5.1 正弦定理（练习）
目录
1
题型一、正弦定理解三角形.....................................................................2
2
题型二、边角互化.....................................................................................5
3
题型三、三角形的面积公式.....................................................................8
4
题型四、射影定理...................................................................................12
1 题型一、正弦定理解三角形1．在锐角△ABC中，a，b，c分别
为内角A，B，C的对边.已知b=3，c =2，sin A =
❑√15
4 ，则sinC =（ ）
A．
❑√6
3
B．2
3
C．
❑√6
4
D．
❑√6
2
【答案】C
【分析】由同角的正余弦的平方关系求得cos A，进而由余弦定理求得a，
再利用正弦定理可求解.
【详解】因为△ABC为锐角三角形，所以0< A <π
2 ，又sin A =
❑√15
4 ，所以
cos A =
❑√1-sin
2 A = 1
4，
在△ABC中，由余弦定理可得a
2=b
2+c
2-2bc cos A，
所以a
2=3
2+2
2-2×3×2× 1
4 =10，所以a= ❑√10，
在△ABC中，由正弦定理可得
a
sin A =
c
sinC ，所以
❑√10
❑√15
4
=
2
sinC ，解得
sinC =
❑√6
4 .
故选：C.
2．已知在△ABC中，角A , B的对边分别为a, b，若
a
sin A = ❑√2, sin B =
❑√2
2 ，
则b的值为（ ）
A．2❑√2
B．❑√2
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B,故b= asin B
sin A = ❑√2×
❑√2
2 =1.
故选：C
3．在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，若A =60
∘,B = 45
∘, b= ❑√6，
则a=（ ）
A．❑√3
B．2
C．3
D．6
【答案】C
【分析】由正弦定理运算得解.
【详解】根据正弦定理a= bsin A
sin B =
❑√6×
❑√3
2
❑√2
2
=3.
故选：C.
4．在△ABC中，已知a= ❑√3,b= ❑√2,B = 45°，则角A 的值为（ ）
A．30°或150°
B．60°或120°
C．120°D．150°
【答案】B
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B可得
❑√3
sin A =
❑√2
❑√2
2
，可得sin A =
❑√3
2 ，
由于A ∈(0,π)，故A =π
3 或2π
3 ，
故选：B
5．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a= ❑√3，A =60
∘，
若sin B = 1
2，则b=（ ）
A．1
B．❑√3
C．2
D．2❑√2
【答案】A
【分析】由正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B，所以，b= asin B
sin A =
❑√3× 1
2
❑√3
2
=1，
故选：A
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A = 45°，
a= ❑√2，b= ❑√3，则∠B =（ ）
A．60°
B．75°
C．60°或120°
D．15°或75°
【答案】C
【分析】利用正弦定理直接求解即可.
【详解】由正弦定理得，
a
sin A =
b
sin B，即sin B = bsin A
a
=
❑√3×
❑√2
2
❑√2
=
❑√3
2
，
所以B =60°或B =120°，
当B =60°时，C =75°，成立；当B =120°时，C =15°，成立.
故选：C.
7．在三角形ABC中，a=2，B =π
3 ，b=2❑√3，则A =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
6 或5π
6
D．π
3 或2π
3
【答案】A
【分析】由正弦定理求得A =π
6 或5π
6 ，再结合三角形内角和及B =π
3 ，即
可求解．
【详解】由正弦定理得，
a
sin A =
b
sin B ⇔
2
sin A = 2❑√3
sinπ
3
，解得sin A = 1
2，
因为A ∈(0,π)，所以A =π
6 或5π
6 ，
又因为B =π
3 ，所以A =π
6 ，
故选：A．
8．在△ABC中，A =30
∘，BC =2，则△ABC外接圆的直径为（ ）
A．2
B．4
C．❑√3
D．2❑√3
【答案】B
【分析】根据正弦定理求三角形外接圆的直径即可.
