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高三数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C 解析 易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,因为奇函数f(x)在R上是增函数,
且 f(0)=0, 所 以 g(x) 在 (0,+∞) 上 单 调 递 增 。 又 3>log 5.1>2>20.8, 且 a=g(-
2
log 5.1)=g(log 5.1),所以g(3)>g(log 5.1)>g(20.8),即c>a>b。故选C。
2 2 2
2、B 解析 由a为常数知(sin a)'=0,A错误;(sin 2x)'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x,B
正确;(3x)'=3xln
3、A 解析 因为 tan 2θ=-4tan(
θ+
π),即 2tan θ
=−4×
tan θ+1,所以
4 1−tan2θ 1−tan θ
2tan2θ+5tan θ+2=0,解得 tan θ=-1或 tan θ=-2,又 θ∈ (3 ),所以 tan θ∈(-1,0),
π,π
2 4
1
所 以 tan θ=- ,
2
1+sin 2θ sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ tan2θ+2tan θ+1 tan θ+1 1
= = = =
2cos2θ+sin 2θ 2cos2θ+2sin θcos θ 2+2tan θ 2 4
。故选A。
4、D 解析 由射影定理,得 b=acos C+ccos A,代入 2acos C+b=2ccos A,得
√3
3acos C=ccos A,又c=√3a,所以 cos A=cos C ①,由c=√3a及正弦定理,得√3
3
sin A=sin C ②,①2+②2,可得1cos2A+3sin2A=1,即sin A=1,又由①得A∈ ( π),
0,
3 2 2
π
故A= 。故选D。
6
5、C 解析 设圆锥底面圆的半径为r,则圆锥的母线长l=2r,圆柱的母线长等于
圆锥的高h= r,记圆锥和圆柱的侧面积分别为 S ,S ,则S πrl 1 √3。故
√3 1 2 1= = =
S 2πrℎ √3 3
2选C。
6、A 解析
取BD的中点为O,连接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD。又平面ABD⊥平面CBD
且交线为 BD,AO 平面 ABD,所以 AO⊥平面 CBD,又 OC 平面 CBD,则
AO⊥CO。设正方形的对角线长度为 2,如图所示,建立空间直角坐标系,则
⊂ ⊂
A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0), 所 以 ⃗AB=(1,0,-1),⃗CD=(-1,-1,0),cos<⃗AB,
⃗AB·⃗CD −1 1。所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为
⃗CD>= = =−
|⃗AB||⃗CD| √2×√2 2
1
。故选A。
2
cos 300° cos(360°−60°) cos 60° √3
7、D 解析 直线的斜率为 k=- =− = =
sin 300° sin(360°−60°) sin 60° 3
。因为直线倾斜角的取值范围为[0°,180°),所以所求直线的倾斜角为 30°。故选
D。
40
8、B 解析 简单随机抽样中,每个个体被抽到的可能性相等,即 =1%,解得
N
N=4 000。故选B。
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选
项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分。
9、AB 解析 P={x|x2=4}={-2,2},故2∈P,故A,B正确。⌀不是P中的元素,故C
错误。因为-2 N,故D错误。故选AB。
b c
10、BCD 解∉ 析 函数 f(x)=aln x+ + (a≠0)的定义域为(0,+∞),求导得 f'(x)=
x x2
a b 2c ax2−bx−2c,因为函数 f(x)既有极大值也有极小值,则函数 f'(x)在
− − =
x x2 x3 x3(0,+∞)上有两个变号零点,而a≠0,因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x ,x ,于
1 2
Δ=b2+8ac>0,
{
b {b2+8ac>0,
是 x +x = >0, 显然a2bc<0,即bc<0,故选BCD。
1 2 a 即 ab>0,
2c ac<0,
x x =− >0,
1 2 a
nπ
11、ABD 解析 对n=1,2,3,4进行验证,a =2sin 不符合题意,其他均符合。
n
2
故选ABD。
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12、 { x |-7< x <2}
2x+5 2x+5 x+7
解析 <1,即 -1<0,即 <0,解得-70,所以a =1, =1。所以{ }是以 =1为首
1 1 1 a2 n 1 S2 S2 S2
1 1 n 1
项,公差为1的等差数列,所以 =n,S = (n∈N*)。
S2 n √n
n
1 1 1
(ⅱ)数列{a }中不存在连续三项a ,a ,a ,使得 , , 构成等差数列。理由
n k k+1 k+2 a a a
k k+1 k+2
如下:
当n≥2时,a =S -S =√n−√n−1,因为当n=1时,a =1,符合上式,所以a =√n−√n−1
n n n-1 1 n
1 1
(n∈N*),所以 = =√n+√n−1。假设数列{a }中存在连续三项
a √n−√n−1 n
n
1 1 1
a ,a ,a , 使 得 , , 构 成 等 差 数 列 , 则 2(√k+1+√k)=
k k+1 k+2 a a a
k k+1 k+2
√k+√k−1+√k+2+√k+1,即√k+1+√k=√k−1+√k+2,两边同时平方,得 k+1+k+2
√k+1·√k=k−1+k+2+2√k−1·√k+2,所以(k+1)k=(k-1)(k+2)。整理得k2+k=k2+k-2,1
得0=-2,又0≠-2,所以假设错误,所以数列{a }中不存在连续三项a ,a ,a ,使得 ,
n k k+1 k+2 a
k
1 1
, 构成等差数列。
a a
k+1 k+2
19、（本小题满分12分）
解 (1)证明:如图,记AC与BD的交点为O,连接OE。因为O,M分别为AC,EF的
中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE。又
因为OE 平面BDE,AM 平面BDE,所以AM∥平面BDE。
(2)l∥m。证明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM 平面ADM,平面ADM∩平面
⊂ ⊄
BDE=l,所以l∥AM,同理得m∥AM,所以l∥m。
⊂
