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专题10 函数的零点问题（一题多变）
【典例展示】设函数
．
（1）若
，则
的最小值为______．
（2）若
恰有2 个零点，则实数a 的取值范围是______．
【思路分析】 本题中
在
上是指数型函数．在
上是二次函
数，第（1）问求函数的最值，需分类讨论；第（2）问，根据零点个数求参数，
须分
，
两种情况加以讨论，通过验证来实现对x 的取值范围的讨论．
【精细解析】（1）当
时，
，
当
时，
，无最小值；
当
时，
．
由二次函数的性质知，
时，
的最小值为
，
∴
的最小值为
．
（2）当
时，
无解，
有两解，分别为a 与
，但均小于
1，不合题意，故
时不成立；
当
时，
有解
，
有解
或
，
要使
恰有2 个零点，需3 个根中有1 个不合题意，只有
或
．解得
或
．
综上，实数a 的取值范围是
．
【题后反思】
本例是分段函数最值和零点问题的探求．由于分段函数是定义域内不同区间内对应关系不
同的函数，解题时要把握分类讨论的基本思想．在下面的变式及训练题中，将围绕函数零
点问题：求零点（和、范围）、求零点个数、根据零点情况求参数（范围）展开.
【追根溯源】
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0 成立的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0 有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
2．函数零点的判定定理
条件
结论
函数y＝f(x)在[a，b]上
y＝f(x)在(a，b)内有零点
(1)图象是连续不断的曲线
(2)f(a)f(b）＜0
3．确定函数
零点所在区间的常用方法
函数的零点、方程的根、函数图像与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的3 种不同
表达形式．确定零点、方程根、函数图像与x 轴交点所在区间本质上是同一问题的不同表
述形式，所以常用解法有3 种．①解方程法；②利用函数零点的存在性定理；③数形结合
法．
同样，判断函数零点个数也是这3 种方法．
4．判断函数零点个数的主要方法：
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x 轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
5.已知函数有零点（方程有根），求参数取值常用的方法
（1）直接法．直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分离参数法．先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决．
（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数
形结合求解．
（4）导数法
【变化角度】变具体含参分段函数为具体函数，根据新含参函数零点个数求参数.
已知函数
，若函数
恰有4 个零点，则实数a 的取值
范围为______．
【思路分析】根据函数
可化为
=a|x|，分段函数
涉及一次、二次函数，其图象易于绘制，因此，利用数形结合思
想，画出
的图像与
d 的图象；对于“临界”处，应用代数方法探究.
【详解】画出函数
的图像如图所示．
函数
有4 个零点，
即函数
的图像与函数
的图像有4 个交点（根据图像知
）．
当
时，函数
的图像与函数
的图像有3 个交点，故
．
当
与
相切时，
在整个定义域内，
的图像与
的图像有5 个交点．
此时，由
得
．
由
得
，解得
或
（舍去）．
则当
时，两个函数图像有4 个交点，故实数a 的取值范围是
．
【变换角度】变根据含参函数零点个数求参数，为函数在区间存在零点求参数范围.
设函数
，若存在实数
，使得对任意不为零的实数a，b 均有
成立，则t 的取值范围是______．
【思路分析】本题可以有两种思路．①运用零点存在性定理求解；②运用数形结合求解，
画出函数
及y=a+b 的图象.
【详解】解法一（零点存在性定理）
由题意
在区间
上对于任意的
，
均有解．
故
在
上对于任意的
，
均有零点．
∵
，
．故
；
ⅰ．若
，则t 一定要大于1；
ⅱ．若
，则
．
故
在区间
上必有零点．
由零点存在性定理可得
．
解法二（一“定”一“动”，数形结合）
∵
在区间
上对于任意的
，
有解，
即
在区间
上对于任意以
，
均有解．
即
与
在区间
上有交点，如图所示，
故
．
【变换角度】给出两个含参数的函数，变换问题的提法，将两函数图象的交点问题，转化
成根据零点情况求参数.
