文档文本内容
4.3 三角函数的图象与性质
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02 落实主干知识..................................................................................................................................3
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图....................................................................................3
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质........................................................................................3
三、正弦函数的平移和伸缩变换........................................................................................................4
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型..................................................................................................................................6
题型一：五点作图法............................................................................................................................6
题型二：求解对称性与最小正周期....................................................................................................8
题型三：求解单调区间与最值..........................................................................................................10
题型四：求解三角函数解析式.......................................................................................................... 11
题型五：函数的奇偶性......................................................................................................................13
题型六：三角函数图像的平移伸缩..................................................................................................15
题型七：三角函数实际应用问题......................................................................................................17
题型八：最值问题常用方法：三角换元、导数、数形结合..........................................................19
题型九：三角函数性质的综合问题..................................................................................................20
04 好题赏析（一题多解）................................................................................................................22
05 数学思想方法................................................................................................................................23
①数形结合..........................................................................................................................................23
②转化与化归......................................................................................................................................24
③分类讨论..........................................................................................................................................24
06 课时精练（真题、模拟题）........................................................................................................26
基础过关篇..........................................................................................................................................26
能力拓展篇..........................................................................................................................................28
1、能画出三角函数的
象
图
.
2、了解三角函数的周期性、
性、奇偶性、最大
单调
(小)值.
3、借助
象理解正弦函数、余弦函数在
图
上的性
及正切函数在
质
上的性质.
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数
，
的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数
，
的图象中，五个关键点是：
．
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
{x| x∈R ，x≠kπ+ π
2 }
值域
[−1 ，1]
[−1 ，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ−π
2 ，2kπ+ π
2 ]
[−π+2kπ ，2kπ ]
(kπ−π
2 ，kπ+ π
2 )
递减区间
[2kπ+ π
2 ，2kπ+3π
2 ]
[2kπ ，π+2kπ ]
无
对称中心
(kπ ，0)
(kπ+ π
2 ，0)
( kπ
2 ，0)
对称轴方程
直线
x=kπ+ π
2
直线x=kπ
无
三、正弦函数的平移和伸缩变换
函数
的图象可以通过下列两种方式得到：
1、
y=sin x⃗图象左移ϕ y=sin(x+ϕ)⃗横坐标缩短到原来的1
ω 倍y=sin(ωx+ϕ)⃗
纵坐标伸长为原来的A 倍y=Asin(ωx+ϕ)
2、
y=sin x⃗横坐标缩短到原来的1
ω 倍y=sin(ωx)⃗图象左移ϕ
ω y=sin(ωx+ϕ)⃗
纵坐标伸长为原来的A 倍y=Asin(ωx+ϕ)
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：
，
的图
像
定理：
则平移单位为
（注意平移方向）
常用二级结论
y=sin x
y=Asin(ωx+ϕ)
周期
2π
2π
ω
定义域
R
R
最大值
1，当
x=2kπ+ π
2 取得
A，当
x=
2kπ+ π
2 −ϕ
ω
取得
最小值
-1，当
x=2kπ+ 3 π
2 取得
-A，当
x=
2kπ+ 3 π
2 −ϕ
ω
取得
单调增区间
[2kπ−π
2 ,2kπ+ π
2]
[
2kπ−π
2 −ϕ
ω
,
2kπ+ π
2 −ϕ
ω ]
单调减区间
[2kπ+ π
2 ,2kπ+ 3 π
2 ]
[
2kπ+ π
2 −ϕ
ω
,
2kπ+3π
2 −ϕ
ω
]
对称轴
x=kπ+ π
2
x=
kπ+ π
2 −ϕ
ω
对称中心
(kπ ,0)
(
kπ−ϕ
ω
,0)
题型一：五点作图法
【典例1-1】（2025·高一·四川成都·阶段练习）某同学用
五点作图法
画函数
“
”
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
(1)请将上表数据补充完整，并求出函数
的解析式；
(2)若
在
上有两根，求
的取值范围.
(3)若
在
上有两根
，求
【典例1-2】（2025·高一·甘肃武威·开学考试）已知函数
.
