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专练 20 同角三角函数的基本关系及诱导公式
授课提示：对应学生用书41页
[基础强化]
一、选择题
1．sin π＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：C
解析：sin π＝sin ＝sin ＝.
2．cos ＋cos π＋cos π＋cos π的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案：B
解析：cos ＋cos π＋cos π＋cos π
＝cos ＋cos π＋cos ＋cos
＝cos ＋cos π－cos π－cos
＝0.
3．若α∈，tan (α－7π)＝，则sin α＋cos α＝( )
A．± B．－ C． D．－
答案：D
解析：tan (α－7π)＝tan α＝>0，又α∈，∴α∈，∴sin α＝－，cos α＝－，∴sin α＋cos
α＝－.
4．已知2sin α－cos α＝0，则sin2α－2sinαcos α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
答案：A
解析：2sin α－cos α＝0，∴tan α＝，
∴sin2α－2sinαcos α＝＝＝＝－.
5．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则tan α＝( )
A． B．－
C． D．－
答案：B
解析：由三角函数的定义得cos α＝＝，解得x＝±或x＝0.因为点P(x，)在第二象限内，
所以x＝－，故tan α＝＝＝－.故选B.
6．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：A
解析：由sin α－cos α＝，得1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝1－＝－，即：sin 2α＝－.
7．[2024·全国甲卷(理)]已知＝，则tan (α＋)＝( )
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
答案：B
解析：∵＝＝，∴tan α＝1－，
∴tan (α＋)＝＝＝2－1，故选B.8．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则
＝( )
A．－ B．
C．0 D．
答案：B
解析：由三角函数的定义可知tan θ＝3，
∴＝
＝＝.
9．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α·＝( )
A．sin α－cos α
B．sin α＋cos α
C．cos α－sin α
D．－(sin α＋cos α)
答案：A
解析：＝＝＝，＝＝，
根据三角函数性质知1－sin α>0，1－cos α>0，再根据α为第二象限角知cos α<0，
sin α>0，所以原式＝cos α×＋sin α×＝sin α－cos α.
二、填空题
10．已知α∈，sin α＝－，则cos α＝________，tan (π＋α)＝________．
答案： －
解析：由α∈，sin α＝－，得cos α＝＝，tan(π＋α)＝tan α＝＝－.
11．若cos ＝，则sin ＝________．
答案：
解析：∵－θ＋π＋θ＝，
∴sin ＝cos ＝.
12．[2024·新课标Ⅱ卷]已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan
αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝__________．
答案：－
解析：∵tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，
∴tan (α＋β)＝＝＝－2.
∵2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，
1 1 1
2kπ＋π<β<2kπ＋，k∈Z，
2 2 2
∴2(k＋k)π＋π<α＋β<2(k＋k)π＋2π，k，k∈Z，
1 2 1 2 1 2
∴sin (α＋β)<0
{ eq ¿(sin （α＋β）,cos （α＋β）) ＝tan (α＋β)
∵.
sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1
∴sin (α＋β)＝－.
[能力提升]
13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，
a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A． B．
C． D．1
答案：B
解析：由题意得tan α＝＝b－a，
又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝，得|b－a|＝.
14．(多选)若θ是△ABC的一个内角，且cosθ<－，则下列结论正确的是( )
A．sin θ< B．tan θ>－2
C．cos 2θ>－ D．sin 2θ<－
答案：ABC
解析：因为θ是△ABC的一个内角，且cos θ<－，所以<θ<π.设cos φ＝－，则sin φ
＝，tan φ＝＝－2.因为函数y＝cos x在上单调递减，所以由cos θ<－＝cos φ，得<φ<θ<π.
对于A，因为函数y＝sin x在上单调递减，所以sin θtan φ，即tan θ>－2，故B正确；对于
C，因为cos θ<－，所以cos2θ>，所以cos2θ＝2cos2θ－1>2×－1＝－，故C正确；对于
D，sin2θ＝2sin θcos θ，当cos θ＝－时，sin θ＝，sin 2θ＝2××(－)＝－，故D不正确．
综上，选ABC.
15．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos (＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则
sin β的值为________．
答案：
解析：2tan (π－α)－3cos ＋5＝0化为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)
＝1化为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝.
16．设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序
号).
①cos (A＋B)＝cos C；
②cos ＝sin ；
③sin (2A＋B＋C)＝－sin A.
答案：②③
解析：由题意得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故①不正确；
由于＝－，∴cos ＝cos ＝sin ，故②正确；由于A＋B＋C＝π，
∴2A＋B＋C＝π＋A，
∴sin (2A＋B＋C)＝sin (π＋A)＝－sin A，故③正确．
