高三数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C 解析 易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,因为奇函数f(x)在R上是增函数,
且 f(0)=0, 所 以 g(x) 在 (0,+∞) 上 单 调 递 增 。 又 3>log 5.1>2>20.8, 且 a=g(-
2
log 5.1)=g(log 5.1),所以g(3)>g(log 5.1)>g(20.8),即c>a>b。故选C。
2 2 2
2、B 解析 由a为常数知(sin a)'=0,A错误;(sin 2x)'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x,B
正确;(3x)'=3xln
3、A 解析 因为 tan 2θ=-4tan(
θ+
π),即 2tan θ
=−4×
tan θ+1,所以
4 1−tan2θ 1−tan θ
2tan2θ+5tan θ+2=0,解得 tan θ=-1或 tan θ=-2,又 θ∈ (3 ),所以 tan θ∈(-1,0),
π,π
2 4
1
所 以 tan θ=- ,
2
1+sin 2θ sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ tan2θ+2tan θ+1 tan θ+1 1
= = = =
2cos2θ+sin 2θ 2cos2θ+2sin θcos θ 2+2tan θ 2 4
。故选A。
4、D 解析 由射影定理,得 b=acos C+ccos A,代入 2acos C+b=2ccos A,得
√3
3acos C=ccos A,又c=√3a,所以 cos A=cos C ①,由c=√3a及正弦定理,得√3
3
sin A=sin C ②,①2+②2,可得1cos2A+3sin2A=1,即sin A=1,又由①得A∈ ( π),
0,
3 2 2
π
故A= 。故选D。
6
5、C 解析 设圆锥底面圆的半径为r,则圆锥的母线长l=2r,圆柱的母线长等于
圆锥的高h= r,记圆锥和圆柱的侧面积分别为 S ,S ,则S πrl 1 √3。故
√3 1 2 1= = =
S 2πrℎ √3 3
2选C。
6、A 解析
取BD的中点为O,连接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD。又平面ABD⊥平面CBD
且交线为 BD,AO 平面 ABD,所以 AO⊥平面 CBD,又 OC 平面 CBD,则
AO⊥CO。设正方形的对角线长度为 2,如图所示,建立空间直角坐标系,则
⊂ ⊂
A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0), 所 以 ⃗AB=(1,0,-1),⃗CD=(-1,-1,0),cos<⃗AB,
⃗AB·⃗CD −1 1。所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为
⃗CD>= = =−
|⃗AB||⃗CD| √2×√2 2
1
。故选A。
2
cos 300° cos(360°−60°) cos 60° √3
7、D 解析 直线的斜率为 k=- =− = =
sin 300° sin(360°−60°) sin 60° 3
。因为直线倾斜角的取值范围为[0°,180°),所以所求直线的倾斜角为 30°。故选
D。
40
8、B 解析 简单随机抽样中,每个个体被抽到的可能性相等,即 =1%,解得
N
N=4 000。故选B。
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选
项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分。
9、AB 解析 P={x|x2=4}={-2,2},故2∈P,故A,B正确。⌀不是P中的元素,故C
错误。因为-2 N,故D错误。故选AB。
b c
10、BCD 解∉ 析 函数 f(x)=aln x+ + (a≠0)的定义域为(0,+∞),求导得 f'(x)=
x x2
a b 2c ax2−bx−2c,因为函数 f(x)既有极大值也有极小值,则函数 f'(x)在
− − =
x x2 x3 x3(0,+∞)上有两个变号零点,而a≠0,因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x ,x ,于
1 2
Δ=b2+8ac>0,
{
b {b2+8ac>0,
是 x +x = >0, 显然a2bc<0,即bc<0,故选BCD。
1 2 a 即 ab>0,
2c ac<0,
x x =− >0,
1 2 a
nπ
11、ABD 解析 对n=1,2,3,4进行验证,a =2sin 不符合题意,其他均符合。
n
2
故选ABD。
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12、 { x |-7< x <2}
2x+5 2x+5 x+7
解析 <1,即 -1<0,即 <0,解得-7<x<2,因此不等式的解集为
x−2 x−2 x−2
{x|-7<x<2}。
13、 3n+2
【解析】 由a =3a -4,
n+1 n
可得a -2=3(a -2),
n+1 n
又a =5,所以{a -2}是以a -2=3为首项,3为公比的等比数列,
1 n 1
所以a -2=3n,所以a =3n+2。
n n
【答案】 3n+2
1 3 1 1
14、 解析 因为P,A,B,C四点共面,所以 + +t=1,解得t= 。
