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4.3 三角函数的性质（精讲）
考向一 周期
【例1-1】（2025·吉林·模拟预测）函数
的最小正周期为
【答案】
【解析】
，
，
【例1-2】（2025·湖北十堰·三模）函数
的最小正周期为 ．
【答案】
/
【解析】因为
，
如下图所示：
结合图形可知，函数
的最小正周期为
.
故答案为：
.
【例1-3】（24-2 云南 ）（多选）下列四个函数中，以
为周期，且在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A：
的最小正周期为
，当
，
，
由
在
单调递增，所以
在区间
上单调递减，A 正确；
对于B：
的最小正周期为
，
在区间
上单调递增，所以
在区间
上单调递
减，B 正确；
对于C：
，当
，
，
由
在
不具有单调性，所以
在区间
上不具有单调性，C 错误；
对于D：
的最小正周期为
，当
，有
在区间
上单调递减，D 正确，
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2025·河南·模拟预测）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
的图象是由
的图象将
轴下方的图象翻折到
轴上方和
轴上方的图象组
成的，所以
的最小正周期是
的最小正周期的一半，
因为
的最小正周期为
，所以
的最小正周期为
．故选：C
2．（2025·陕西渭南·二模）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，其中
满足
，
.
所以函数
的最小正周期为
.
故选：C.
3．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）现给出四个函数①
，②
，③
，④
，其中所有周期函数的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】C
【解析】对于③，因
为偶函数，其图象关于
轴对称，
又
是周期为
的奇函数，故
不是周期函数；
对于④，
是周期为
的函数；
对于①，易知
是周期为
的函数；
对于②，由
可知
是周期为
的函数.
故所有周期函数的序号是①②④.
故选：C.
4．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
，且
的最小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】因
，
则
的一个对称中心为
，一条对称轴为
，
又
最小值为
，则相邻对称中心与对称轴距离，即最小正周期的
为
，
则最小正周期为
，则
.
故选：B
考向二 单调性
【例2-1】（2025·陕西汉中·二模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，函数
的递增区间，即为函数
的递减区间，
由
，解得
，
所以
的单调递增区间为
.
故选：A.
【例2-2】（2025·重庆·模拟预测）下列四个函数中，以
为最小正周期，且在
上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A 选项，因为
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的最小正周期为
，
当
时，
，则函数
在
上单调递增，A 不满足条件；
对于B 选项，函数
的最小正周期为
，
且当
时，
，所以函数
在
上不单调，B 不满足条件；
对于C 选项，函数
的最小正周期为
，
当
时，
，则函数
在
上不单调，C 不满足条件；
对于D 选项，因为
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的最小正周期为
，
且当
时，
，故函数
在
上单调递减，D 满足条件.
故选：D.
【例2-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
在区间
内单调递增，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】由题
，
因为
在区间
内单调递增，所以
在区间
内单调递减，
所以
，
，解得
，
，
，所以只有当
时，不等式有解，解集为
，所以
的最大值为
.故选:A.
【一隅三反】
1．（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为
，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，易知
的最小正周期为
，但在区间
上单调递减，即A 错误；
对于B，易知
的最小正周期为
，所以B 错误；
对于C，
的最小正周期为
，且在区间
上单调递增，即C 正确；
对于D，显然
的最小正周期为
，即D 错误.
故选：C
2．（24-25 高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递减
C．
在
上单调递增
D．
在
上单调递增
【答案】B
【解析】因为
.
对于A 选项，当
时，
.
因为
在
上单调递增，而
,故函数
在
上单调递增，故A 错；
对于B 选项，当
时，
.
因为
在
上单调递减，而
,故函数
在
上单调递减，故B 对；
对于C 选项，当
时，
.
因为
在
上单调递增，在
上单调递减，故函数
在
上先增后减，故C
错；对于D 选项，当
时，
.
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，故函数
在
上先减后增，故D
错.
故选：B.
3 ．（2025·内蒙古包头·二模）已知
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知
，则
，
因
，则
，则
，
，
因
在
上单调递增，结合正弦函数图象性质可得
，解得
，
故
的取值范围是
.故选：B
考向三 奇偶性
【例3-1】（2025·湖北鄂州·一模）将函数
向右平移
个单位后，所得的函数
为
奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
将该函数的图象向右平移
个单位后，所得的函数
为奇函数，
则
，且有
，则
，
因为
，故当
时，
取最小值
.
故选：C.
