
1)
1
1
(2
1)(2
1)
(2
1)(2
1)
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1．（24-25 高三上·广东深圳·模拟预测）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是
一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列
是一个二阶等差数列，其中
．
(1)求
及
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
8
【答案】(1)
，
；(2)
【解析】（1）由
，得
，
，
由数列{an}是一个二阶等差数列，得
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，
因此
，
，
当
时，
，
满足上式，则
，
所以{an}的通项公式是
.
（2）由（1）知，
，
所以
．
2．（24-25 高三上·宁夏石嘴山·月考）已知数列{an}的首项为1，且
.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若
，求数列{bn}的前
项和
.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）因为数列{an}的首项为1，且
，
所以数列{an}是以1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
；
（2）由（1）知
，
所以
，
9
所以
.
题型四：错位相减法求数列的前n 项和
（24-25 高三上·广东广州·模拟预测）已知数列
的前
项和公式为
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的通项公式.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）由
可得
时，
，
故
，
当
时，
也符合要求，
故
，
（2）由
可得
，
故
时，
，
则
，
相减可得
，
故
，
化简可得
，故
，
当
时，
也符合要求，故
10
1、解题步骤
2、注意解题“3 关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达
式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1 和q≠1 两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令cn=(An +B)⋅qn
，可以用错位相减法．
T n=( A+B)q+(2 A+B)q2+(3 A+B)q3+...+(An+B)qn
①
qT n=( A+B)q2+(2 A+B)q3+(3 A+B)q4+...+(An+B)qn+1
②
得：
．
整理得：
T n=( An
q−1+ B
q−1−
A
(q−1)2 )qn+1−( B
q−1−
A
(q−1)2 )q
.
1．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）已知数列{an}满足：
，数列{bn}满足：
.
(1)求数列
的前15 项和
；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)130；(2)
11
【解析】（1）因为
，解得
，
所以
.
（2）
，
，
当
时，
，
两式相减，得
，即
.
又当
时，
符合题意，
所以
，
，
，
故
，
两式相减得
，
即
，
化简得
.
2．（24-25 高三上·湖北·期中）已知
是公差不为0 的等差数列，
，且
，
，
成等比数列，
数列
满足：
，且
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
为数列
的前
项和，求
.
【答案】(1)
，
；(2)
12
【解析】（1）设
的公差为
，因为
，
，
成等比数列，
所以
，即
，
整理有：
，解得
（舍），
所以
，
；
因为
，所以
，
又
，
，
所以
为首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，
（2）因为
，
①，
②
两式相减，得：
，
所以
.
题型五：数列与不等式综合问题
（23-24 高三下·河北邢台·二模）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
．
【答案】(1)
；(2)证明见解析
13
【解析】（1）当
时，
.
当
时，
，
，两式相减得：
.
所以{an}是以
为首项，以
为公比的等比数列.
所以
.
（2）由（1）知：
，所以
.
当
时，
，
当
时，
，故
，
所以
.
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题
来求解；
二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
1．（24-25 高三上·吉林·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
，设
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)若
，求满足条件的最小正整数
．
【答案】(1)证明见解析；(2)2024
【解析】（1）
，
，所以数列
为首项为
，公比为
等比数列.
14
（2）由（1）可得
，
即
，
∴
，
而因为
在
上均单调递增，则
随着
的增大而增大，
要使
，即
，则
，
∴
的最小值为2024.
2．（24-25 高三上·辽宁·开学考试）已知
为数列
的前
项和，
为数列
的前
项和，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的最大值；
(3)设
，证明：
.
【答案】(1)
；(2) ；(3)证明见解析
【解析】（1）由
，得
，所以数列
为等差数列，
所以
，所以
.
又
，所以
，
设
的公差为d，即
解得
所以
的通项公式是
.
（2）由（1）知
，所以
15
，
，
令
，得
，
设
，则数列
是递增数列.
又
，
，
所以n 的最大值为5.
（3）由（2）知
，
设
是
的前n 项和，则
，所以
是递增数列，
所以
成立.
又
，
所以当
时，
，所以
，
得
，
所以
.