【详解】由正弦定理
a
sin A = 2
1
2
= 4，故△ABC外接圆的直径为4.
故选：B.
9．△ABC中，A =60
∘, AC =2,BC =2❑√3，那么B =（ ）
A．30
∘
B．45
∘
C．150
∘
D．30
∘或150
∘
【答案】A
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理，得AC
sin B = BC
sin A ，
则
2
sin B = 2❑√3
❑√3
2
，即sin B = 1
2，
因为AC <BC，所以B< A，则B =30
∘.
故选：A.
10．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c ,a=1,b= 3
2 ,sin B = 3
4 ，
则A =（ ）
A．π
6
B．π
2
C．π
6 或5π
6
D．π
3 或π
2
【答案】A
【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理
a
sin A =
b
sin B，得
1
sin A =
3
2
3
4
=2，所以sin A = 1
2，又b>a，
所以A =π
6 ．
故选：A
2 题型二、边角互化1．在△ABC中，若a=2❑√3，A =30°，则
b+c
sin B+sinC的值为（ ）
A．4 ❑√3
B．2❑√3
C．4
D．2
【答案】A
【分析】直接利用正弦定理的边化角公式，得出
b+c
sin B+sinC = 2 Rsin B+2 RsinC
sin B+sinC
=2 R =
a
sin A ，即可求出结果.
【详解】解：由题可知，a=2❑√3，A =30°，
而
b+c
sin B+sinC = 2 R sin B+2 R sinC
sin B+sinC
=2 R =
a
sin A = 2❑√3
1
2
= 4 ❑√3，
即
b+c
sin B+sinC = 4 ❑√3.
故选：A.
【点睛】本题考查正弦定理的应用，运用了正弦定理的边化角公式，属于
基础题.
2．在ΔABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,❑√3bsin A =acos B,则角
B =（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】A
【解析】利用正弦定理将❑√3bsin A =acos B整理化简成❑√3sin B =cos B,即可
求出角B的值.
【详解】解:因为❑√3bsin A =acos B,
由余弦定理得❑√3sin Bsin A =sin A cos B,
又因为0< A <π ,sin A ≠0,
所以❑√3sin B =cos B,则tan B = sin B
cos B =
❑√3
3 ,
0<B<π ,B = π
6 .
故选:A
【点睛】本题考查正弦定理的应用,是基础题.
3．在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=3c sin B，则
sinC的值为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角的思想可计算出sinC的值.
【详解】∵0<B<π，∴sin B>0，∵b=3c sin B，由正弦定理得
sin B =3sinC sin B，
所以，3sinC =1，解得sinC = 1
3.
故选：B.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角的正弦值，考查计算能
力，属于基础题.
4．ΔABC中，内角A、B所对的边分别为a、b，若❑√3a⋅sin B =b⋅cos A，
则角A等于（ ）
A．π
3
B．π
4
C．π
6
D．π
12
【答案】C
【分析】根据正弦定理边角互化思想求出tan A的值，再结合A的范围可求
出角A的值.
【详解】∵❑√3a⋅sin B =b⋅cos A，由正弦定理得❑√3sin A sin B =sin Bcos A，
∵0<B<π，∴sin B>0，则❑√3sin A =cos A，可得tan A =
❑√3
3 .
又∵0< A <π，因此，A = π
6 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，在计算时要结合角的
取值范围来得出角的值，考查运算求解能力，属于基础题.
5．在△ABC中,若bcosC +ccosB =asin A,则角A 的值为
A．π
3
B．π
6
C．π
2
D．2π
3
【答案】C
【分析】由已知结合正弦定理及诱导公式进行化简即可求解．
【详解】解：bcosC +ccosB =asinA,
由正弦定理可得,sinBcosC + sinCcosB = sinAsinA,
∴sin(B+C )= sinAsinA,
∴sinA = sinAsinA,
∵sinA ≠0,
∴sinA =1,
∵A ∈(0,π ),
∴A = 1
2 π.
