北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题五 三角函数
5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导
公式
一、选择题
π
1.(2022届江西上饶月考,6)已知一个扇形的圆心角为30°,所对的弧长为 ,则该扇形的面积为( )
3
π2 1 π π
A. B. C. D.
540 3 6 3
π
l l 3 1 1 π π
答案 D ∵|α|= ,∴r= = =2,∴该扇形的面积S= lr= × ×2= .故选D.
r |α| π 2 2 3 3
6
2.(2022届广西10月联考,6)已知4sin α+3cos α=0,αÎ(π ),则cos(π-α)=( )
,π
2
3 3 4 4
A.- B. C.- D.
5 5 5 5
答案 D 易知sinα=-3,又α∈(π ),sin2α+cos2α=1,
,π
cosα 4 2
4 4
∴cos α=- .∴cos(π-α)=-cos α= .
5 5
3. (2021山西运城调研,4)已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点
P(sin 18°,cos 18°),则sin(α-12°)=( )
1 √3 1 √3
A. B. C.- D.-
2 2 2 2
答案 B ∵角α的终边经过点P(sin 18°,cos 18°),∴|OP|= =1,
√sin218°+cos218°
cos18° sin18°
由三角函数定义可知,sin α= =cos 18°,cos α= =sin 18°,∴sin(α-12°)=sin α
1 1
√3
cos 12°-cos αsin 12°=cos 18°cos 12°-sin 18°sin 12°=cos(18°+12°)=cos 30°= ,故选B.
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4.(2022届河南六市联考,4)在平面直角坐标系中,角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边
上一点P的坐标为(3,-6),则sin α=( )
2√5 1 √5
A.- B.- C.-2 D.
5 2 5
-6 2√5
答案 A sin α= =- .故选A.
√9+36 5
5.(2022届湖北百校联考,6)已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点
3
P,且点P位于第四象限,点P到y轴的距离为 ,则sin α-cos α=( )
5
1 7 1 7
A. B. C.- D.-
5 5 5 5
答案 D 由已知得点P的坐标为(3 4),r=|OP|=1,所以sin α-cos α=-4-3=-7.
,-
5 5 5 5 5
6.(2022届吉林模拟,2)已知cos α=-4,α∈(π ),则sin α等于( )
,π
5 2
3 3 3 3
A. B. C.- D.-
5 4 5 4
答案 A ∵cos α=-4,α∈(π ),∴sin α= =3.故选A.
,π √1-cos2α
5 2 5
4
7.(2022届宁夏月考,6)已知sin α-cos α= ,则sin 2α=( )
3
7 7 7 7
A.- B.- C. D.
16 9 16 9
4 16
答案 B 因为sin α-cos α= ,所以两边平方得sin2α-2sin αcos α+cos2α= .又因为sin2α+cos2α=1,所
3 9
7 7 7
以-2sin αcos α= ,即2sin αcos α=- ,所以sin 2α=2sin αcos α=- .故选B.
9 9 9
8.(2022届北京市东直门中学期中,9)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,终边分别是
射线OA和射线OB.射线OA,OC与单位圆的交点分别为A(3 4),C(-1,0).若∠BOC=π,则cos(β-α)的值是
,
5 5 6
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3-4√3 3+4√3
A. B.
10 10
4-3√3 4+3√3
C. D.
10 10
答案 C 由题意可得cos β=cos( π)=cos5π=-√3,sin β=sin( π)=sin5π=1,且cos α=3,
π- π-
6 6 2 6 6 2 5
4 √3 3 1 4 4-3√3
sin α= ,∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=- × + × = ,故选C.
5 2 5 2 5 10
9. (2021河南洛阳重点中学模拟,6)现有如下结论:①若点P(a,2a)(a≠0)为角α的终边上一点,则
2√5 1 √3 1 3
10. sin α= ;②同时满足sin α= ,cos α= 的角有无数个;③设tan α= 且π<α< π,
5 2 2 2 2
√5
11. 则sin α=- ;④设cos(sin θ)·tan(cos θ)>0(θ为象限角),则θ是第一象限角,其中正确结论的序号为(
5
)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
2√5 1
答案 B 对于①,当角α的终边在第三象限时,sin α=- ,故①错误;对于②,同时满足sin α= ,cos α=
5 2
√3 π 3 1 √5
的角α为2kπ+ (k∈Z),有无数个,故②正确;对于③,因为π<α< π,tan α= ,所以sin α=- ,cos α=-
2 6 2 2 5
2√5
,故③正确;对于④,∵cos(sin θ)·tan(cos θ)>0,cos(sin θ)>0恒成立,∴tan(cos θ)>0,又θ为象限角,∴0<cos
5
θ<1,∴θ是第一象限角或第四象限角,故④错误.故选B.
