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2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项符合题目要求的.
2
1. 复数 等于
1-i
A. 1+I B. 1-i C. -1+i D. -1-i
2. 下列命题中的假命题是
A. $xÎR,lgx=0 B. $xÎR,tanx=1
C. "xÎR,x3 >0 D. "xÎR,2x >0
3. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是
^ ^
A. y=-10x+200 B. y=10x+200
^ ^
C. y=-10x-200 D. y=10x-200
ìx=-1-t
4. 极坐标 p=cosq和参数方程í （t为参数）所表示的图形分别是
î y=2+t
A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线
5. 设抛物线y2 =8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
6. 若非零向量a，b满足|a|=|b|,(2a+b)×b=0，则a与b的夹角为
[来源:Zxxk.Com]
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c= 2 a，则
A.a＞b B.a＜b
C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定
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第1页 | 共6页8.函数y=ax2+ bx与y= log x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是
b
| |
a
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应的题号后的
横线上。
9.已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m=
10.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点
的加入量可以是 g
11.在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为 。
12.图1是求实数x的绝对值的算法程序
框图，则判断框①中可填
13.图2中的三个直角三角形是一个体积
为20cm2的几何体的三视图，则h=
cm
第2页 | 共6页14.若不同两点P,Q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-
a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为
,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为 。
[来源:Z+xx+k.Com]
15.若规定E= a a ...a 的子集 a a ...,a 为E的第k个子集，其中k=
1, 2 10 k k k
1 2 n
2k 1 +2k 2 -1+ L +2k n -1 ，则
（1） a ,a 是E的第____个子集；
1, 3
（2）E的第211个子集是_______
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤。
16. （本小题满分12分）
已知函数 f(x)=sin2x-2sin2 x
（I）求函数 f(x)的最小正周期。
(II) 求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时x的集合。
17. （本小题满分12分）
为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组
成研究小组、有关数据见下表（单位：人）
（I） 求x,y ;
（II） 若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。
18.（本小题满分12分）
如图所示，在长方体ABCD-ABC D 中，AB=AD=1，AA =2，M是棱CC 的中点
1 1 1 1 1 1
第3页 | 共6页（Ⅰ）求异面直线A M和C D 所成的角的正切值；
1 1 1
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A B M
1 1 1
19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基
地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面
直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。
（I） 求考察区域边界曲线的方程：
（II） 如图4所示，设线段PP
1 2
是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直
的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一
年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
20.（本小题满分13分）
[来源:学科网]
给出下面的数表序列：
第4页 | 共6页其中表n（n=1,2,3 L ）有n行，第1行的n个数是1,3,5， L2n-
1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广
到表n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12L ，记此数列为
b b b
b
n
求和：
bb
3 +
b b
4 +
L b b
n+2
1 2 2 3 n n+1
[来源:学科网ZXXK]
[来源:Zxxk.Com]
21．（本小题满分13分）
a
已知函数 f(x)= +x+(a-1)lnx+15a,其中a<0,且a≠-1.
x
（Ⅰ）讨论函数 f(x)的单调性；
3 3 2 x
(-2x +3ax +6ax-4a -6a)e ,x£1
g(x) ={
（Ⅱ）设函数
（e是自然数的底数）。
e×f(x),x>1
是否存在a，使g(x)在[a,-
a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
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