8 4 8 8
四、解答题：本题共5小题，共75分
15、（本小题满分12分）
解 (1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,依题意得,当
0<x<8 时 ,L(x)=5x-(1 x2+x ) −3=− 1x2+4x-3; 当 x≥8 时 ,L(x)=5x-
3 31
{− x2+4x−3,0<x<8,
( 100 ) ( 100)。所以L(x)= 3
6x+ −38 −3=35− x+
x x ( 100)
35− x+ ,x≥8。
x
1
(2)当 0<x<8 时,L(x)=- (x-6)2+9。此时,当 x=6 时,L(x)取得最大值,为 9 万元。当
3
x≥8 时,L(x)=35-( 100) √ 100=35-20=15,当且仅当 x=100时等号成立,
x+ ≤35−2 x·
x x x
即x=10时,L(x)取得最大值,为15万元。因为9<15,所以当年产量为10万件时,小
王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元。
16、（本小题满分12分）
解 (1)因为f(x)=sin x+cos x,所以
f( π) ( π) ( π)=cos x-sin x,所以
x+ =sin x+ +cos x+
2 2 2
2 2
y=[ ( π)] =(cos x-sin x)2=1-sin 2x。所以函数y=[ ( π)] 的最小正周期T=
f x+ f x+
2 2
2π
=π。
2
(2)f( π) ( π) ( π) sin x, 所 以 y=f(x)f( π) sin x(sin
x− =sin x− +cos x− =√2 x− =√2
4 4 4 4
x+cos x)= (sin xcos x+sin2x)= (1 1 1) ( π) √2
√2 √2 sin 2x− cos 2x+ =sin 2x− +
2 2 2 4 2
。当 x∈[ π]时,2x-π [ π 3π],所以当 2x-π π,即 x=3π时,函数 y=f(x)f
0, ∈ − , =
2 4 4 4 4 2 8
( x− π) 在 [ 0, π]上取得最大值,且y max =1+√2。
4 2 217、（本小题满分12分）
解 (1)证明:设∠BAD=α,∠BDA=β,则∠CAD=α,∠CDA=π-β。在△ABD和△ACD
AB sin β AC sin(π−β) AB AC AB BD
中分别运用正弦定理,得 = , = ,所以 = ,即 = ,
BD sin α CD sin α BD CD AC CD
又AB=2AC,故BD=2CD,所以BC=3CD。
1 1
(2)设 AB=2AC=2t,所以 AD=AC=t。由 S =S +S ,可得 ·t·2t·sin 2α=
ABC ACD ABD
2 2
△ △ △
1 3
·t·t·sin α+ ·2t·t·sin α,所以4sin αcos α=3sin α。因为sin α≠0,所以cos α= ,所
2 4
1 3√7
以 cos 2α=2cos2α-1= 。 又 0<2α<π, 所 以 sin 2α=√1−cos22α= 。 所 以
8 8
1 3√7 9 9
S =6√7= t·2t·sin 2α= t2,所以 t2=16,故 BC2=t2+4t2-2×t×2t×cos 2α= t2=
ABC
2 8 2 2
△
×16=72,所以BC=6√2。
18、（本小题满分12分）
解 (ⅰ)证明:由 a (2S -a )=1,得(S -S )(S +S )=1(n∈N*,n≥2),所以
n n n n n-1 n n-1 S2−S2
n n−1
=1(n≥2,n∈N*)。又a (2S -a )= =1,a >0,所以a =1, =1。所以{ }是以 =1为首
1 1 1 a2 n 1 S2 S2 S2
1 1 n 1
项,公差为1的等差数列,所以 =n,S = (n∈N*)。
S2 n √n
n
1 1 1
(ⅱ)数列{a }中不存在连续三项a ,a ,a ,使得 , , 构成等差数列。理由
n k k+1 k+2 a a a
k k+1 k+2
如下:
当n≥2时,a =S -S =√n−√n−1,因为当n=1时,a =1,符合上式,所以a =√n−√n−1
n n n-1 1 n
1 1
(n∈N*),所以 = =√n+√n−1。假设数列{a }中存在连续三项
a √n−√n−1 n
n
1 1 1
a ,a ,a , 使 得 , , 构 成 等 差 数 列 , 则 2(√k+1+√k)=
k k+1 k+2 a a a
k k+1 k+2
√k+√k−1+√k+2+√k+1,即√k+1+√k=√k−1+√k+2,两边同时平方,得 k+1+k+2
√k+1·√k=k−1+k+2+2√k−1·√k+2,所以(k+1)k=(k-1)(k+2)。整理得k2+k=k2+k-2,1
得0=-2,又0≠-2,所以假设错误,所以数列{a }中不存在连续三项a ,a ,a ,使得 ,
n k k+1 k+2 a
k
1 1
, 构成等差数列。
a a
k+1 k+2
19、（本小题满分12分）
解 (1)证明:如图,记AC与BD的交点为O,连接OE。因为O,M分别为AC,EF的
中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE。又
因为OE 平面BDE,AM 平面BDE,所以AM∥平面BDE。
(2)l∥m。证明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM 平面ADM,平面ADM∩平面
⊂ ⊄
BDE=l,所以l∥AM,同理得m∥AM,所以l∥m。
⊂