10.(2022届安徽六安一中月考三,9)在平面直角坐标系xOy中,α为第四象限角,角α的终边与单位圆O交于
π 4
点P(x,y),若cos α+ = ,则x=( )
0 0 0
6 5
4√3-3 4√3+3 4√3-4 4√3±3
A. B. C. D.
10 10 10 10北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 A ∵α为第四象限角,∴-π+2kπ<α<2kπ,k∈Z,∴-π+2kπ<α+π<π+2kπ,k∈Z,∵cos( π)=4<√3
α+
2 3 6 6 6 5 2
,∴sin( α+ π)=- 3 ,则cos α=cos ( α+ π)- π = √3cos( α+ π)+ 1 sin( α+ π)= √3× 4 + 1 ×( - 3)=
6 5 6 6 2 6 2 6 2 5 2 5
4√3-3 4√3-3
,由三角函数的定义,得x=cos α= .故选A.
0
10 10
11.(2022届江西十七校期中,5)已知tan θ=2,则(sin θ-3cos θ)2-1的值为( )
4 4 1 1
A.- B. C.- D.
5 5 5 5
答案 A ∵tan θ=2,且sin2θ+cos2θ=1,∴(sin θ-3cos θ)2-1=sin2θ-6sin θcos θ+9cos2θ-1=8cos2θ-6sin θcos θ=
8cos2θ-6sinθcosθ=8-6tanθ=8-6×2=-4.故选A.
sin2θ+cos2θ tan2θ+1 22+1 5
12.(2021江西萍乡二模,5)已知tan α=-2,则sin 2α+cos2α的值为( )
4 4 3 3
A. B.- C. D.-
5 5 5 5
答案 D ∵tan α=-2,∴sin
2α+cos2α=2sinαcosα+cos2α=2tanα+1=-3.故选D.
sin2α+cos2α tan2α+1 5
13.(2020皖北名校3月联考,13)sin 613°+cos 1 063°+tan 30°的值为 .
√3
答案
3
解析 sin 613°+cos 1 063°+tan 30°=sin 253°+cos(-17°)+tan 30°=-sin 73°+cos(-17°)+tan 30°=-cos 17°+cos
√3
17°+tan 30°= .
3
14.(2021安徽黄山二模,13)若一扇形的圆心角为144°,半径为10 cm,则扇形的面积为 cm2.
答案 40π
144
解析 因为扇形的圆心角为144°,半径为10 cm,所以S = ·π·102=40π(cm2).
扇形 360北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
15.(2021山西三市五校3月联考,14)已知cos(π )+sin(π )=1,则cos2(3 )+cos β-1的取值
-α +β π+α
2 2 2
范围为 .
答案 [ 1 ]
- ,0
4
解析 由已知得cos β=1-sin α,∵-1≤cos β≤1,∴-1≤1-sin α≤1,即0≤sin α≤2,又-1≤sin α≤1,∴0≤sin α≤1.由诱导
公式可得cos2(3 )+cos β-1=sin2α+cos β-1=sin2α+1-sin α-1=sin2α-sin α=( 1) 2 -1.当sin α=
π+α sinα-
2 2 4
1时,上式取得最小值-1;当sin α=0或sin α=1时,上式取得最大值0,故所求代数式的取值范围为[ 1 ].
- ,0
2 4 4
三、解答题
16.(2022届宁夏长庆高级中学月考一,17)已知函数y=sin θ+cos θ+2sin θcos θ.
(1)设变量t=sin θ+cos θ,试用t表示y=f(t),并写出t的取值范围;
(2)求函数y=f(t)的值域.
解析 (1)因为t=sin θ+cos θ(θ∈R),sin2θ+cos2θ=1,所以2sin θcos θ=t2-1,故f(t)=t2+t-1,t=sin θ+cos θ=√2sin
( π)∈[- , ],故t的取值范围为[- , ].
θ+ √2√2 √2√2
4
(2)由(1)知y=f(t)=t2+t-1=( 1) 2 -5(t∈[- , ]),由二次函数的性质可知,y=f(t)的最小值为f( 1)=-5,
t+ √2√2 -
2 4 2 4
又f(- )=1- , f( )=1+ ,所以y=f(t)的值域为[ 5 ].
√2 √2 √2 √2 - ,1+√2
4
