5.1 正弦定理（讲义）
目录
1
知识点01 正弦定理....................................................................................2
2
知识点02 面积公式：................................................................................2
3
知识点03 正弦定理的应用........................................................................2
4
知识点04 内角和定理：A + B+C = π........................................................3
5
知识点05 射影定理....................................................................................3
6
题型一、正弦定理解三角形.....................................................................3
7
题型二、边角互化.....................................................................................5
8
题型三、三角形的面积公式.....................................................................6
9
题型四、射影定理.....................................................................................8
1 知识点01 正弦定理
(1)
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为
△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
公式
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2 R
常见变形
（1）a=2 R sin A，b=2 R sinB，c =2 R sinC
（2）sin A = a
2 R，sinB = b
2 R，sinC = c
2 R
2 知识点02 面积公式：
(1)
S = 1
2 absinC = 1
2 bc sin A = 1
2 ac sin B
(2)
S = abc
4 R = 1
2 (a+b+c)⋅r（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计
算R，r）
3 知识点03 正弦定理的应用
(1)
边化角，角化边⇔a:b:c =sin A :sin B:sinC
①若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
②若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
③若式子含有
的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
(2)
大边对大角 大角对大边
c
a
b
C
B
A
R
r
a>b⇔A >B⇔sin A >sin B⇔cos A <cos B
4 知识点04 内角和定理：A + B+C = π
(1)
sinC =sin( A + B)；sin A =sin(B+C )；sin B =sin( A +C )
(2)
cos( A + B) =-cosC;
cos( A +C ) =-cos B;
cos(B+C ) =-cos A;
(3)
在ΔABC中，内角A ，B，C成等差数列⇔B = π
3 , A +C = 2π
3 ．
5 知识点05 射影定理
(1)
c =acos B+bcos A
(2)
a=bcosC +c cos B
(3)
b=c cos A +acosC
6 题型一、正弦定理解三角形
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c =3，a=2，
C = 2π
3 ，则sin A =（ ）
A．
❑√3
3
B．4 ❑√3
3
C．1
3
D．
❑√3
2
2．△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知3a=5b，A = 2π
3 ，
则sin B =（ ）
A．3 ❑√3
10
B．3
10
C．3 ❑√2
5
D．3
5
3．在△ABC中，A =π
3 ，a= ❑√3，b=1，则B =（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B =105
∘，A =30
∘，
a=2，则c =（ ）
A．❑√2
B．❑√6- ❑√2
C．2❑√2
D．❑√6+ ❑√2
5．在△ABC中，角A，B，C 的对边为a，b，c，若a=3 ❑√6，b=9，B＝
60°，则A=（ ）
A．45°
B．45°或135°
C．30°
D．90°
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=6，b=2❑√3，
cosC =
❑√3
3 ，则sin B =（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√2
3
C．
❑√6
3
D．2❑√2
3
7．在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且A =π
4 ，
cosC =
❑√13
7 ，c = 4，则a=（ ）
A．7 ❑√2
3
B．12❑√2
7
C．24 ❑√2
7
D．4 ❑√2
8．已知△ABC的角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若a=1,b+c =2, A =π
4 ，则
sin B+sinC =（ ）
A．
❑√2
2
B．2❑√2
3
C．1
D．❑√2
二、填空题
9．在△ABC中，A =60° ,c = 4 ,a=2❑√7，则sin A
sin B =
10．△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若B =30°，b= ❑√2，
c =2，则A = ．
11．在△ABC中，若a= ❑√2，∠A = π
6 ，cosC = 1
3，则c =
12．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，a=2，b=3，B =π
3 ，则
cos A = .
