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强化训练 2 函数与方程中的综合问题
1．下列函数中，不能用二分法求函数零点的有( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝log x D．f(x)＝ex－2
4
答案 B
解析 f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，
当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，
在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，
其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．
2．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间(－2,4)上的零点必定在区间( )
A．(－2,1)内 B.内
C.内 D.内
答案 D
解析 ∵f(－2)＝－28<0，f(4)＝38>0，
且f ＝f(1)＝－4<0，∴零点在(1,4)内．
又f ＝f ＝>0，∴零点在区间内．
又f ＝f <0，∴零点在区间内．
3．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x，若有f(m)＝g(n)，则n的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 由f(x)＝ex>0，f(m)＝g(n)，
则g(n)＝ln n>0，∴n>1.
4．若函数f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，则a的取值范围是(
)
A．(0,3) B．[0,3]
C．(－3,0) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
答案 A
解析 ∵f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，
∴即
解得0<a<3.
5．已知函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x的零点为b，则下列不等式中成立的是( )
A．f(a)<f(a＋b)<f(b)
B．f(a＋b)<f(a)<f(b)
C．f(a)<f(b)<f(a＋b)
D．f(b)<f(a＋b)<f(a)
答案 C
解析 由题意可知函数f(x)在R上单调递增，
f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴函数f(x)的零点a∈(0,1)，
又函数g(x)的零点b＝1，∴0<a<b<a＋b，
∴f(a)<f(b)<f(a＋b)．
6．(多选)设函数f(x)＝－ln|ax|(a＞0)，若f(x)有4个零点，则a的可能取值有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 BCD
解析 ①当a＝1时，f(x)＝－ln|x|，函数f(x)是偶函数，
当x＞0时，f(x)＝－ln x，f′(x)＝－＝，f(x)在(0，)上递减，在(，＋∞)上递增，
f(x) ＝f()＝0，x＞0时，有一个交点，所以f(x)共有2个零点，故不成立，
min
②当a＝2时，当x＞0时，f(x)＝－ln 2x，f′(x)＝－＝＝，
f(x)在上递减，在上递增，
f(x) ＝f ＝(1－ln 2e)＜0有两个交点，
min
所以共有4个零点，故成立，
同理可得a＝3，a＝4时成立．
7．方程2x＋x＝2的解所在的区间是(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
答案 0
解析 由题意得2x＋x－2＝0，
设f(x)＝2x＋x－2，
所以f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋1－2＝1，
所以f(0)f(1)<0，
又函数f(x)是R上的连续函数，
所以由零点存在性定理，得方程2x＋x＝2的解所在的区间是(0,1)．
故k＝0.
8．若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－8]
解析 方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，令t＝3x>0，则方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正根，
又两根的积为4，
∴解得a≤－8.
9．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数解a，b，c(a<b<c)，则(a＋b)c
的取值范围是________．
答案
解析 画出f(x)的图象．
所以方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数解a，b，c(a<b<c)，
可知m的取值范围为(0,1]，
由题意可知a＋b＝－2,0<ln c＋1≤1，
所以<c≤1，
所以－2≤(a＋b)c<－.
10．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝－x－a有两个不同的实数根，则实数 a的取值范围为
________．
答案 (－1，＋∞)
解析 当x≥0时，f(x)＝2x－1，
当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1－1，
当－2≤x<－1时，f(x)＝2x＋2－1，
画出函数f(x)的图象，如图：
因为方程f(x)＝－x－a有两个不同的实根，
所以函数f(x)和函数y＝－x－a的图象有两个不同的交点．
由直线y＝－x－a过点(0,1)，得a＝－1；
由直线y＝－x－a过点(0,0)，得a＝0；
由直线y＝－x－a过点(－1,0)，得a＝1；
而函数f(x)不过点(0,1)，(－1,1)，(－2,1)，
因此当a>－1时，函数f(x)和函数y＝－x－a的图象有两个不同的交点，即方程f(x)＝－x－a
有两个不同实根．11．求证：方程3x＋4x＝5x只有一个实数解．
证明 要证方程3x＋4x＝5x只有一个实数解，
即证x＋x＝1只有一个实数解，
即证f(x)＝x＋x－1有唯一零点．
∵f(0)＝0＋0－1＝1>0，
f(3)＝3＋3－1＝－<0，
∴f(0)f(3)<0，∴f(x)在(0,3)上有零点．
又f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在(0,3)上有唯一零点，
即f(x)在R上有唯一零点，即方程3x＋4x＝5x只有一个实数解．
12．设函数f(x)＝log (x＋m)(m∈R)．
2
(1)当m＝2时，解不等式f <1；
(2)若m＝10，且关于x的方程f(x)＝x＋λ在[－2,6]上有实数解，求实数λ的取值范围．
解 (1)由题意，知log <1，则
2
解得故x<－，
所以原不等式的解集为.