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数
在
的图象；
x
0
y
0
2
0
(2)将
图象上所有点向右平行移动
个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
的图象，求
的解析式，并写出曲线
的一个对称中心.
【解题总结】
（1）在正弦函数
，
的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数
，
的图象中，五个关键点是：
．
【变式1-1】（2025·高一·四川成都·阶段练习）已知函数
.
(1)在下列网格纸中利用
五点作图法
作出函数
“
”
的大致图象，要求：列表，描点，连线；
(2)若方程
在
有两个不同的实数根，求
的取值范围.
【变式1-2】（2025·高一·辽宁·期中）已知函数
.
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出
在
上的图象；
0
(2)若函数
为奇函数，求
的值及
的对称轴方程.
题型二：求解对称性与最小正周期
【典例2-1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数
的图象关于点
中心对称，则其
图象的一条对称轴方程可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】（2025·四川巴中·模拟预测）设函数
，对
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数
的周期分别为
，
．
（2）函数
，
的周期均为
（3）函数
的周期均
．
【变式2-1】（2025·高三·河南新乡·开学考试）已知
是函数
的两个极值
点，且
，则
的图象的一个对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2025·高三·全国·专题练习）若函数
的图象的两对称中心间的最
小距离为
，则
等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知函数
的图象关于直线
对称，则
的
取值可以是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式2-4】（2025·高三·全国·专题练习）已知函数
，将
的图象
先向左平移
个单位长度，然后再向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象，若
图象关于
对称，则
为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式2-5】（2025·高三·广东·开学考试）若点
是函数
的图象的一个对称中心，
则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-6】（2025·安徽·模拟预测）若直线
是函数
图象的一条对称轴，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：求解单调区间与最值
【典例3-1】（2025·高三·江西南昌·开学考试）已知函数
，则下列选项中是
的一个
单调递增区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3-2】（2025·高三·全国·专题练习）下列区间中，函数
不单调的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
三角函数的单调性，需将函数
看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复
合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数
的单调区间的确定基本思想是吧
看做是一个整体，
如由
解出
的范围，所得区间即为增区间；
由
解出
的范围，所得区间即为减区间．
若函数
中
，可用诱导公式将函数变为
，则
的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数
的单调性的讨论与以上类似处理即可．
【变式3-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数
在
上单
调，
，若将曲线
向右平移
个单位后恰好关于
轴对称，则正数
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（2025·高三·全国·专题练习）函数
的部分图象如图所示，则
的单调递
减区间为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式3-3】（2025·高一·全国·课后作业）函数
的（ ）
A．单调递增区间是
B．单调递减区间是
C．单调递减区间是
D．单调递增区间是
题型四：求解三角函数解析式
【典例4-1】（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数
来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
成中心对称
B．函数
的解析式可以为
C．函数
在
上的值域为
D．若把
图象上所有点向右平移
个单位，则所得函数是
【典例4-2】（2025·广东广州·模拟预测）将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2 倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移
个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
根据函数必关于
轴对称，在三角函数中联想到
的模型，从图象、对称轴、对称中心、最
值点或单调性来求解．
【变式4-1】（2025·陕西渭南·模拟预测）函数
的图象如图所示
.将
的图象向右平移2 个单位长度，得到函数
的图象，则
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）将函数
的图象的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），
然后再向左平移
个单位长度，得到函数
的部分图象如图所示，
则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2025·四川攀枝花·二模）函数
的部分图象如图所示，
则将
的图象向右平移
个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数
的部分图象，将