【例3-2】（2025·山东聊城·模拟预测）若
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【解析】因为
是偶函数，所以它的定义域关于原点对称，
所以不等式
的解集关于原点对称，
所以不等式
的解集关于原点对称，
所以方程
的根互为相反数，
所以
，此时定义域为
，
设
，则函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，所以
，
所以
，所以函数
为奇函数，又
是偶函数，
所以
恒成立，
所以
是奇函数，于是
此时
，于是
或
，
故选：D．
【一隅三反】
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数
，且
是偶函数，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】
，其中
，
，
为偶函数，故
，解得
，
则
.故选：B
2．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
设
，则
且
为偶函数，
所以
为偶函数，
所以
，
，且
，
即
，化简可得
，
解得
，经检验，符合题意.
故选：C.
3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，则“
是函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当
时，
，故函数
为偶函数，即充分性成立；
当
为偶函数时，
，此时
不一定成立，即必要性不成立；
所以“
是函数
为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2024·四川乐山·三模）已知
，若存在常数
，使得
为奇函数，则
的可能
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，由
为奇函数，
得
是奇函数，
则必有函数
是偶函数，函数
是奇函数，
此时
，
因此
，当
时，
，
不存在整数
，使得
值为BCD，
当
时，
是奇函数.
故选：A
考向四 伸缩平移
【例4-1】（2025·湖北·二模）函数
的图象向右平移
个单位长度后，其图象
关于
轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】把函数
（
）的图象向右平移
个单位长度，
所得图象对应的函数是
（
），且它是偶函数，
所以
（
），
，（
），
又因为
，所以
.
故选：B．
【例4-2】（2025·山西太原·一模）将函数
的图象先向左平移
个单位，再向上
平移1 个单位后，所得的图象经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
向左平移
个单位，再向上平移1 个单位后，得到的新函数为
当
时，
,
化简得
,
即
,
则
,其中
，解得
,
，
又因为
,
所以
，所以
故选：C.
【一隅三反】
1．（2025·江苏南京·二模）把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再将图象
上所有的点向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
.
【答案】B
【解析】把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）后的函数为
，
再将图象上所有的点向右平移
个单位长度后的函数为
.
故选：B.
2．（2025·安徽安庆·二模）若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于原点成中心
对称，则
的最小正值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
将函数
的图象向右平移
个单位得
，
由该函数为奇函数可知
，
即
，所以
的最小正值为
.
故选：A
3．（2025·湖南·模拟预测）函数
的图象可以由（ ）
A．
的图象向右平移
个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）得到
B．
的图象向左平移
个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得到
C．
的图象上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位长度得到
D．
的图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度得到
【答案】C
【解析】对于A：将
的图象向右平移
个单位长度得到
，
再将
各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）得到
，故A 错误；
对于B：将
的图象向左平移
个单位长度得到
，
再将
各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得到
，故B 错误；
对于C：
的图象上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）得到
，
再将
向右平移
个单位长度得到
，故C 正确；
对于D：
的图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得到
，
再将
向左平移
个单位长度得到
，故D 错误.
故选：C
4 ．（24-25 辽宁大连·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，将
的图象
向左平移
个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】C
【解析】观察函数图象，函数
的最小正周期
，解得
，
由
，得
，又
，则
，
，将
的图象向左平移
个单位长度，
得
的图象，因此
，
所以
.
故选：C
5．（2025·辽宁·一模）若函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
,
所以函数
，因此
，
解得
，令
可得
，
其他选项中的值不存在整数k 能使得
成立.故选：D
考向五 最值
【例5-1】（2025·贵州·二模）函数
的最大值为（ ）
A．4
B．7
C．
D．15
【答案】B
【解析】函数
中，
，所以当
时，
.
故选：B
【例5-2】（2025·河北·模拟预测）函数
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，
，
根据倍角公式可得
，
令
，因为
，则
，可得
，
故选：A.
【例5-3】（2025·云南）若函数
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】由已知
，
，
由函数
在区间
上单调递增，知
，所以
的最大值为1.故选：A.
【例5-4】（2025·宁夏吴忠·一模）函数
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】
，
当
时，
有最小值
.
故选：B
【例5-5】（2024·江西上饶·一模）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
.
令
，
，此时函数变为
.
对于二次函数
，其对称轴为
.
当
时，
.
当
时，
.
所以
在
上的值域是
.
故选：A.
【例5-6】（2025·甘肃甘南·模拟预测）函数
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题知函数
的最小正周期为
．
当
时，
，
又
，所以
，
当
时，
，
又
，所以
，
所以函数
的最小值为
．
故选：B
【例5-7】（2024·广西桂林·三模）已知函数
在
上有最小值没有最大
值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，
当
时，
，若
在
上有最小值没有最大值，
则
，所以
.
故选：D
【一隅三反】
1．（23-24 上海奉贤·期中）函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】
，设
，
则
，
故答案为：
．
2．（24-25 湖北）设当
时，函数
取得最大值，则
.
【答案】
【解析】因为
，
令
，
，
则
，
当
，
，即
，
时，
取最大值，
此时
，
，所以
.
