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数列及其综合应用
题型归纳
题型一：等差数列与等比数列证明
（23-24 高三下·内蒙古包头·三模）已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)证明：数列
是等比数列，并求
；
(2)求数列
的前n 项和
．
1．（24-25 高三上·上海·期中）某人购买某种教育基金，今年5 月1 日交了10 万元，年利率5%，以后每年
5 月1 日续交2 万元，设从今年起每年5 月1 日的教育基金总额依次为
，
，
，…….
(1)写出
和
，并求出
与
之间的递推关系式；
(2)求证：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式.
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2．（24-25 高三上·山东淄博·月考）记
为数列{an}的前
项和，已知
，
．
(1)求
，并证明
是等差数列；
(2)求
．
题型二：分组转化法求数列的前n 项和
（24-25 高三上·北京·月考）已知
是各项均为正数的等比数列，
，且
，
，
成等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
1．（24-25 高三上·河北衡水·月考）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
，求n 的值．
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2．（24-25 高三上·海南海口·月考）已知数列
是公差为3 的等差数列，数列
满足
，
，
，
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
题型三：裂项相消法求数列的前n 项和
（24-25 高三上·湖北·期中）记
是等差数列
的前
项和，
，且
，
，
成等比数
列.
(1)求
和
；
(2)若
，求数列
的前20 项和
.
1．（24-25 高三上·广东深圳·模拟预测）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是
一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列
是一个二阶等差数列，其中
．
(1)求
及
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
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2．（24-25 高三上·宁夏石嘴山·月考）已知数列{an}的首项为1，且
.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若
，求数列{bn}的前
项和
.
题型四：错位相减法求数列的前n 项和
（24-25 高三上·广东广州·模拟预测）已知数列
的前
项和公式为
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的通项公式.
1．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）已知数列{an}满足：
，数列{bn}满足：
.
(1)求数列
的前15 项和
；
(2)求数列
的前
项和
.
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2．（24-25 高三上·湖北·期中）已知
是公差不为0 的等差数列，
，且
，
，
成等比数列，
数列
满足：
，且
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
为数列
的前
项和，求
.
题型五：数列与不等式综合问题
（23-24 高三下·河北邢台·二模）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
．
1．（24-25 高三上·吉林·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
，设
．
(1)求证：数列
为等比数列；
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(2)若
，求满足条件的最小正整数
．
2．（24-25 高三上·辽宁·开学考试）已知
为数列
的前
项和，
为数列
的前
项和，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的最大值；
(3)设
，证明：
.
题型六：数列中的探究问题
（23-24 高三下·福建·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，数列
满足
，且
均
为正整数.
(1)是否存在数列
，使得
是等差数列？若存在，求此时的
；若不存在，说明理由；
(2)若
，求
的通项公式.
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1．（24-25 高三上·天津·月考）已知等比数列{an}的前n 项和为
，且
．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在
与
之间插入n 个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列．
（i）求数列
的通项及
；
（ii）在数列
中是否存在3 项
（其中m，k，p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的
3 项；若不存在，请说明理由．
2．（24-25 高三上·江苏无锡·期中）在下面
行、
列
的表格内填数：第一列所填各数自上而下构
成首项为1，公差为2 的等差数列{an}；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2 的等比数列{bn}；
其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2 行的数自左向
右依次记为
.
第1 列
第2 列
第3 列
…
第
列
第1 行
1
2
…
第2 行
3
5
9
第3 行
5
10
…
…
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第
行
(1)求数列
通项公式;
(2)对任意的
，将数列{an}中落入区间
内项的个数记为
，
①求
和
的值;
②设数列
的前
项和
；是否存在
，使得
，若存在，求出所有
的值，
若不存在，请说明理由.
必刷大题
1．（24-25 高三上·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列{an}满足：
且
，
，
成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：
，
，求数列
的前
项和
.
2．（24-25 高三上·江苏镇江·模拟预测）已知数列
满足
，
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(1)记
，写出
，
，证明数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求
的前20 项和．
3．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知数列
的前n 项和为
，
，满足
．
(1)求
；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
4．（24-25 高三上·江西上饶·月考）设函数
，数列
满足
，且
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)令
，若
对一切
成立，求最小正整数
的
值.
5．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知数列
为等差数列，公差
，前
项和为
，
为
和
的
等比中项，
.
(1)求数列
的通项公式；
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(2)是否存在正整数
，
，使得
，
，
成等差数列？若存在，求出
，
的值；若不存
在，请说明理由；
(3)求证：数列
.
6．（24-25 高三上·山东青岛·月考）已知数列
的前n 项和
．若
，
且数列
满足
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求证：数列
的前n 项和
；
(3)若
对一切
恒成立，求实数的取值范围．
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
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2．（2024·全国·高考真题）记
为数列{an}的前
项和，已知
．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设
，求数列{bn}的前
项和
．
3．（2024·上海·高考真题）若
．
(1)
过
，求
的解集；
(2)存在
使得
成等差数列，求
的取值范围．
4．（2024·天津·高考真题）已知{an}为公比大于0 的等比数列，其前
项和为
，且
．
(1)求{an}的通项公式及
；
(2)设数列
满足
，其中
．
（ⅰ）求证：当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
