文档文本内容
第14 讲 三角函数的概念同角三角函数基本关系及诱导公式
易错分析
易错点一 忽略角终边所在象限
易错点二 忽视角的取值范围
题型方法
题型一 三角函数的定义
题型二 求扇形的弧长与面积
题型三 利用同角三角函数基本关系与诱导公式化简
求值
知识点01 角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α 的相反角记为－
α .
(4)终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
知识点02 弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度单位用符号rad 表示．
(2)公式
题型梳理
知识清单
角α 的弧度数公式
|α|＝(弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝| α | r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
知识点03 任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
知识点04 同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
知识点05 三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－
sin
α
－
sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cos α
－
cos
α
cos
α
－
cos
α
sin
α
－
sin
α
正切
tan α
tan
α
－
tan
α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
知识点06 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos
α cos
β ＋
sin
α sin
β ；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos
α cos
β －
sin
α sin
β ；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin
α cos
β －
cos
α sin
β ；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin
α cos
β ＋
cos
α sin
β ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
知识点07 辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
知识点08 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin
α cos
α .
(2)公式C2α：cos 2α＝cos
2 α －
sin
2 α ＝2cos
2 α －
1 ＝1 －
2sin
2 α .
(3)公式T2α：tan 2α＝.
知识点09 常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
【易错点一】忽略角终边所在象限
【例1】设
是第二象限角，P（－4，y）为其终边上的一点，且
，则
等于（ ）
A．－
B．－
C．
D．
【答案】A
【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】因为
，所以
，解得
，
又
是第二象限角，所以
，所以
．
故选：A．
【举一反三】【变式1】设
是第三象限角，
为其终边上的一点，且
，则
等于（ ）
易错分析
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】因为
，所以
，解得
，
又
是第三象限角，所以
，所以
．
故选：D．
【变式2】（2020·河南·模拟预测）若角
的终边过点
，且
则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出点
的坐标，然后利用三角函数的定义结合
求出实数
的值.
【详解】解：
，则点
的坐标为
，
因为
．所以角
的终边在第二象限或第三象限，故
．
再根据三角函数的定义得：
，即
，解得
（舍)或
.
故选：C．
【点睛】本题考查利用三角函数的定义求参数，在利用三角函数的定义列式时，要结合三角函数值符号判断出参数的
符号，考查计算能力，属于基础题.
【变式3】（2025·河北保定·一模）设
是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
．
【答案】
【分析】根据余弦函数的定义列方程解出
，再利用正切函数的定义求解即可.
【详解】由题：
，
又
是第二象限角，所以
，
所以
，
故答案为：
.
【易错点二】忽视角的取值范围
【例2】（2023·海南·模拟预测）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先左右两边平方，得出
，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值.
【详解】因为
，所以
，
即
，所以
，
所以
，得
，
解得
或
，
因为
，且
，
所以
，所以
，所以
.
故选：
.
【举一反三】【变式1】（2024·辽宁大连·一模）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得
，结合
可得
，进而可得
.
【详解】由
得
，
即
，
因为
，所以
，
所以
，结合
，且
，
得
，
所以
.
故选：A.
【变式2】（2020·宁夏银川·模拟预测）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式先求得
的值，可得
的值．
【详解】∵
，且
，
∴
，则
，
化简
可得
，
∴
，
则
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．
【变式3】（2025·陕西·一模）若
，且
，则
．
【答案】
【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式结合题意可得答案.
【详解】因
，则
，
，
又
，则
，又
，
则
.
故答案为：
【题型一】三角函数的定义
【例1】（2023·北京海淀·二模）在平面直角坐标系
中，角
以
为始边，其终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
题型方法
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
【详解】由三角函数的定义可知
，
故选：A
解题技巧
(1)利用三角函数的定义，已知角α 终边上一点P 的坐标，可以求出α 的三角函数值；已知角α 的三角
函数值，也可以求出点P 的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【举一反三】【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案.
【详解】由题意可得
，
，
则
.
故选：D.
【变式2】（2020·福建三明·模拟预测）已知角
的终边上有一点
，且
，则实数
的值为
.
【答案】3
【分析】由角
的终边经过点
，且
，可得
利用三角函数的定义即可确定
的值.
【详解】因为角
的终边经过点
，且
，
所以
则
故答案为：3.
【变式3】（2025·云南·三模）已知角
的终边过点
，则
．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义，求得
，
，代入计算，即可求解.
【详解】因为
的终边过点
，
根据三角函数的定义，可得
，
，
所以
.