三、解答题
13．在△ABC中，角A 、B、C的对边分别为a、b、c，已知
a= ❑√3,b=1,c = ❑√7．
(1)求角C 的大小；
(2)求sin( A +C )的值．
14．已知a，b，c 分别为△ABC三个内角A，B，C 的对边，A = 2π
3 ．
(1)若B =C，a=2❑√3，求c；
(2)若△ABC的面积为2❑√3，c =2，求a．
7 题型二、边角互化
1．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中
acos B+bcos A =3c tanC，若c = ❑√10，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．16π
B．25π
C．36π
D．49π
2．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则“tan A = tan B
”是“a=b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
acos B -bcos A -c =0，则A =（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
4．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若a=2,b=3，则sin A
sin B =
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．1
3
D．1
2
5．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若acos B+bcos A =a，
则△ABC 一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等边三角形
6．在△ABC中，
b
cos B =
c
sinC ，则∠B =（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
7．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若sin A =2sinC，
2b=3c，则a
b =（ ）
A．2
B．3
C．2
3
D．4
3
8．在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知2c -a=2bcos A，
则B =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
二、填空题
9．已知△ABC的周长为3+ ❑√3，且sin A +sin B = ❑√3sinC，则| AB|= ．
10．在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，asin B =- ❑√3bcos A，
则A = ．
11．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若
bsin B+csinC -asin A = ❑√2bsinC，则A = .
三、解答题
12．记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
c
a = sin A +2sin Bcos A
2sin A
．
(1)求B 的大小；
(2)若b=2❑√2，△ABC的面积为2❑√3，求△ABC的周长．
8
题型三、三角形的面积公式
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c = 4，
则△ABC的面积为（ ）
A．4 ❑√6
B．2❑√6
C．4
D．8
2．△ABC的内角A ，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．若
a=1,C =π
4 且4 S =cosB+bcos A，则B =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．5π
12
D．7π
12
3．已知△ABC的重心为G，AB =6，AC =8，BC =2❑√13，则△BGC的面积
为（ ）
A．12❑√3
B．8 ❑√3
C．4 ❑√3
D．4
4．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且B =π
4 ，a=2❑√2，
b=2❑√5，则AC边上的高h=（ ）
A．3 ❑√2
2
B．6 ❑√5
5
C．5 ❑√3
6
D．7 ❑√6
8
5．已知△ABC的三个内角分别为A ,B ,C，若△ABC的周长为9，且有
sin A :sin B:sinC =2:3:4，则△ABC的面积为（ ）
A．
❑√15
3
B．3 ❑√15
4
C．1
3
D．3
4
6．设△ABC中角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若a= 4，b=6，
sinC =
❑√3
2 ，则△ABC的面积为（ ）
A．8 ❑√3
B．12
C．6 ❑√2
D．6 ❑√3
7．在△ABC中，BC =8, AC =10,sin∠BAC = 4
5 ，则△ABC的面积为（ ）
A．6
B．8
C．24
D．48
二、填空题
8．在△ABC 中，已知，c =10，A =45°，C =30°，则S△ABC = ．
9．在△ABC中，AB =5，AC = ❑√5，BC = ❑√10，则△ABC的面积为
．
10．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若A =π
3 ，
a= ❑√7，b=2，则△ABC的面积为 ．
三、解答题
11．已知△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
asin B = ❑√3bcos A．
(1)求角A；
(2)若a= ❑√7，b=2，求边c 及△ABC的面积；
12．记△ABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且
c -2acos
2B =2bcos A cosB．
(1)求B；
(2)设D为AC边的中点，若b=2，BD = 3
2，求△ABC的面积．
9
题型四、射影定理
1．△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
(❑√3b-c)cos A =acosC，则cos A =（ ）
A．1
B．
❑√3
2
C．
❑√3
3
D．❑√3
2．在△ABC中，acos B - 1
2 b=c，则A =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
a-c cos B+bcosC =0，则C =（ ）
A．0°
B．60°
C．90°
D．120°
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
c cos A +acosC =2c，若a=b，则sin B等于（ ）
A．
❑√15
4
B．1
4
C．
❑√3
4
D．
❑√3
2
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，c cos B =(2a-b)cosC，
则角C =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5 π
6
6．在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，若acosB+bcos A =a，
则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰或直角三角形
7．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若
b=3,2acosC +2ccos A =3a，则a=（ ）
A．2
B．3
C．4
3
D．9
2
二、填空题
8．△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC =2acos B -c cos B，
a=1,b= ❑√3，则△ABC的周长为
9．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若
3bcosB =acosC +ccos A，且3b= 4 c，则C = .
10．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
a=b(❑√3sinC +cosC)，则角B= .