（2024·全国·高考真题）设函数
，
，当
时，曲
线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．2
【思路分析】思路一：令
，分析可知曲线
与
恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验
即可；思路二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称
性可知
的零点只能为0，即可得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
【变换角度】变根据含参函数零点个数求参数，为探究函数零点个数.
（2024·浙江温州·三模）已知函数
，则关于
方程
的根个数不可能是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【思路分析】将原问题转化为直线
与函数
的图象交点的个数，作出
的图象，分
、
、
三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数
的图象，如图所示：
将原问题转化为直线
（过定点
）与函数
的图象交点的个数，
由图可知，当
时，直线
与函数
的图象只有一个交点；
当
时，直线
与函数
的图象没有交点；
当
时，直线
与函数
的图象有三个交点；
所以直线
与函数
的图象不可能有两个交点．
故选：C．
（23-24 高一上·广东湛江·期中）
1．设
，若关于x 的方程
有三个不同的实数根，则实数t
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出函数
的图象，由题意可得
或
，
的图象与直线
共有三个不同的交点，从而可求出实数t 的取值范围.
【详解】由
得
或
，作出函数
的图象，
易知当
时，不符合题意；
当
时，
，结合函数
的图象知，要使方程
有三个不同的
解，需满足方程
有两个解，方程
有且只有一个解，
由图象知
，所以
．
故选：C．
（23-24 高一下·广东东莞·期中）
2．已知函数
，函数
有四个不同的零点
，
，
，
且
，
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的图象特征可得
，再由对数的运算性质得
，然后代入
可求得结果.
【详解】
的图象如图所示，
因为
的图象关于直线
对称，且函数
有四个不同的零点
，
，
，
所以
，
，
所以
，
因为
，
所以
，得
，
即实数
的取值范围为
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是画出函数图象，结
合图象求解，考查数形结合的思想，属于中档题.
（23-24 高三下·上海·期中）
3．已知
，且
，则函数
的零点为 .
【答案】3
【分析】令
，分
和
两种情况，解方程可得答案.
【详解】因为
，则
，所以
，
令
，则
，
当
时，
，令
，解得：
；
当
，
，令
，解得：
(舍去)，
故函数
的零点为
故答案为：3
（23-24 高二下·上海·期中）
4．已知函数
，
，若存在实数
使
在
上有2 个零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意可知：原题意等价于
与
在
内有2 个
交点，求
在
处的切线方程，结合图象分析求解.
【详解】令
，可得
，
原题意等价于
与
在
内有2 个交点，
且
，
的横截距为
，
因为
，则
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
则切线方程为
，即
，
即
在
处的切线方程为
，该切线的横截距为
，
结合图象可知：若
与
在
内有2 个交点，
则
，即
的取值范围为
.
故答案为：
.
（2024·江苏徐州·模拟预测）
5．若函数
有两个零点，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a 分类讨论并结合函数图象即可求解.
【详解】①当
时，
，由于
时
，
时
，
此时
只有一个零点，所以
不符合题意；
②当
时，
，函数
的大概图象如图所示，
，
由于
时，
，
时，
，当且仅当
，即
时取等号，
此时在
上有
，要使
有两个零点，只需
，
即
；
③当
时，
，函数
的大概图象如图所示，
，
由于函数
在
上是增函数，
故与x
轴有且只有一个交点，
要使
有两个零点，只需函数
有一个零点即可，
当
时，
恰好只有一个零点.
综上所述，实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
（2024 高二上·福建·学业考试）
6．已知函数
且
．
(1)求实数a 的值；
(2)若函数
在
上恰有两个零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分段函数解析式代入计算可得；
（2）由（1）可得
的解析式，即可分析函数在各段的单调性与取值范围，再画出
的图象，依题意函数
与
在
上恰有两个交点，数形结合即可求出参数
的取值范围.
【详解】（1）因为
且
，
所以
，解得
；
（2）由（1）可得
，
当
时
，函数
在
上单调递减，且
；
当
时
，则
在
上单调递增，
在
上单调递减，且
，
，即
；
所以
的图象如下所示：
因为函数
在
上恰有两个零点，
即函数
与
在
上恰有两个交点，
由图可知
或
，即实数
的取值范围为
.