故答案为：
．
【题型二】求扇形的弧长与面积
【例2】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（ ）
A．1
B．
C．3
D．6
【答案】C
【分析】根据扇形面积公式计算求解.
【详解】设圆心角为
，所以
，所以
3
故选：C.
解题技巧
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
【举一反三】【变式1】（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，
其中一个是
的外接圆的圆弧，另一个是以AB 为直径的圆的一部分圆弧，已知
，
，则该
月牙形即阴影部分面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积.
【详解】
如图所示，根据已知和图形知
，
设以
为外接圆的圆心为
，直径
由正弦定理得
，即
，
在圆
中，根据圆心角和圆周角的关系，可知
，
由扇形面积公式可得
，
易知以
直径的半圆的半径为
，即
，于是
，
故选：A.
【变式2】（2022·上海徐汇·一模）已知某圆锥的底面圆的半径为
，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面
积为 ．
【答案】
【分析】根据底面圆的半径求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的侧面积.
【详解】设底面圆的半径为，圆锥的母线长为，则
，因为其侧面展开图为一个半圆，所以
.
故答案为：
【变式3】（2022·江西南昌·一模）已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1 和2，点
和点
分别从初始位
置
和
处，按逆时针方向以相同速率同时做圆周运动.
(1)当点
运动的路程为
时，求线段
的长度；
(2)记
，
，求
的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）通过A 点运动的路程，求出
的大小，再借助余弦定理求
边长.
（2）设出角度，分别表示
和
，借助倍角公式转化成二次函数的最值问题.
【详解】（1）因为点
运动的路程为
，
，所以
，又
，所以
，
，
由余弦定理
，所以
.
（2）设
则
，所以
，
，则
，所以当
时，
取得最大值
.
【题型三】利用同角三角函数基本关系与诱导公式化简求值
【例3】（2025·全国二卷·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得
，则
，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】
，
因为
，则
，则
，
则
.
故选：D.
解题技巧
同角三角函数基本关系
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式
子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用
公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
【举一反三】【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，利用二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由
，
故选：A.
【变式2】（2025·上海徐汇·三模）已知
，且
，则
.
【答案】
/
【分析】由同角三角函数的基本关系和诱导公式进行求解.
【详解】由
，
，
则
，
故
.
故答案为：
【变式3】（2022·上海徐汇·模拟预测）已知角
为锐角，且
．
(1)求
的值；
(2)求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意，化简
，得出
，利用角
进而求解
.
(2)根据
，利用平方关系求出
和
，再结合两角差的正弦公式求解即可.
【详解】（1）由题知，
为锐角，所以
，
，
因为
，
两边同时除以
，得
，
所以
.
（2）由(1)知，
，又
，
为锐角，所以
，
，
所以
．
一、单选题
1．（2024·河北衡水·模拟预测）“角
的终边在同一条直线上”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】借助
的值，直接分别判断充分性和必要性.
【详解】由角
的终边在同一条直线上，得
，
好题必刷
即
，所以
.
反之，由
，得
，
当
为偶数时，角
的终边在同一条射线上；
当
为奇数时，角
的终边在同一条直线上.
综上，“角
的终边在同一条直线上”是“
”的充要条件.
故选 ：C.
2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据扇形的面积公式可以求出扇形的半径，从而求出扇形对应圆的面积.
【详解】因为该扇形的圆心角为
，面积为25，
根据
，可得
，
所以
.
故选：
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设角
的顶点与原点
重合，始边与
轴的非负半轴重合，
终边经过点
，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义求出
，再结合诱导公式可得.
【详解】由题意可得，
，
则
，解得
（
舍去）.
故选：B
4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，点
是角
终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义可得
，进而可求得
，
，利用两角差的余弦公式可求得
的值.
【详解】由题意可得，
，所以
，
，
.
故选：A.
5．（2025·甘肃白银·二模）已知动点
的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4 的正方形，内
边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将图分为八部分，通过切割的思想即可得结果.
【详解】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为
.
故选：D.
二、多选题
6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可.
【详解】由题意
，
从而
.
故选：AD.
7．（2025·浙江·三模）已知
为锐角，若
，则下列说法正确的有（ ）
A．
的终边经过点
B．
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】对于A，由二倍角正切公式结合
可得
，结合
为锐角可判断选项正误；对于B，由A
可得
，然后由诱导公式可判断选项正误；由B 结合二倍角余弦公式可得答案；对于D，由两角差的正切公
式可判断选项正误.