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属
于基础题．
6．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若A =60°，B =30°，
a=3，则b=（ ）
A．❑√3
B．3 ❑√3
2
C．2❑√3
D．3 ❑√3
【答案】A
【分析】结合特殊角的正弦值，运用正弦定理求解.
【详解】由正弦定理可知：
a
sin A =
b
sin B ⇒
3
sin60
0 =
b
sin30 ❑
❑
0
⇒b= 3sin30
0
sin60
0 = ❑√3，故本题选A.
【点睛】本题考查了正弦定理，考查了数学运算能力.
7．△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c.已知asin B - ❑√3sin A =0，则
b=（ ）
A．❑√3
B．2❑√3
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理
a
sin A =
b
sin B，得asin B =bsin A，
所以asin B - ❑√3sin A =bsin A - ❑√3sin A =0，
又A ∈(0,π)，所以sin A >0，所以b= ❑√3.
故选：A.
8．在△ABC中，若a
b = cos B
cos A ，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】首先根据正弦定理，将边化为角，再结合二倍角的正弦公式，以
及角的关系，即可判断.
【详解】因为a
b = cos B
cos A ，由正弦定理可得sin A
sin B = cos B
cos A ，即
sin A cos A =sin Bcos B，
所以sin 2 A =sin 2B，可得2 A =2B或2 A +2B =π，
所以A = B或A + B =π
2 ，所以△ABC的形状为等腰或直角三角形.
故选：D．
3 题型三、三角形的面积公式1 ．在△ABC中，已知
AB =1, AC =2,∠BAC =π
3 ，则△ABC的面积为（ ）
A．
❑√3
2
B．❑√3
C．1
D．2
【答案】A
【分析】利用三角形面积公式计算.
【详解】S△ABC = 1
2 ⋅AB⋅AC ⋅sin A = 1
2 ×1×2×sin π
3 =
❑√3
2 .
故选：A.
2．在△ABC中，A =π
3 ，AC =2，且△ABC的面积为
❑√3
2 ，则AB =（ ）
A．1
B．❑√3
C．2
D．3
【答案】A
【分析】根据三角形面积公式列式求解.
【详解】根据题意，S△ABC = 1
2 AB⋅AC ⋅sin A =
❑√3
2 ，
∴1
2 AB×2×
❑√3
2 =
❑√3
2 ，解得AB =1.
故选：A.
3．在△ABC 中，若A = π
6 ，AB =1，AC = ❑√3，则BC边上的高为（ ）
A．1
B．❑√2
C．
❑√3
2
D．2
【答案】C
【分析】先利用余弦定理求得BC的长，再利用三角形等面积法即可求得
BC边上的高.
【详解】由余弦定理，得BC = ❑√1
2+(❑√3)
2-2×1×❑√3×cosπ
6 =1，
设BC边上的高为h，则S△ABC = 1
2 AB⋅AC ⋅sinπ
6 = 1
2 ×1⋅h，解得h=
❑√3
2 .
故选：C.
4．在△ABC中，cosC = 1
3，AC =3，AB =2❑√2，则△ABC的面积为（ ）
A．2❑√2
B．❑√2
C．4 ❑√2
3
D．1
【答案】B
【分析】由余弦定理求出BC长，由cosC = 1
3求得sinC，代入三角形面积公
式计算即得.
【详解】因为cosC = 1
3 >0，角C是锐角，所以sinC = 2❑√2
3 ，
由余弦定理，cosC = 9+ BC
2-8
6 BC
= 1
3，解得BC =1，
所以△ABC的面积S = 1
2 ×3×1× 2❑√2
3
= ❑√2.
故选：B.