故答案为：
.
3．（2025·湖南·三模）若函数
是奇函数，则函数
在
上的最大
值是 .
【答案】
【解析】根据辅助角公式,对于
，得到
.
因为
是奇函数，所以
，即
，那么
.
当
为偶数时，
；当
为奇数时，
，所以
.
则
，对于任意
，有
，所以
是偶函
数.
根据正弦函数图象性质，
在
上，
的值从
增大到
，取绝对值后函数值从
减小到
，
所以
在
上单调递减；
在
上，
的值从
增大到
，所以
在
上单调递增.
分别计算区间端点处的函数值：
；
.
比较
与
大小，因为
，所以
在
上的最大值是
.
故答案为：
.
4．（24-25 山东烟台·期中）若函数
在
上的最小值为
，则t 的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得
，
因为
，
要使得
上的最小值为
，则满足
，
解得
，所以
，所以的最大值为
.
故选：D.
5．（24-25 高三下·广东茂名·阶段练习）已知函数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为R，
令
，整理得
，
则
，即
，当且仅当
时取等号，
则
，所以所求最大值为
.
故选：B
6．（2025·河南·二模）若函数
在区间
内没有最小值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，则
且
，
所以
在
上没有最小值，
若
，可得
，
若
且
，可得
，
，
所以
，
综上，
.
故选：D
考向六 函数性质的综合应用
【例6-1】（2025·河南郑州·三模）（多选）函数
，则下列关于
的说法中正确的
是（ ）
A．最小正周期是
B．最大值是2
C．是区间
上的增函数
D．图象关于点
中心对称
【答案】AC
【解析】
，
所以
的最小正周期
，A 正确；
最大值是
，B 错误；
当
时，
，是
的单调递增区间，C 正确；
因为
，
，
，所以
图象不关于
中心对称，D 错误.
故选：AC.
【例6-2】（2025·甘肃·模拟预测）（多选）已知函数
的部分图象
如图，则（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．函数
在区间
上单调递增
【答案】AC
【解析】由函数
的图象可知
解得
设函数
的最小正周期为
，由函数
的图象可知，
，
所以
，所以
.
由
，得
，又
，所以
，
所以
.故选项A 正确，选项B 错误.
令
，解得
，当
时，
，
所以函数
的图象关于点
对称.故C 正确.
令
，得
，
所以
的单调递增区间为
.
因为
，所以函数
在区间
上不单调.故选项D 错误.
故选：AC.
【例6-3】（2025·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的值域为
C．不存在
，使得
D．
在区间
上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A，函数
的定义域为R，
，因此
为偶函数，A 正确；
对于B，令
，函数
是R 上增函数，值域为R，函数
的值域为
，
因此
的值域为
，B 正确；
对于C，由选项B 知，存在唯一
使得
，则
，
且
，因此存在
，使得
，C 错误；
对于D，函数
在
上单调递增，
，
而函数
在
上单调递减，因此
在区间
上单调递减，D 正确.
故选：ABD
【例6-4】（2025·广东佛山·二模）（多选）已知函数
，则
（ ）
A．最小正周期为
B．是奇函数
C．在
上单调递增
D．最大值为1
【答案】BD
【解析】由
，显然
不是
的周期，A 错；
由
的定义域为R，且
，所以
为奇函数，B 对；
由解析式，易得
，显然在
上不是单调递增，C 错；
由
，
令
，则
，且
，
若
，则
，又
在
、
上都单调递减，
在
上
，
，在
上
，
，
所以
的最大值为1，D 对.
故选：BD
【一隅三反】
1．（2025·河南安阳·三模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的值域是
B．
C．
在区间
上单调递增
D．
是奇函数
【答案】ABD
【解析】对于A，因为
的值域为
，所以
的值域为
，故A 正确；
对于B，
，故B 正确；
对于C，当
时，
，
因为
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
在区间
上不单调，故C 错误；
对于D，
，为奇函数，故D 正确.
故选：ABD.
2．（2025·河南·二模）（多选）已知如图是函数
，（
，
）的部分图象，
则（ ）
A．
的图象关于
中心对称
B．
在
单调递增
C．
在点
处的切线方程为
D．
的图象向左平移
个单位长度后为偶函数
【答案】BCD
【解析】由图可得
，即
，
而
，可得
，
又
，即
，
可得
，
，
可得
，
，
又
，且
，即
，即
，可得
，
，
对于选项A，
，
，
不是函数的对称中心，故A 不正确；
对于选项B，
，可得
，
函数在
上是单调递增，故B 正确；
对于选项C 中，
，
，
则
在点
处的切线方程为
，故C 正确；
对于选项D 中，将
向左平移
个单位后，
可得
，则
为偶函数，故D 正确.