(2)log (x＋10)＝x＋λ，
2
即λ＝log (x＋10)－x在[－2,6]上有实数解，
2
设g(x)＝log (x＋10)－x，
2
因为g(x)在[－2,6]上单调递增，
所以当x＝－2时，λ ＝1；当x＝6时，λ ＝.
min max
所以实数λ的取值范围是.
13．四个函数f(x)＝10x，g(x)＝x，h(x)＝lg x，φ(x)＝ ，方程f(x)＝φ(x)，g(x)＝φ(x)，
g(x)＝h(x)的实数根分别为a，b，c，则( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
答案 A
解析 如图，画出四个函数的图象，由图可知，a<b<c.14．函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－2≤x≤4)的所有零点之和为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
答案 B
解析 令f(x)＝0，可得|x－1|＝－2cos πx，
令g(x)＝|x－1|，h(x)＝－2cos πx，
则g(x)＝
∵g(2－x)＝|2－x－1|＝|1－x|＝|x－1|＝g(x)，
h(2－x)＝－2cos(2π－πx)＝－2cos πx＝h(x)，
∴函数y＝g(x)和y＝h(x)的图象都关于直线x＝1对称，作出这两个函数在区间[－2,4]上的图
象如图所示．
由图象可知，函数y＝g(x)和y＝h(x)在区间[－2,4]上的图象共有6个交点，有3对关于直线x
＝1对称，
因此，函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－2≤x≤4)的所有零点之和为3×2＝6.
15．已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝1根的个数为( )
A．3 B．5 C．7 D．9
答案 C
解析 令u＝f(x)，先解方程f(u)＝1.
(1)当u≤1时，f(u)＝2u－1＝1，得u＝1；
1
(2)当u>1时，f(u)＝|ln(u－1)|＝1，
即ln(u－1)＝±1，解得u＝1＋，u＝1＋e.
2 3
如图所示，直线u＝1，u＝1＋，u＝1＋e与函数u＝f(x)的交点个数分别为3,2,2，
所以方程f(f(x))＝1的根的个数为3＋2＋2＝7.
16．已知函数f(x)＝x2＋ax＋，g(x)＝－ln x.
(1)若∀x∈R，f(x)≥0，求实数a的取值范围；
(2)用min{m，n}表示m，n中的较小者．设h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，若h(x)有三个零点，
求实数a的取值范围．
解 (1)根据题意知x2＋ax＋≥0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝a2－4×≤0，解得－1≤a≤1.
(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，
所以h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，
所以h(x)在(1，＋∞)上无零点；
所以h(x)在(0,1]上有三个零点，
f(1)＝＋a，g(1)＝0，
当f(1)≥g(1)时，＋a≥0，得a≥－，
所以h(1)＝g(1)＝0，所以1是h(x)的一个零点；
当f(1)<g(1)时，a<－，
所以h(1)＝f(1)<0，所以1不是h(x)的一个零点；
当x∈(0,1)时，g(x)＝－ln x>0，
由题意可知，1是h(x)的一个零点，且f(x)＝x2＋ax＋在(0,1)上有两个零点，
所以a≥－，且
解得－<a<－1.
综上所述，若h(x)有三个零点，
则a的取值范围是.