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，再将所得曲线向左平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：函数的奇偶性
【典例5-1】（2025·河北邯郸·一模）若函数
为偶函数，则
取得最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5-2】（2025·高三·天津红桥·开学考试）函数
， 将其图象向左平移
个单位长度
得到函数
的图象，且函数
的图象关于
轴对称，若
是使变换成立的最小正值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
由
是奇函数和
是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若
为奇函数，则
；
（2）若
为偶函数，则
；
（3）若
为奇函数，则
；
（4）若
为偶函数，则
；
若
为奇函数，则
，该函数不可能为偶函数．
【变式5-1】（2025·高三·江西·阶段练习）已知函数
是奇函数，且
是
的一
个极值点，记
的最小正周期为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·湖南湘潭·一模）将函数
的图象向左平移
个单位长度后
得到函数
的图象，若
为奇函数，则实数φ 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2025·高三·江苏镇江·开学考试）若函数
为奇函数，则下列能满
足条件的
取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-4】（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数
的图象与直线
的两
个相邻交点之间的距离为
，且
为奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-5】（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位，
得到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
题型六：三角函数图像的平移伸缩
【典例6-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知函数
，
分别为
的图象两条
相邻对称轴上的动点，向量
，
，为得到函数
的图象，需要将
的图象（ ）
A．先向右平移
个单位长度，再向上平移3 个单位长度
B．先向右平移
个单位长度，再向上平移3 个单位长度
C．先向右平移
个单位长度，再向下平移3 个单位长度
D．先向右平移
个单位长度，再向上平移3 个单位长度
【典例6-2】（2025·高三·山东青岛·开学考试）为了得到函数
的图象，只要把函数
的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2 倍，向左平移
个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的2 倍，向右平移
个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的
，向左平移
个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标缩短到原来的
，向右平移
个单位长度，纵坐标不变
【解题总结】
函数
的图象可以通过下列两种方式得到：
1、
y=sin x⃗图象左移ϕ y=sin(x+ϕ)⃗横坐标缩短到原来的1
ω 倍y=sin(ωx+ϕ)⃗
纵坐标伸长为原来的A 倍y=Asin(ωx+ϕ)
2、
y=sin x⃗横坐标缩短到原来的1
ω 倍y=sin(ωx)⃗图象左移ϕ
ω y=sin(ωx+ϕ)⃗
纵坐标伸长为原来的A 倍y=Asin(ωx+ϕ)
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：
，
的图
像
定理：
则平移单位为
（注意平移方向）
【变式6-1】（2025·高三·福建·开学考试）为了得到函数
的图象，只需把函数
图象上所有的点（ ）
A．向右平移1 个单位长度
B．向左平移1 个单位长度
C．向上平移1 个单位长度
D．向下平移1 个单位长度
【变式6-2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数
，下列变换与“
变换到
不相同的是（
”
）
A．
变换到
B．
变换到
C．
变换到
D．
变换到
【变式6-3】（2025·高三·全国·专题练习）将
的图象按向量
平移，则平移后
所得图象的函数解析式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式6-4】（2025·高一·全国·课后作业）要得到函数
的图象，只需将函数
的图
象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
题型七：三角函数实际应用问题
【典例7-1】（2025·广西河池·二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常
特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑
师埃菲尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：
，这个方程中，
代表一个
给定的角度，
则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的
高度
（这里的
高度
是方程用于模拟铁塔形状时
“
”
“
”
的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大
高度
值为（
“
”
）
A．
B．
C．
D．2
【典例7-2】（2025·高一·四川德阳·阶段练习）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O 到水面的距离为
1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为
，
与水平正方向的夹角为
．若筒车以角速度
沿逆时针方向转动，t 为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点
所需的时间（单位：min），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
以三角函数的图像和性质作为命题背景，解决实际生活中的数学问题，创新性比较强，体现数形结合
和建模思想.一般以三角函数的最值为常考点，也考查三角形相关的周长和面积等问题.
