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2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 不等式的性质
【例1-1】（2022·北京·高三学业考试）已知a，b是实数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 ，所以 ，A选项正确. ，BD选项错误.
，C选项错误.故选：A
【例1-2】（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知a，b， ，那么下列命题中正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【解析】 ．若 ，当 时， ，所以 不成立；
．若 ，当 时，则 ，所以 不成立；．因为 ，将 两边同除以 ，则 ，所以 成立
．若 且 ，当 时，则 ，所以 ，则 不成立．故选： ．
【一隅三反】
1．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））若 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，若 ，则 ，所以A错误，
对于B，若 ，则 ，所以B错误，
对于C，若 ，则 ，所以C错误，
对于D，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以D正确，
故选：D
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A. 当 时， ，故错误；
B. 当 时， ，故错误；
C. 当 时， ，不成立，故错误；
D. 由 ，则 ，则 ，故正确；故选：D
3．（2022·北京房山·一模）若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】取 满足 ，且 ，此时 ，A错误；
取 满足 ，且 ，此时 ，B错误；
可得 ，C正确；
取 满足 ，且 ，此时 ，D错误.故选：C.
考点二 代数式的范围
【例2】（2022·全国·高三专题练习）设实数 、 满足 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知得， ， ，故 ，故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第一中学校）已知 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 解得 ， ∴ ，
又 ， ，∴ 即 .故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，由 ，得 .故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 .
设 ，所以 ，解得： ，
，
因为 ， ，所以 ，
因为 单调递增，所以 .故选：C
考点三 比较大小
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设 ＜ ＜ ＜1，则( )
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
【答案】C
【解析】∵ ＜ ＜ ＜1，∴0＜a＜b＜1.∴ ＝aa－b＞1.∴ab＜aa.
∵ ＝ ，,0＜ ＜1，a＞0，∴ ＜1.∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.故答案为C
【例3-2】（2022·山东·滕州市第一中学新校高三开学考试）已知 ，则（ ）A． B． C．a<c<b D．c<a<b
【答案】D
【解析】 ，
设 ， ， 当 时，
与 相交于点 和原点 时，
，即 故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·江苏江苏·高三期末）已知 ＝ ，b＝3－ln4，c＝ ，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】C
【解析】 ， ,即 ，
， ，
， ， ，故选：C
2．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因 ，所以 且 ，所以 ，所以 ，故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则下列结论正确的序号是（ ）
① ，② ，③ ，④若 ，则
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】B
【解析】因为 ，即 ，则 ，得 .
对于①，因为指数函数 为 上的减函数，则 ，①对；
对于②， ，则 ，②错；
对于③，构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，则 ，即 ，
故 ，③对；
对于④， ，则 ，则 ，④错.故选：B.
考点四 已知一元二次不等式的解求参
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为 ，则不等式
2x2+bx+a＜0的解集为_____.
【答案】（﹣2，3）
【解析】∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x| }，∴ ， 是ax2+bx+2＝0的一元二次方程的两个实数根，∴ ，解得a＝﹣12，b＝﹣2.
则不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣2x﹣12＜0，即x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3.
∴不等式2x2+bx+a＜0的解集为（﹣2，3）.故答案为：（﹣2，3）.
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习（理））若关于 的不等式 的解集为 或 ，则实
数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据原不等式可以推出 ，
因为不等式 的解集为 或 ，所以 ， 是方程 的两根，且 ，
所以 .故选:A
【例4-3】（2022·上海·高三专题练习）已知 关于x的一元二次不等式 的解集中有且仅
有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】C
【解析】设 ，其图象为开口向上，对称轴为 的抛物线，
根据题意可得， ，解得 ，
因为 解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得 ，即 ，
解得 ，又 所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.故选：C【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知关于x的不等式 的解集为 ，
则（ ）
A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集为
【答案】ABD
【解析】关于 的不等式 的解集为 选项正确；
且－2和3是关于 的方程 的两根，由韦达定理得 ，
则 ，则 ，C选项错误；
不等式 即为 ，解得 选项正确；
不等式 即为 ，即 ，解得 或 选项正确.
故选： .
2．（2022·全国·高三专题练习）关于x的不等式 的解集为 ，则实数a的值为（ ）A． B． C． D．4
【答案】D
【解析】由 且 不等于1，由题意得， ，解得
.故选：D.
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】一元二次不等式 的解集为 ，所以 ， 是方程 的两个
根，所以 ， ，即 ， ，则 ，可知其解集为
，故选：C．
考点五 一元二次不等式恒成立问题
【例5-1】（2022·浙江·高三专题练习）已知不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 解得 故选：B
【例5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，“ 对 恒成立”的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，对 恒成立；
当 时，若 ，对 恒成立，
则必须有 ，解之得 ，综上， 的取值范围为 .
故“ 对 恒成立”的一个充要条件是 ，故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知“ ，使得不等式 ”不成立，则下列a的取值范
围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为“ ，使得不等式 ”不成立，则不等式 对 恒成
立，
等价于 时 恒成立，因为 ．故BCD不正确．故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的范围是
（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【解析】当 时，该不等式为 ，解集为 ，不成立；当 时，由不等式的解集为 ，得 ，解得 ，故选：B.
考点六 解含参的一元二次不等式
【例6】（2022·全国·高三专题练习）解关于x的不等式 ．
【答案】答案见解析.
【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1．
②当a＞0时，原不等式化为 (x＋1)≥0，解得x≥ 或x≤－1．
③当a＜0时，原不等式化为 (x＋1)≤0．
当 ＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤ ；
当 ＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当 ＜－1，即－2＜a＜0，解得 ≤x≤－1．
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为 或 ；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为 ；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为 ．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）解关于 的不等式： ( )．
【答案】当① 或 时，不等式的解集为 ；②当 或 时，不等式的解集为 ；
③当 或 时，不等式的解集为 ．
【解析】原不等式化为 ，
① 或 时，不等式为 ，所以不等式的解集为 ；
②当 或 时， ，不等式的解集为 ；
③当 或 时， ，不等式的解集为 ．
综上所述：当① 或 时，不等式的解集为 ；②当 或 时，不等式的解集为 ；③
当 或 时，不等式的解集为 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）解关于x的不等式 .
【答案】答案见解析.
【解析】当 时，不等式 的解为 ；
当 时，不等式对应方程的根为 或2，
①当 时，不等式 即 的解集为 ；
②当 时，不等式 的解集为 ；
③当 时，不等式 的解集为 ；
④当 时，不等式 的解集为 .
综上所述，当 时，不等式解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
3．（2022·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式：
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）
【答案】（1） ；（2）见详解；（3）见详解.
【解析】（1）由 可得： ，
又因为 ，解得： ,所以原不等式的解集为 ；
（2） ，
当 时， ， 无实数解，
当 时， ， 的无实数解，
当 时， ， 的解为 ，
综上，当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为
（3）由 可得 ，当 时， 的解为 ，
当 时， 的解为 或 ，
当 时， 的解为 ，
综上，当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 或 ，
当 时，原不等式的解集为 .
