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2026 年高考数学三轮临考冲刺卷03（全国一卷通用）
参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
B
A
A
C
D
D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
ACD
BC
ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
##
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
【解析】（1）由正弦定理可得
，因为
，
所以
， （3 分）
所以
. （5 分）
（2）因为
，所以
，
又
所以
，
. （7 分）
所以
，即
，所以
， （9 分）
所以
，解得
，
所以
. （12 分）
因此
，
. （13 分）
16．（15 分）
【解析】(1)由题意知，技术改造前
，
，
优品率为
. （2 分）
技术改造后
，
，
优品率为
.
，
所以该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为
. （5
分）
(2)设
为原有3 个元件正常工作的个数，
， （6 分）
则系统正常工作的概率
， （9 分）
所以该系统的可靠性为
. （11 分）
设
为增加一个元件后，元件正常工作的个数，
，
则系统正常工作的概率
， （13 分）
因为
，
所以该系统增加一个元件，可靠性降低. （15 分）
17．（15 分）
【解析】（1）在等腰梯形
中，
，
，
，
是
的中点，
，
所以四边形
菱形，
， （3 分）
因为平面
平面
，平面
平面
，
又
，
为
的中点，所以
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
， （5 分）
平面
，
平面
，
所以平面
平面
． （6 分）
（2）
由底面
为等腰梯形，如图，取
的中点
，连接
，可得
，以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，
因为
，
，所以
，设
， （8 分）
则
， （10 分）
则
，
，
设平面
的一个法向量
，
则
，令
，得
， （12 分）
因为直线
与平面
所成的角为
，所以
，所以
，即
，
设平面
的一个法向量
，
，
，
则
，令
，得
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
． （14 分）
所以直线
与平面
所成角的余弦值为
． （15 分）
18．（17 分）
【解析】（1）因为
，则
， （2 分）
又
，所以曲线
在点
处的切线方程为
. （4 分）
（2）①令
，
则
， （6 分）
令
，
则
， （7 分）
当
时，
恒成立，所以
在区间
上单调递增，
则
，又
，所以
在区间
恒成立，
所以
在区间
上单调递增，又
，则
，即
. （9 分）
②当
时，
，当且仅当
时取等号，
所以
，
要证
，即证明
，
也即证明
， （10 分）
令
，易知
，
则
， （12 分）
令
，则
，
易知当
时，
恒成立，所以
在区间
上单调递增， （13 分）
又当
时，
，所以
，则
，
所以
在区间
上单调递增， （15 分）
又
，则
，
即
，命题得证. （17 分）
19．（17 分）
【解析】（1）双曲线
的右焦点为
，双曲线
的渐近线方程为
，即
，
所以焦点
到一条渐近线的距离为
， （2 分）
因为点
在双曲线
上，所以
，解得
，
故双曲线
的标准方程为
. （4 分）
（2）①设点
、
，设直线
的方程为
，
因为点
不在直线
上，则
，可得
，
联立
可得
， （5 分）
则
，解得
或
，
由题意可得
，所以
且
，
所以
，
即直线
、
的斜率之和为
. （7 分）
②设
的外接圆方程为
，
则
，
由
代入
，
可得
，
可得
，
同理可得
， （9 分）
所以
、
为关于
的方程
的两根，
又因为
、
为关于
的方程
的两根，
所以方程
与方程
为同解方程，
所以
，解得
， （11 分）
易知点
，即点
，
， （13 分）
所以直线
的方程为
，即
，
当
时，直线
的方程为
，即
，
直线
与
轴的交点为
，不妨取点
，此时
， （15 分）
则
，
故在
轴上存在定点
，使得
为定值
. （17 分）