【变式7-1】（2025·高一·上海·期中）某公园拟修建一条坡道，坡道的底端在水平面上，顶端距离水平面4
米，假设坡道（不计宽度）是直线段，其所在直线与水平面所成角为
，游客上坡时，每行走1 米的
体
“
力消耗
为
”
.若要使游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗最小.高一的小张、小王、小赵、小
李四位同学分别通过计算对角度
提出近似值，则四人提出的近似值中体力消耗最少的是（ ）
A．小赵：
；
B．小王：
；
C．小李：
；
D．小张：
；
【变式7-2】（2025·高一·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h 的海水水位
（单位：m）随时间
（单位：
）的变化近似满足关系式
，若一天中最高水位为
14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m 的时长为（ ）
A．12h
B．14h
C．16h
D．18h
【变式7-3】（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）
古典正弦
定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心
“
”
角
的范围为
时，其所对的
古典正弦
为
“
”
（
为
的中点）．根据以上信息，当圆心
角
对应弧长
时，
的
古典正弦
值为（
“
”
）
A．
B．
C．
D．
【变式7-4】（2025·高三·山西·期末）天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10 世纪的科学家比
鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半
径的方法：先用边长带有刻度的正方形
测得一座山的高
（如图1），再于山顶T 处悬一个直
径为
且可以转动的圆环（如图2），从山顶T 处观测地平线上的一点I，测得
且
，
由此可以算得地球的半径
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-5】（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，摩天轮上一点
在时刻距离地面的高度满足
，已知某摩天轮的半径为
米，点
距地面的高度为
米，
摩天轮做匀速运动，每
分钟转一圈，点
的起始位置在摩天轮的最低点，则
（米）关于（分钟）的
解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：最值问题常用方法：三角换元、导数、数形结合
【典例8-1】（2025·高三·全国·开学考试）已知
，
，则
的
最小值为 .
【典例8-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知
，则
的最大值为
【解题总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型
处理．
（1）
，设
，化为一次函数
在
上的最值求解．
（2）
，引入辅助角
，化为
，求解方法同类
型（1）
（3）
，设
，化为二次函数
在闭区间
上的最值求
解，也可以是
或
型．
（4）
，设
，则
，故
，故原函数化为二次函数
在闭区间
上的最值求解．
（5）
与
，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式
法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于
或
的函数求解释务必注意
或
的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
【变式8-1】（2025·高三·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
在区间
上既有最大值，也有最
小值，则实数
的取值范围为 ．
【变式8-2】（2025·高三·北京·开学考试）若函数
的最小值为
，则常数
的一个
取值为 ．
【变式8-3】（2025·安徽·模拟预测）在
中，若
，则
的取值范围为
.
【变式8-4】（2025·高一·全国·专题练习）函数
，
，
最小值为
．
【变式8-5】（2025·高三·湖南常德·期末）已知
，则函数
的最小值
为 ．
题型九：三角函数性质的综合问题
【典例9-1】（多选题）（2025·高三·陕西西安·开学考试）已知
，其中
，
则下列说法正确的是（ ）
A．函数
可能有两个零点
B．函数
可能有三个零点
C．函数
可能有四个零点
D．函数
可能有五个零点
【典例9-2】（多选题）（2025·高三·辽宁沈阳·阶段练习）设函数
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
，
在
上单调递减
B．若
且
，则
C．若
在
上有且仅有2 个不同的解，则
的取值范围为
D．存在
，使得
的图象向右平移
个单位长度后得到的函数为奇函数
【解题总结】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性
奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数
为奇函数；若函数图像关于
轴
对称，则函数
为偶函数）；对称性
周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是
；相邻的对称中心
之间的距离为
；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为
）；对称性
单调性（在相邻的对称轴之间，
函数
单调，特殊的，若
，函数
在
上单调，且
，设
，则
深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
【变式9-1】（多选题）（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是
的对称轴
B．
是
的周期
C．
在区间
上单调递减
D．
的最大值为2
【变式9-2】（多选题）（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
在定义域内是增函数
B．
的最小正周期为
C．函数的定义域是
D．
是
图象的一个对称中心
【变式9-3】（多选题）（2025·高三·贵州·开学考试）已知函数
的最小正周期为
，
则（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．
的图象关于直线
对称
【变式9-4】（多选题）（2025·高三·河南安阳·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
是周期函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值域为
D．当
在
上有2 个不同的实根
时，
的取值范围是
1．（2024 年新课标全国
卷数学真题）设函数
Ⅱ
，
，当
时，曲
线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（2025 年高考全国一卷数学真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
①数形结合
1．设函数
在
，
]的图像大致如下图，则
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
在区间
上有且仅有4 个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，若
在区间
上单调，在
处取得最大值，
且
将曲线
向左平移1 个单位长度，得到曲线
，则函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
②转化与化归
4．已知函数
的极值点与
的零点完全相同，则
A．
B．
C．1
D．2
5．将函数
的图像向左平移
个单位长度后得到曲线C，若C 关于y 轴对称，
则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