综上，
.
题型六：数列中的探究问题
（23-24 高三下·福建·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，数列
满足
，且
均
为正整数.
(1)是否存在数列
，使得
是等差数列？若存在，求此时的
；若不存在，说明理由；
16
(2)若
，求
的通项公式.
【答案】(1)存在，
；(2)
【解析】（1）由题意易知，
，
当
时，
，
由
均为正整数知，
为正整数，
则当且仅当
即
时，
，为整数，
若存在数列
，使得
是等差数列，则
，
故
，此时
为整数，符合题意，
所以
，当
时，有
，
两式相减得
，整理得
，
故
，
当n=2 时，
，故
，
经检验，当
时，
，充分性成立，
故存在数列
，使得
是等差数列.
此时
；
（2）法一、
因为
，当
时，有
，两式相减，
整理得：
，
由递增数列的题意与整数的性质知，
，
故
，
因为
，所以
，
则
，
因为
为正整数，所以
.
法二、
假设存在一个正整数
，使得
17
则
，
，
则
，不符合递增数列的题意,
故假设错误，不存在这样的正整数
，使得
，所以
.
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方
法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来
进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不
定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②
归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而
得出原命题结论成立．
1．（24-25 高三上·天津·月考）已知等比数列{an}的前n 项和为
，且
．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在
与
之间插入n 个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列．
（i）求数列
的通项及
；
（ii）在数列
中是否存在3 项
（其中m，k，p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的
3 项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；(2)（i）
；（ii）不存在，理由见解析.
【解析】（1）∵
，
∴
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
.
（2）（i）由题意可知：
，
18
∴（i）求数列
的通项：
，
；
（ii）假设在数列
中存在3 项
（其中m，k，p 成等差数列）成等比数列，
则
，
即
，
则
又∵m，k，p 成等差数列，∴
，
∴
∴化简得：
即
∴
，
∴
，又∵
，
∴
，与已知矛盾，
∴数列
中不存在3 项
（其中m，k，p 成等差数列）成等比数列.
2．（24-25 高三上·江苏无锡·期中）在下面
行、
列
的表格内填数：第一列所填各数自上而下构
成首项为1，公差为2 的等差数列{an}；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2 的等比数列{bn}；
其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2 行的数自左向
右依次记为
.
第1 列
第2 列
第3 列
…
第
列
第1 行
1
2
…
第2 行
3
5
9
第3 行
5
10
…
…
19
第
行
(1)求数列
通项公式;
(2)对任意的
，将数列{an}中落入区间
内项的个数记为
，
①求
和
的值;
②设数列
的前
项和
；是否存在
，使得
，若存在，求出所有
的值，
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)①
，
；②
.
【解析】（1）由题意知
，
，
当
时，
，
而
也满足上式，
.
（2）①
，
令
，
当
时，
，此时
，
当
时，
，
此时
.
②
，记
从第2 项到第
项的和为
，
，
，
上述两式作差得
，
，
当
时，
；
当
时，
，
也满足上式，
，
20
，
，当
时，左边
，舍去，
当
时，经检验符合；
当
时，左边恒
，无解，
综上:
.
、
必刷大题
1．（24-25 高三上·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列{an}满足：
且
，
，
成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
21
(2)若数列{bn}满足：
，
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
或
；(2)
或
【解析】（1）设正项等差数列
的公差为
，由
成等比数列，
得
，则
，
又
，即
，解得
或
.
当
时，
.
当
时，
.
所以数列
的通项公式为
或
.
（2）由题意得，当
时，
，则
，
所以数列
的前
项和
当
时，
，
则
，且
，
故{bn}是以
为首项，
为公比的等比数列，
则
.
故数列
的前
项和
或
.
2．（24-25 高三上·江苏镇江·模拟预测）已知数列
满足
，
(1)记
，写出
，
，证明数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求
的前20 项和．
【答案】(1)
，
，证明见解析，
；(2)
.
