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专项训练2 平行线的判定与性质基础练习
一．选择题
1．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、∠3＝∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项错误；
B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项正确；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
2．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是
（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝45°﹣20°＝25°．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
3．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是（ ）A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【解答】解：由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴a∥b（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
4．如图，将长方形 ABCD 沿线段 EF 折叠到 EB'C'F 的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为
（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由轴对称的性质可求出∠EFC的度数，可由式子∠EFC+∠EFC'﹣180°直接求出∠DFC'的度
数．
【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变化（轴对称）的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴
对称变换的性质等．
5．如图，若∠A+∠ABC＝180°，则下列结论正确的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠4
【分析】先根据题意得出AD∥BC，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠4．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6．如图，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，则∠D的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定可得出DC∥AB，利用平行线的性质和按比例分配求出
结果．
【解答】解：∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠CAB，
∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠2，
∴DC∥AB，
∴∠D+∠DAB＝180°，
又∵∠D：∠DAB＝2：1，
2
∴∠D＝180°× =120°，
2+1
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的意义，平行线的判定和性质以及按比例分配等知识，得出∠D+∠DAB＝
180°是解决问题的关键．二．填空题
7．如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线 AB和CD，并由此判定AB∥CD，这
是根据 内错角相等 ，两直线平行．
【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行去分析解答．
【解答】解：如图，利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，
直线BC把AB和CD所截，
此时两块相同的三角板的最小两个角的位置关系正好是内错角，
所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．
故答案为：内错角相等．
【点评】此题主要考查学生对：内错角相等，两直线平行这一判定定理的理解和掌握．
8.在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物
时的状态，已知∠1＝102°，则∠2的度数为 78 ° ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠2＝∠BCD，由∠1的度数求出∠BCD的度数，即可得到
∠2的度数．
【解答】解：如图，
由题意得：AB∥CD，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝102°，
∴∠BCD＝78°，
∴∠2＝78°．
故答案为：78°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两
直线平行，同旁内角互补．9．如图，直线l ∥l ，∠1＝20°，则∠2+∠3＝ 200 ° ．
1 2
【分析】过∠2的顶点作l 的平行线l，则l∥l ∥l ，由平行线的性质得出∠4＝∠1＝20°，∠BAC+∠3
2 1 2
＝180°，即可得出∠2+∠3＝200°．
【解答】解：过∠2的顶点作l 的平行线l，如图所示：
2
则l∥l ∥l ，
1 2
∴∠4＝∠1＝20°，∠BAC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°+20°＝200°；
故答案为：200°．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平
行，内错角相等．
10．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD
＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为 5 9 或 12 1 度．
【分析】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G时，
∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．
【解答】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，
∵∠MFD＝∠BEF＝62°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
1
∴∠GEB＝∠GEF= ∠BEF＝31°，
2
∴∠FGE＝31°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣31°＝59°；②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，
同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+31°＝121°．
则∠PGF的度数为59或121度．
故答案为：59或121．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
三．解答题
11．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．
1 1
【分析】先利用角平分线定义得到∠3= ∠ADC，∠2= ∠ABC，而∠ABC＝∠ADC，则∠3＝∠2，
2 2
加上∠1＝∠2，则∠1＝∠3，于是可根据平行线的判定得到DC∥AB．
【解答】证明：∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
1 1
∴∠3= ∠ADC，∠2= ∠ABC，
2 2
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DC∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角
互补，两直线平行．
12．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°．求∠C的度数．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据
两直线平行，内错角相等解答．【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝100°，
∵AC平分∠BAF，
1
∴∠CAF= ∠BAF＝50°，
2
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠CAF＝50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）．
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义），
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠2＝ ∠ ACD （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ ACD （等量代换），
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠AEF＝∠ ADC （ 两直线平行，同位角相等 ），
∵EF⊥AB（已知），
∴∠AEF＝90°（ 垂直定义 ），
∴∠ADC＝90°（ 等量代换 ），
∴CD⊥AB（ 垂直定义 ）．
【分析】灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质
只要证得∠ADC＝90°，即可得CD⊥AB．
【解答】解：证明过程如下：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ACD（等量代换）
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）∵EF⊥AB（已知）
∵∠AEF＝90°（垂直定义）
∴∠ADC＝90°（等量代换）
∴CD⊥AB（垂直定义）．
【点评】利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是
判断两直线是否垂直的基本方法．
14．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2＝∠A＝∠1，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3＝180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相
等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适
中．
15．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且
GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问
∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE 互补，所以易证
AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD＝180°，然后根据角平分线的定义证得∠EPF＝
90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；
1 1
（3）利用平行线的性质和角平分线的定义推得∠QPK= ∠EPK，∠HPK= ∠FPK；然后由图形中角
2 2
与角的和差关系求得∠HPQ＝45°即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°．
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
1
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）＝90°，
2
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，∴PF∥GH；
（3）∠HPQ的大小不会发生变化，理由如下：
∵PQ平分∠EPK，
1
∴∠QPK= ∠EPK；
2
由（2）得：PF∥GH，
∠FPH=∠PHK=∠HPK，
1
∴∠HPK= ∠FPK；
2
1 1
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝
（
∠EPK-∠FPK
）=
∠EPF=45°，
2 2
∴∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．