【详解】对于A，
，又
为锐角，
则
，则
，
则
的终边经过点
，取
，则
的终边经过点
，故A 正确；
对于B，因
，又
为锐角，则
，
则
，则
，故B 错误；
对于C，
，又
，
则
，则
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
8．（2025·广东阳江·三模）已知
，则
.
【答案】
/
【分析】由两角差的正弦结合同角的三角函数关系得到
，再利用二倍角的余弦公式计算可得.
【详解】由
可得
，
化简可得
，
又
，所以
，
所以
.
故答案为：
##
.
9．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系
中，已知点
，若点
绕原点顺时针旋转
到点
，则点
的横坐标为 ．
【答案】
【分析】由题意作图，根据三角函数的定义，利用余弦函数的差角公式，可得答案.
【详解】设坐标原点为
，设角
终边为射线
，则角
的终边即为射线
．
由题意可知，
，
，
．
故
．
所以点
的横坐标为
．
故答案为：
10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知角
的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点
，则
.
【答案】
【分析】利用三角函数的定义求解即可.
【详解】已知角
的终边过点
，则
，
.计算半径
.
利用三角函数定义:
因此，
故答案为：
11．（2025·北京石景山·一模）如图，角
以
为始边，它的终边与单位圆
相交于点
，且点
的横坐标为
，则
的值为
【答案】
/0.6
【分析】先根据三角函数的定义可得
，进而结合诱导公式求解即可.
【详解】由题意，点
的横坐标为
，则
，
则
.
故答案为：
.
四、解答题
12．（2024·湖北·模拟预测）（1）求证：
；
（2）求值：
.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先通分，再根据两角差的正弦公式即可得证；
（2）根据（1）结合诱导公式化简即可.
【详解】（1）
；
（2）由（1）得：
.
13．（2023·贵州·模拟预测）如图所示，角
的终边与单位圆
交于点
，将
绕原点
按逆时针方向旋转
后与圆
交于点
.
(1)求
；
(2)若
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
，
，求
.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式直接得解；
（2）由已知可得
，再利用余弦定理可得，进而可得面积.
【详解】（1）由题知
，
，
所以
；
（2）由题知
，
，
，
，且
，所以
，
而
，则
，故
，
由正弦定理可知
，整理得
，
解得
，
故
，或
.
14．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别是
，且
.
(1)求
；
(2)若
构成等差数列，且
的面积为12，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将题干信息展开，再结合两角和差的正切公式即可；
（2）根据等差数列以及
即可求出
，再根据正弦定理得出边长的比列，即可根据面积求出
.
【详解】（1）因为
，
所以
，即
，
因此
.
由于
，因此
.
（2）由题意知，
，
因此
，
解得
，故
，
因此
.
则由正弦定理
，可设
，
故
，解得
，
因此
.
15．（2022·重庆·二模）已知角
，
（
，
）的顶点与原点
重合，始边与
轴的非负半轴重合，
点
，
分别在角
，
的终边上.
(1)设函数
，
，求函数
的值域；
(2)若点
在角
的终边上，且线段
的长度为
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由任意角三角函数的定义结合
的取值范围确定
的大小，再求
的值域（2）先由任意角三角
函数的定义结合
的取值范围确定
的大小，从而求出
的大小，再利用余弦定理，求出
的长度，确定出点
在
上的位置之后，即可求
的面积
【详解】（1）∵
的终边过点
，∴
，
.
∵
，∴
.
则
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
即
的值域是
.
（2）∵
的终边过点
，
∴
，
.
∵
，∴
，∴
.
由余弦定理可得，
，
∴
，解得
.
∵
，∴
为
的中点，
∴则
的面积
16．（2025·河南新乡·模拟预测）某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值均为一个常数：①
；②
；③
；④
(1)试从上述4 个式子中选择一个或两个，求出这个常数；
(2)根据（1）的结果，将该同学的发现推广为一个关于变量
的三角恒等式，并证明你的结论，
【答案】(1)
(2)
，证明见解析
【分析】（1）首先将所给①，②，③，④四个式子等价转换为有规律的式，不妨选择②求出即可；
（2）根据（1）的规律观察，此四个统一式为
，且
，即
，利用三角恒等变换证明即可.
【详解】（1）首先将所给①，②，③，④四个式子等价转换为有规律的式，则：
对于①等价为
；
对于②等价为
；
对于③等价为
；
对于④等价为
，……
根据题意，所给4 个式子中的结果都是同一常数，不妨选择②，容易求得值，
，
这个常数为定值
；
（2）根据（1）的规律观察，此四个统一式为
，且
，
特取设
，则
，进而得恒等式：
，
证明：由
，
，
，猜想结论得证