22
【解析】（1）依题意，
，
，
显然
，因此
，
所以数列
是等差数列，其首项为1，公差为4，通项
（2）当n 为奇数时，
，
所以{an}的前20 项和为
3．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知数列
的前n 项和为
，
，满足
．
(1)求
；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）
，当
时，
，
两式作差得
，
即
，所以
，
所以
，
当
时也成立，所以
；
（2）由（1）得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
4．（24-25 高三上·江西上饶·月考）设函数
，数列
满足
，且
.
(1)求证：数列
是等差数列；
23
(2)令
，若
对一切
成立，求最小正整数
的
值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】（1）结合题意可知
，
两边取倒数可得：
，即
.
所以数列
是以首项
，公差为
的等差数列.
（2）由上问可知数列
是以首项
，公差为
的等差数列，
所以
，所以
.
所以
.
又
，也满足上式，所以
由
可得：
，
所以
，因为
对一切
成立，
所以
,解得
.
最小正整数
的值为
.
5．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知数列
为等差数列，公差
，前
项和为
，
为
和
的
24
等比中项，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)是否存在正整数
，
，使得
，
，
成等差数列？若存在，求出
，
的值；若不存
在，请说明理由；
(3)求证：数列
.
【答案】(1)
；(2)存在
，理由见解析；(3)证明过程见解析
【解析】（1）由题意得
，即
，
整理得
，因为
，所以
，
，即
，解得
，
故
，{an}的通项公式为
；
（2）不存在正整数
，
，使得
，
，
成等差数列，理由如下：
假设存在正整数
，
，使得
，
，
成等差数列，
，
，
，
由题意得
，整理得到
,
故
或
,
故
（舍）或
，
,
综上，存在正整数
，
，使得
，
，
成等差数列；
（3）由等差数列求和公式得
，
当
时，
，
.
25
6．（24-25 高三上·山东青岛·月考）已知数列
的前n 项和
．若
，
且数列
满足
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求证：数列
的前n 项和
；
(3)若
对一切
恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）由题意知
，
当
时，
，所以
．
当
时，
，所以
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
．
因为
，所以
，
所以
，令
，可得
，
所以数列
是以1 为首项，3 为公差的等差数列．
（2）由（1）知
，
所以
，
所以
，
两式相减，可得
，
26
所以
，所以
．
（3）若
对一切
恒成立，只需要
的最大值小于或等于
．
因为
，
所以
，所以数列
的最大项为
和
，且
．
所以
，即
，
解得
或
，即实数的取值范围是
．
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）因为
,故
，
所以
即
故等比数列的公比为
，
故
，故
，故
.
（2）由等比数列求和公式得
，
所以数列
的前n 项和
27
.
2．（2024·全国·高考真题）记
为数列{an}的前
项和，已知
．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设
，求数列{bn}的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）当
时，
，解得
．
当
时，
，所以
即
，
而
，故
，故
，
∴数列{an}是以4 为首项，
为公比的等比数列，
所以
.
（2）
,
所以
故
所以
，
.
3．（2024·上海·高考真题）若
．
(1)
过
，求
的解集；
(2)存在
使得
成等差数列，求
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）因为y = f (x)的图象过
，故
，故
即
（负的舍去），
28
而
在(0,+ ∞)上为增函数，故
，
故
即
，
故
的解集为
.
（2）因为存在
使得
成等差数列，
故
有解，故
，
因为
，故
，故
在(0,+ ∞)上有解，
由
在(0,+∞)上有解，
令
，而
在(0,+∞)上的值域为(1,+ ∞)，
故
即
.
4．（2024·天津·高考真题）已知{an}为公比大于0 的等比数列，其前
项和为
，且
．
(1)求{an}的通项公式及
；
(2)设数列
满足
，其中
．
（ⅰ）求证：当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
【答案】(1)
；(2)①证明见解析；②
【解析】（1）设等比数列{an}的公比为
，
因为
，即
，
可得
，整理得
，解得
或
（舍去），
所以
.
（2）（i）由（1）可知
，且
，
当
时，则
，即
29
可知
，
，
可得
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
；
（ii）由（1）可知：
，
若
，则
；
若
，则
，
当
时，
，可知
为等差数列，
可得
，
所以
，
且
，符合上式，综上所述：
.