6．设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，则
的最小值为
A．8
B．6
C．4
D．3
③分类讨论
7 ．已知函数
的部分图象，如图所示，则满足条件
的最小正整数x 为 ．
8 ．若定义在R 上的函数
满足
，则
的最大值
是 ．
9．若函数
在
上恰有3 个零点，则符合条件的m 的个
数为 ．
基础过关篇
1．（2025 年高考北京卷数学真题）设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
2．（2025 年高考天津卷数学真题）
，在
上单调递增，且
为它的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
3．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知点
是函数
的图象的一个对称中心，
则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 年新课标全国
卷数学真题）当
Ⅰ
时，曲线
与
的交点个数为
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
5．（2024 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））下列函数的最小正周期是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 年北京高考数学真题）设函数
.已知
，
，且
的最
小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2024 年天津高考数学真题）已知函数
的最小正周期为
．则
在区间
上的最小值是（ ）
A．
B．
C．0
D．
8．（2024 年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知
，函数
在区间
上最小值为
，在区间
上的最小值为
变化时，下列不可能的是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
10．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．（2023 年天津高考数学真题）已知函数
的图象关于直线
对称，且
的一个周期为
4，则
的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（多选题）（2024 年新课标全国
卷数学真题）对于函数
Ⅱ
和
，下列说法
中正确的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
13．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））函数
在
上的值域为 ．
14．（2024 年北京高考数学真题）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关
于原点对称.若
，则
的最大值为 ．
15．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）函数
在
上的最大值是 ．
16．（2023 年北京高考数学真题）已知命题
若
为第一象限角，且
，则
．能说明
p 为假命题的一组
的值为
，
．
17．（2023 年新课标全国
卷数学真题）已知函数
Ⅱ
，如图A，B 是直线
与曲线
的两个交点，若
，则
．
18．（2025 年高考全国二卷数学真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
能力拓展篇
1．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
2．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
在区间
单调递增，
直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知函数
的最小正周期为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
4．（2025·湖北黄冈·一模）高斯是德国著名数学家，享有
数学王子
的称号．
“
”
称为高斯函数，
其中，
表示不超过
的最大整数，例如
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上单调递增
B．
C．若
，则
的值域为
D．若
，则
的值域为
5．（2025·河北·一模）将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到的图象
关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·福建三明·模拟预测）已知函数
部分图象如图所示，其中
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
7．（2025·全国·模拟预测）若直线
与曲线
从左往右仅相交于
三点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·全国·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得图象关于
原点对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数
为偶函数，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（多选题）（2025·河北唐山·模拟预测）已知曲线
，曲线
，则
（ ）
A．曲线
和
存在相同的对称轴
B．曲线
和
存在相同的对称中心
C．曲线
上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，
可得到曲线
D．把曲线
向左平移
个单位长度，得到的曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，可得到曲线
12．（多选题）（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的图象可由
图象向左平移
个单位得到
B．直线
是函数
图象的一条对称轴
C．函数
的单调递增区间为
D．直线
与函数
在
上的图象恰有7 个交点
13．（多选题）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是
的一个周期
B．
在区间
上单调递减
C．
是奇函数
D．
在区间
上恰有2 个极值点
14．（多选题）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．当
最小时，
B．
的图象关于直线
对称
C．不等式
的解集为
D．若
在
上有三个零点，则
15．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为
奇函数，则
的最大值为 ．
16．（2025·广东·一模）设函数
，则
在
上的零
点个数是 ．
17．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角
，
满足
，则
的最小值
为 .
18．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数
的最小正周期为
．
(1)求
的值；
(2)将函数
的图象先向左平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象，
若
在区间
上有且仅有3 个零点，求
的取值范围．
19．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间及在
上的值域；
(2)若
为锐角且
，求
的值.
20．（2023 年北京高考数学真题）设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