故选：BCD
3．（2025·山东日照·二模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的最小正周期是π
C．
的值域为
D．
在
上单调递增
【答案】AC
【解析】函数的定义域为R，且
，
所以
是偶函数，A 对；
在
上
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数部分图象如下(注意偶函数的对称性)，
由图知，所以
的最小正周期为
，值域为
，B 错、C 对；
由
且
，结合图知
在
上不单调，D 错.
故选：AC.
考向七 零点或交点
【例7-1】（2025·甘肃金昌·二模）函数
与
的图象在区间
上的交点个数为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】D
【解析】在同一直角坐标系中画出函数
和
在区间
上的图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有9 个交点，
故选：D．
【例7-2】．（2025·山东·模拟预测）某导航通讯的信号可以用函数
近似模拟，若方程
在
上有3 个根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】方程
在
上有3 个根，即
在
上有3 个根，也即是
与
的图象在
上有3 个交点，
令
，因为
，所以
.
由题意得，函数
的图象与直线
有三个交点，
所以
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2025·河北·二模）已知函数
满足
恒成立，则当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】因为
恒成立，所以
为
的一条对称轴，
那么
，所以
，
解得
，
，
与
的图象如图所示：
由图可知，曲线
与
的交点个数为4．
故选：B
2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知函数
，则此函数在区间
内零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】令
得
，
，
当
或
或
时，
，但
，故不是函数零点，
当
且
且
时，
，
同一坐标系内画出
与
在
上的图象，如下：
可以看出上，
与
在
上共有3 个交点，
故零点个数为3 个，分别为
.
故选：D
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
，记方程
在
上
的根从小到大依次为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
则
，即
，
即
∵
，∴
令
，则
,
函数
在
上的图象如下图所示，
由图可知，
与
共有5 个交点，
所以：
其中
，
即
，
，
解得
，
所以
.
故选：C
4．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数
，若
在区间
上有且
仅有一个零点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】由函数
，
可得
，
则
，
所以函数
是
上的偶函数，
若有且仅有一个零点，则必有
，即
，解得
．
故选：D．
考向八 ω 的求法
【例8-1】（24-25 高三下·重庆·阶段练习）记函数
的最小正周期为T．若
，且
对
恒成立，则
最小值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】B
【解析】
或
，
因为
对
恒成立，所以
，
①
；
②
；
故选：B．
【例8-2】（2025·甘肃金昌·二模）已知
，函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象
B．若将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，则实数
的最小值为
C．若
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
D．若
在区间
上只有一个零点，则
的取值范围为
【答案】D
【解析】对于选项A，若
，则将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象对应的函数为
，故选项A 错误；
对于选项B，
，则
，解得
，
又因为
，故当
时，
取得最小值，最小值为
，故选项B 错误；
对于选项C，若
在区间
上单调递增，则有
，
解得
，又
，
所以
，所以
的取值范围为
，故选项C 错误；
对于选项D，若
在区间
上只有一个零点，则有
，
解得
，故选项D 正确.
故选：D
【一隅三反】
1．（24-25 四川南充·期中）已知函数
的最大值为2，若
在
区间
上有2 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
所以当
时，
取到最大值
，
解得
，所以
.
令
，
在区间
上有2 个零点，
即
在区间
上有2 个零点，
，解得
.
故选：D
2．（2025·全国·模拟预测）已知函数
在
上恰好有一个零点，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，由
，得
，
函数
在
上恰好有一个零点，等价于函数
在
上只有一个零点，
所以结合余弦函数的部分图象得
，解得
.
故选：C
法二：令
，得
，则
，
由
，得
，得
.
因为满足题意的零点只有一个，即满足
的整数
只有一个，必为
，
所以
，解得
.
故选：C.
3．（2025·山西吕梁·一模）（多选）已知
，若对
，使得
成立，若
在区间
上的值域为
，则实数
的值可能是
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】ABC
【解析】依题意，
，其中锐角
由
确定，
，
函数
在
上单调递增，
，
由
，使得
成立，得
，
而
在区间
上的值域为
，则存在
，使得
，因此
，解得
，
函数
，当
时，
，
又
在区间
上的值域为
，
，则
，解得
，
所以实数
的取值范围是
，ABC 可能，D 不可能.
故选：ABC
4．（2025·辽宁·模拟预测）设
，已知函数
在区间
内恰有2025 个零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，得
，
，所以
，
，
又
，所以
，所以
，
，
所以
，
，
由题可得方程
有2025 个根，
即曲线
与直线
，
在区间
内共有2025 个交点.
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，…，
由题意及曲线
在区间
内的图象可知方程
分别有两个不同实根，且各根
均不同，所以需
，所以
.
故选：D.
