5.2 余弦定理（讲义）
目录
1
知识点01 余弦定理....................................................................................2
2
题型一、余弦定理解三角形.....................................................................2
3
题型二、余弦定理的边角互化.................................................................6
1 知识点01 余弦定理
余弦定理：在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC
外接圆半径，则
定理
余弦定理
公式
a
2=b
2+c
2-2bc cos A；
b
2=c
2+a
2-2accosB；
c
2=a
2+b
2-2abcosC．
常见变形
cosA = b
2+c
2-a
2
2bc
；
cosB = c
2+a
2-b
2
2ac
；
cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
．
2 题型一、余弦定理解三角形
1．在△ABC中，若b
2+c
2-a
2= ❑√3bc，则A =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】A
【分析】利用余弦定理代入计算即可.
【详解】由余弦定理可知cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
=
❑√3bc
2bc =
❑√3
2 ，
又因为A ∈(0,π)，所以可得A =π
6 .
故选：A
2．在△ABC中，AB =2, AC =3,cos A = 3
4，则cosB =（ ）
A．1
8
B．- 1
8
C．1
9
D．- 1
9
【答案】B
【分析】首先利用余弦定理求出BC的长度，再根据余弦定理求出cos B的值.
【详解】在△ABC中，AB =2, AC =3,cos A = 3
4；
由余弦定理BC
2= A B
2+ A C
2-2 AB·AC·cos A，解得BC =2.
再根据余弦定理cos B = A B
2+ BC
2- A C
2
2 AB·BC
，解得cos B =- 1
8.
故选：B.
3．在△ABC中，已知a:b:c =3:5:7，则这个三角形的最大角的弧度数为
（ ）
A．5π
6
B．2π
3
C．π
3
D．120°
【答案】B
【分析】根据大边对大角判断最大角，利用余弦定理求解.
【详解】由a:b:c =3:5:7，令a=3k ,b=5k ,c =7 k (k >0)，
∴cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
= 9k
2+25k
2- 49k
2
2×3k ×5k
=- 1
2，
又C ∈(0,π)，则C = 2π
3 ，
所以这个三角形的最大角的弧度数为2π
3 .
故选：B.
4．在△ABC中，∠B =π
3 , AB =8, AC =7，则BC =（ ）
A．5
B．3 或5
C．4
D．2 或4
【答案】B
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理，得A B
2+ BC
2-2 AB⋅BC cosB = A C
2，
即64+ BC
2-8 BC = 49，即BC
2-8 BC +15=0，
解得BC =3或5，
经检验，均满足题意.
故选：B.
5．在△ABC中，已知a
2+b
2+ab=c
2，则角C =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】C
【分析】在△ABC中，利用余弦定理即可求解.
【详解】在△ABC中，∵a
2+b
2+ab=c
2，
∴a
2+b
2-c
2=-ab，
∴由余弦定理可得：cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
=-ab
2ab =- 1
2.
∵C ∈(0,π)，∴C =2π
3 .
故选：C.
6．已知在△ABC中，B =π
3 ，b
2=ac，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据余弦定理得出a=c，结合角的特征判断三角形形状.
【详解】因为B =π
3 ，则b
2=a
2+c
2-2accosB，即ac =a
2+c
2-ac，
所以(a-c)
2=0，所以a=c，所以△ABC为等腰三角形，
又B =π
3 ，所以△ABC为等边三角形.
故选：D.
7．在△ABC中，B =π
4 ，BC边上的高等于2
3 BC，则cos A =（ ）
A．3 ❑√10
10
B．
❑√10
10
C．-
❑√10
10
D．- 3 ❑√10
10
【答案】B
【分析】由BC边上的高等于2
3 BC，根据勾股定理求出AB = 2❑√2
3
BC
AC =
❑√5
3 BC，然后再利用余弦定理即可求解.
【详解】设BC边上的高为AD，因为BC边上的高等于2
3 BC，B =π
4 ，
所以AB = 2❑√2
3
BC，BD = 2
3 BC，CD = 1
3 BC，
所以由勾股定理可得AC =
❑√A D
2+C D
2=
❑√5
3 BC，
所以由余弦定理得cos A = A B
2+ A C
2- BC
2
2 AB× AC
=
8
9 BC
2+ 5
9 BC
2- BC
2
2× 2❑√2
3
BC ×
❑√5
3 BC
=
❑√10
10
.
故选：B.
8．已知在△ABC中，AB = 3
5，BC =1，AC = 7
5，则cosB =（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．13
14
D．11
14
【答案】B
【分析】由余弦定理，代入数值即可求得cos B的值.
【详解】由余弦定理得cosB = A B
2+ BC
2- A C
2
2× AB×BC
=(
3
5)
2
+1
2-(
7
5)
2
2× 3
5 ×1
=- 1
2.
故选：B.
9．在△ABC中，内角A ,B ,C所对应的边分别是a,b,c，若
a=3,b= ❑√13,B =60
°，则c =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案.
【详解】由余弦定理可知b
2=a
2+c
2-2ac cos B，
即13=9+c
2-2×3c×cos60°，
整理得c
2-3c - 4 =0，解得c = 4或c =-1（舍去）.
