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强化训练 2 函数与方程中的综合问题
1．下列函数中，不能用二分法求函数零点的有( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝log x D．f(x)＝ex－2
4
答案 B
解析 f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，
当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，
在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，
其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．
2．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间(－2,4)上的零点必定在区间( )
A．(－2,1)内 B.内
C.内 D.内
答案 D
解析 ∵f(－2)＝－28<0，f(4)＝38>0，
且f ＝f(1)＝－4<0，∴零点在(1,4)内．
又f ＝f ＝>0，∴零点在区间内．
又f ＝f <0，∴零点在区间内．
3．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x，若有f(m)＝g(n)，则n的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 由f(x)＝ex>0，f(m)＝g(n)，
则g(n)＝ln n>0，∴n>1.
4．若函数f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，则a的取值范围是(
)
A．(0,3) B．[0,3]
C．(－3,0) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
答案 A
解析 ∵f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，
∴即
解得00，
∴函数f(x)的零点a∈(0,1)，
又函数g(x)的零点b＝1，∴00，则方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正根，
又两根的积为4，
∴解得a≤－8.
9．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数解a，b，c(a－1时，函数f(x)和函数y＝－x－a的图象有两个不同的交点，即方程f(x)＝－x－a
有两个不同实根．11．求证：方程3x＋4x＝5x只有一个实数解．
证明 要证方程3x＋4x＝5x只有一个实数解，
即证x＋x＝1只有一个实数解，
即证f(x)＝x＋x－1有唯一零点．
∵f(0)＝0＋0－1＝1>0，
f(3)＝3＋3－1＝－<0，
∴f(0)f(3)<0，∴f(x)在(0,3)上有零点．
又f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在(0,3)上有唯一零点，
即f(x)在R上有唯一零点，即方程3x＋4x＝5x只有一个实数解．
12．设函数f(x)＝log (x＋m)(m∈R)．
2
(1)当m＝2时，解不等式f <1；
(2)若m＝10，且关于x的方程f(x)＝x＋λ在[－2,6]上有实数解，求实数λ的取值范围．
解 (1)由题意，知log <1，则
2
解得故x<－，
所以原不等式的解集为.
(2)log (x＋10)＝x＋λ，
2
即λ＝log (x＋10)－x在[－2,6]上有实数解，
2
设g(x)＝log (x＋10)－x，
2
因为g(x)在[－2,6]上单调递增，
所以当x＝－2时，λ ＝1；当x＝6时，λ ＝.
min max
所以实数λ的取值范围是.
13．四个函数f(x)＝10x，g(x)＝x，h(x)＝lg x，φ(x)＝ ，方程f(x)＝φ(x)，g(x)＝φ(x)，
g(x)＝h(x)的实数根分别为a，b，c，则( )
A．a1时，f(u)＝|ln(u－1)|＝1，
即ln(u－1)＝±1，解得u＝1＋，u＝1＋e.
2 3
如图所示，直线u＝1，u＝1＋，u＝1＋e与函数u＝f(x)的交点个数分别为3,2,2，
所以方程f(f(x))＝1的根的个数为3＋2＋2＝7.
16．已知函数f(x)＝x2＋ax＋，g(x)＝－ln x.
(1)若∀x∈R，f(x)≥0，求实数a的取值范围；
(2)用min{m，n}表示m，n中的较小者．设h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，若h(x)有三个零点，
求实数a的取值范围．
解 (1)根据题意知x2＋ax＋≥0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝a2－4×≤0，解得－1≤a≤1.
(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，
所以h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，
所以h(x)在(1，＋∞)上无零点；
所以h(x)在(0,1]上有三个零点，
f(1)＝＋a，g(1)＝0，
当f(1)≥g(1)时，＋a≥0，得a≥－，
所以h(1)＝g(1)＝0，所以1是h(x)的一个零点；
当f(1)0，
由题意可知，1是h(x)的一个零点，且f(x)＝x2＋ax＋在(0,1)上有两个零点，
所以a≥－，且
解得－