5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A =30°，a=8，
b=8 ❑√3，则△ABC的面积为（ ）
A．32❑√3
B．16 ❑√3
C．32❑√3或16 ❑√3
D．12❑√3
【答案】C
【分析】先根据正弦定理解出B =60°或120°，再根据三角形内角和定理求
出C，从而可以由面积公式S = 1
2 absinC解得．
【详解】由正弦定理得
a
sin A =
b
sin B，即
8
sin30° = 8 ❑√3
sin B，解得，sin B =
❑√3
2
∵B是三角形内角，0°<B<180° ∴B =60°或120°
当B =60°时，C =90°，S = 1
2 absinC = 1
2 ×8×8 ❑√3×1=32❑√3；
当B =120°时，C =30° S = 1
2 absinC = 1
2 ×8×8 ❑√3× 1
2 =16 ❑√3．
故选：C．
6．已知△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且满足
a= ❑√5,c = ❑√10，B =π
4 ，则△ABC的面积为（ ）
A．5
2
B．
❑√5
2
C．5
4
D．2❑√5
【答案】A
【分析】利用三角形面积公式即可求解.
【详解】在△ABC中，a= ❑√5，c = ❑√10，B =π
4 ，
由三角形的面积公式得S△ABC = 1
2 ac sin B = 1
2 ×❑√5×❑√10×
❑√2
2 = 5
2.
故选：A.
7．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c ,sin A
sin B = 3
5 ,C = 2π
3 ,c =7，则
△ABC的面积为（ ）
A．15 ❑√3
4
B．15
4
C．15 ❑√3
2
D．15 ❑√2
4
【答案】A
【分析】利用正弦定理，边角互化建立a,b 关系，再利用余弦定理求出
a,b，代入面积公式求出面积即可.
【详解】在△ABC中，因sin A
sin B = 3
5，由正弦定理可得a= 3
5 b，
由余弦定理得：c
2=a
2+b
2-2abcosC = 9
25 b
2+b
2-2× 3
5 b×b×(- 1
2)= 49，解
得b=5,a=3，
所以△ABC的面积为1
2 absinC = 15 ❑√3
4
．
故选：A．
8．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知b=3，
c =2❑√3，△ABC的面积为3 ❑√3
2 ，则a=（ ）
A．❑√6
B．3
C．❑√3
D．❑√39
【答案】C
【分析】由面积公式求出A，再由余弦定理计算可得.
【详解】依题意可得△ABC的面积S△ABC = 1
2 bc sin A = 3 ❑√3
2 ，
即1
2 ×3×2❑√3sin A = 3 ❑√3
2 ，解得sin A = 1
2，
又A为锐角，可得A =π
6 ，
由余弦定理a
2=b
2+c
2-2bc cos A =9+12-2×3×2❑√3×
❑√3
2 =3，所以a= ❑√3或
a=- ❑√3（舍去）．
故选：C．
9．在△ABC中，点D 在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC =120°，
AB =2❑√3，AD = 2❑√3
3 ，则AC =（ ）
A．2
B．❑√3
C．3
D．2❑√3
【答案】B
【分析】本题角平分线长问题，利用面积关系S△ABC = S△ABD+ S△ADC，结合面
积公式，就能求解出AC的长.
【详解】因为S△ABC = S△ABD+ S△ADC，
所以1
2 × AB× AC ×sin120° = 1
2 × AB× AD×sin 60°+ 1
2 × AD× AC ×sin 60°,
即AB× AC = AB× AD+ AD× AC，代入AB =2❑√3，AD = 2❑√3
3 ，
可得2❑√3× AC =2❑√3× 2❑√3
3
+ 2❑√3
3
× AC，则4 ❑√3
3
× AC = 4，
解得AC = ❑√3．
故选：B.
4 题型四、射影定理1 ．在△ABC中，acos B -
❑√3
2 b=c，则A =
（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】D
【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式推得cos A =-
❑√3
2 ，从而得解.
【详解】因为acos B -
❑√3
2 b=c，所以由正弦定理得
sin A cosB -
❑√3
2 sin B =sinC，
因为sinC =sin[π-(B+ A )]=sin( A + B)=sin A cos B+cos A sin B，
所以-
❑√3
2 sin B =cos A sin B，
因为0<B<π，则sin B≠0，所以cos A =-
❑√3
2 ，
因为A ∈(0,π)，所以A =5π
6 .