故选：D.
10．在△ABC中，内角A ,B ,C所对各边分别为a,b,c，且a
2=b
2+c
2-bc，则
角A =（ ）
A．60°
B．120°
C．30°
D．150°
【答案】A
【分析】利用余弦定理结合给定条件得到cos A = 1
2，再依据三角形中角的
范围求解即可.
【详解】因为a
2=b
2+c
2-bc，且由余弦定理得a
2=b
2+c
2-2bccos A，
所以2cos A =1，解得cos A = 1
2，而在△ABC中，0°< A <180°，则A =60°，
故A 正确.
故选：A．
3 题型二、余弦定理的边角互化
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a= 4，则
bcosC +c cos B =（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．4
【答案】D
【分析】利用余弦定理对bcosC +c cos B化简可得答案
【详解】解：由余弦定理得，
bcosC +c cos B =b⋅b
2+a
2-c
2
2ab
+c⋅a
2+c
2-b
2
2ac
= b
2+a
2-c
2+a
2+c
2-b
2
2a
= 2a
2
2a =a= 4，
故选：D
2．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若b
2=a
2+c
2-ac，则B =
（ ）
A．π
3
B．π
6
C．2π
3
D．5π
6
【答案】A
【分析】由余弦定理即可求解.
【详解】由b
2=a
2+c
2-ac得ac =a
2+c
2-b
2，所以cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
= ac
2ac = 1
2，
由于B∈(0,π),∴b=π
3 ,
故选：A
3．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，b
2-c
2=2a
2，
cos B =- 1
4 ，则c
a =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由余弦定理求出答案.
【详解】由b
2-c
2=2a
2得：cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
=-a
2
2ac =-a
2c =- 1
4 ，
解得：c
a =2
故选：B
4．在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c -a)=3bc，则角A 等于（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【答案】C
【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.
【详解】因为(a+b+c)(b+c -a)=3bc，整理得b
2+c
2-a
2=bc，
由余弦定理可得cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
= bc
2bc = 1
2，
且0°< A <180°，所以A =60°.
故选：C.
5．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且bcosC =ccosB，则
△ABC为（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据余弦定理进行角化边进而判断.
【详解】在△ABC中，由余弦定理得，
cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
，cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
，
因为bcosC =ccosB，
所以b⋅a
2+b
2-c
2
2ab
=c⋅a
2+c
2-b
2
2ac
，
即a
2+b
2-c
2=a
2+c
2-b
2，
即b
2=c
2，
又因为b＞0,c＞0，
所以b=c，
所以△ABC为等腰三角形.
故选：A
6．在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c.若bcosC +c cos B = b
2+c
2
a
，
则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【分析】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定.
【详解】根据余弦定理知，
bcosC +c cos B =b× a
2+b
2-c
2
2ab
+c× a
2+c
2-b
2
2ac
= a
2+b
2-c
2
2a
+ a
2+c
2-b
2
2a
=a= b
2+c
2
a
，
所以a
2=b
2+c
2，则∠A =π
2 ,
故三角形为直角三角形，
故选：B.
7．在△ABC中，内角A ,B ,C所对边分别为a,b,c，若bcos A +acosB =b，
则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】B
【分析】利用余弦定理角化边，然后整理化简即可得答案.
【详解】因为bcos A +acosB =b
所以b× b
2+c
2-a
2
2bc
+a× a
2+c
2-b
2
2ac
=b，
整理得c =b，
即△ABC的形状是等腰三角形.
故选：B.
8．在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b- ❑√3c)，则A =（ ）
A．90°
B．30°
C．60°
D．150°
【答案】B
【分析】利用余弦定理即可得解.
【详解】因为(a+c)(a-c)=b(b- ❑√3c)，即a
2-c
2=b
2- ❑√3bc，所以
b
2+c
2-a
2= ❑√3bc，
由余弦定理可得cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
=
❑√3bc
2bc =
❑√3
2 ，
又0°< A <180°，所以A =30°.
故选：B．
9．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且2acos B =c -2a，
b=2a，则（ ）
A．2a=3c B．3a=2c
C．b=2c
D．2b=c
【答案】B
【分析】根据余弦定理边角互化即可求解.
【详解】由2acos B =c -2a得2a a
2+c
2-b
2
2ac
=c -2a⇒a
2-b
2=-2ac,
由于b=2a，所以a
2- 4 a
2=-2ac，故3a=2c，
故选：B
10．在△ABC中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且
a(cos B -1)-b(cos A -1)=0．若a= 4，则b=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】将已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简变形可求得结果.
【详解】∵a(cos B -1)-b(cos A -1)=0，
∴a⋅(
a
2+c
2-b
2
2ac
-1)-b⋅(
b
2+c
2-a
2
2bc
-1)=0，
∴a
2+c
2-b
2
2c
-a- b
2+c
2-a
2
2c
+b=0，a
2-b
2
c
-(a-b)=0．
∴a
2-b
2-c (a-b)=0，即(a-b)(a+b-c)=0．
∵a+b-c>0，∴a-b=0，即b=a= 4．
故选：D