故选：D.
2．△ABC的三内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c且满足
acos B+bcos A =2c cosC，且sin A =sin B，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【分析】对已知条件结合正弦定理进行边换角，另一个条件说明三角形是
等腰三角形，两者结合起来判断.
【详解】根据条件：acos B+bcos A =2c cosC，利用正弦定理可得：
sin A cos B+sin Bcos A =2sinC cosC，
整理得：sin( A + B)=sinC =2sinC cosC，0<C <π，则sinC ≠0，
化简得：cosC = 1
2，故C =π
3 ，
在△ABC中，由于sin A =sin B，所以A = B（不可能A + B =π），
故A = B =C = π
3 .所以△ABC为等边三角形.
故选：B.
3．在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.若b
a = 1-cos B
cos A ，则
△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】通过正弦定理将边化为角，化简即可得结果.
【详解】由正弦定理得sin Bcos A =sin A -sin A cosB，即sinC =sin A，
由于A ,C为三角形内角，所以C = A.
故选：C.
4．在△ABC 中，内角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，若acosB﹣
bcosA＝c，则A＝（ ）
A．π
3
B．π
2
C．2π
3
D．5 π
6
【答案】B
【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解A.
【详解】∵acosB﹣bcosA＝c，
由正弦定理可得，sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，
所以sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，
所以sinBcosA＝0，
因为sinB≠0，
所以cosA＝0，即A= 1
2 π，
故选:B
【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式及边化角的技巧，属
于基础题.
5．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若a=2，c =3，且满足
(2a-c)cos B =bcosC，则⃑AB⋅⃑BC的值为（ ）
A．2
B．3
C．-1
D．-3
【答案】D
【分析】利用正弦定理将边化为角，即可求出角B，结合向量的数量积即
可求解.
【详解】∵(2a-c)cos B =bcosC根据正弦定理得：
（2sin A -sinC )cos B =sin BcosC ,
即：2sin A cos B =sin BcosC +cos BsinC,∴2sin A cos B =sin(B+C )=sin A ,
又∵0< A <π ,∴sin A >0,∴cos B = 1
2，
∵0<B<π ,∴B = π
3 ,⃑AB⋅⃑BC =-|⃑AB|⋅|⃑BC|cos B =-ac cos π
3 =-2×3× 1
2 =-3.
故选：D.
【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式及平面向量的数量积，
考查边化角的技巧，属于基础题.
6．在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c.若
bcosC +c cos B =asin A,则角A的值为
A．π
3
B．π
6
C．π
2
D．2π
3
【答案】C
【分析】根据正弦定理将边化角，可得sin (B+C)=sin
2 A，由
sin (B+C)=sin A可求得sin A，根据A的范围求得结果.
【详解】由正弦定理得：sin BcosC +sinC cos B =sin (B+C)=sin
2 A
∵A + B+C = π ∴sin (B+C)=sin (π - A)=sin A
∵A ∈(0,π ) ∴sin A ≠0 ∴sin A =1 ∴A = π
2
本题正确选项：C
【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、
三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.
7．设△ABC 的内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，若
bcosC+ccosB=2acosA，则A=
（
）
A．π
6
B．π
3
C．π
4
D．π
3 或2π
3
【答案】B
【详解】∵bcosC+ccosB=2acosA，
∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，
可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosA，
A∈
∵
（0，π），sinA≠0，
∴cosA=1
2， ∴可得A=π
3 ．
故选B．
8．在ΔABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c.若
asin BcosC +c sin Bcos A = 1
2 b，且a>b，则B =
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5 π
6
【答案】A
【详解】边换角后约去sin B，得sin(A＋C)＝1
2，所以sin B＝1
2，但∠B 非
最大角，所以∠B＝π
6 .
