文档内容
北京 22 中、21 中联盟校 2021-2022 学年度月考试卷初三年级数学学科
一、选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共16分，每小题2分）
1. 下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
①2x2－3＝0； ②x2＋y2＝5； ③ ； ④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2，这样的整式方程是一元二次方程，根据定
义逐一判断即可得到答案.
【详解】解： 是一元二次方程，
不是一元二次方程，
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知定义并能运用定义判断一元二次方程是解本题的关键.
2. 下列叙述正确的是（ ）
A. 形如 的方程叫一元二次方程
B. 方程 不含有常数项
C. 一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0
D. 是关于y的一元二次方程
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式，形如 的方程叫一元二次方程，可得答案．
【详解】解：A．形如 的方程叫一元二次方程，故A不符合题意；
B．方程 的一般形式是 ，常数项是 ，故B不符合题意；
C．一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数及常数项可以为0，故C不符合题意；D． 是关于y的一元二次方程，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的一般形式是解题关键．
3. 如图，△ABC经过变换得到△AB'C'，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别确定每个选项中的各组对应点，各组对应线段，观察变换前后的位置特征结合轴对称变换与
旋转变换的特征逐一分析，从而可得答案.
【详解】解：选项A体现的是把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到 故A不符合题意；
选项B体现的是把△ABC沿某条直线对折得到 故B不符合题意；
选项C体现的是把△ABC沿某条直线对折得到 故C不符合题意；
选项D体现的是把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到 故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是轴对称变换，旋转变换，掌握轴对称变换与旋转变换的特征是解题的关键.
4. 抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （1，3） B. （﹣1，3） C. （1，﹣3） D. （3，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
故选：A．
【点晴】本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记．
5. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【解析】
的
【分析】先计算出判别式 值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行
判断．
【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞
0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6. 老师给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的
增大而增大；⑤若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．其中正确的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】先求解抛物线的对称轴方程及顶点坐标，结合在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，可判断①，
②； 根据函数的对称性，先求解x=4时，y=0，结合函数图象可判断③；由①知，函数的对称轴为x=1，
抛物线开口向上，可判断④；由抛物线的顶点坐标为（1，-9），结合函数图象可判断⑤．
【详解】解： 抛物线过点抛物线的对称轴为：
抛物线的顶点坐标为： 则抛物线的开口向上，
故①符合题意；②不符合题意；
当x=-2时，y=0，根据函数的对称性，则x=4时，y=0，
故当-2＜x＜4时，y＜0，故③正确，符合题意；
由①知，函数的对称轴为x=1，抛物线开口向上，
故当x＞1时，y随x的增大而增大正确，故④符合题意；
抛物线的顶点坐标为（1，-9），
故方程ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根，则m＞-9，正确，故⑤符合题意；
综上：符合题意的有①③④⑤
故选：C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数
与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
7. 如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别
为D，E，连接 ．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转可知 ，即可求出 ，由于 ，则可判断
，即A选项错误；由旋转可知 ，由于 ，即推出 ，即B选项错误；由三角形三边关系可知 ，即可推出 ，即C选项错误；由旋转可
知 ，再由 ，即可证明 为等边三角形，即推出 ．即可求出
，即证明
，即D选项正确；
【详解】由旋转可知 ，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ 为钝角，
∴ ，
∴ ，故B选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ，故D选项正确，符合题意；故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形
结合的思想是解答本题的关键．
8. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起
跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系 （ ）．
下图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞
行到最高点时，水平距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.
详解：设对称轴为 ，
由（ ， ）和（ ， ）可知， ，
由（ ， ）和（ ， ）可知， ，
∴ ，
故选B．
点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.二．填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．
【答案】x=x=2
1 2
【解析】
【分析】根据配方法即可解方程.
【详解】解：x2﹣4x+4=0
（x-2）2=0
∴x=x=2
1 2
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程,属于简单题,选择配方法是解题关键.
10. 已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m2﹣9m﹣2＝_____．
【答案】10
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣3m＝4，再把3m2﹣9m变形为3（m2﹣2m）﹣2，然后利用
整体代入的方法计算．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称
为一元二次方程的解．
【详解】解：∵m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣4＝0，
∴m2﹣3m＝4，
∴3m2﹣9m﹣2＝3（m2﹣3m）﹣2＝3×4﹣2＝10．
故答案是：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，理解定义是解题的关键．
11. 若二次函数y＝2x2－3的图象上有两个点A(1，m)，B(2，n)，则m___n(填“<”“＝”或“>”)．
【答案】<
【解析】
【详解】本题考查二次函数的性质
因点A(1，m)， 在函数的图象上，则有 ，
所以
12. 如图， ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是 ，现将 ABC绕A点按逆时
针方向旋转 ，则旋转后点C对应点的坐标是___________．【答案】
【解析】
【分析】根据图形在坐标中的旋转步骤，对线段AB、AC先逆时针旋转，然后连接BC即可得出旋转后的
图形，直接读出点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，逆时针旋转后的图形如图，
根据图像可得：点C的坐标为： ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查图形在坐标系中的旋转，掌握图形旋转步骤是解题关键．
13. 如图，抛物线 的对称轴为 ，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐
标为（4，0），则点Q的坐标为__________．
【答案】（ ，0）
【解析】【详解】∵抛物线 的对称轴为 ，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，
∴点P和点Q关于直线 对称，
又∵点P的坐标为（4，0），
∴点Q的坐标为（-2，0）．
故答案为（-2，0）．
14. 如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，若 且 于点 ，则 的
度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求
解．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
的
15. 已知抛物线y＝ax2+bx+c 对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如
图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤当x＜2时，y随x的增
大而增大，你认为其中正确的是 _____.（填序号）【答案】①②④
【解析】
【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；
②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b＝﹣4a，即4a+b＝0，结论②正确；
③根据抛物线的对称性结合当x＝1时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；
④根据抛物线与x轴有两个交点，所以 ，即有b2＞4ac，结论④正确；
⑤观察函数图象可知，当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，
∴ ＝2，c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝0，
∴4a+b＝0，结论②正确；
为
③∵当x＝﹣1时，y值 正，
∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④根据抛物线与x轴有两个交点，即 有两个不等的实数根，所以 ，即有b2
＞4ac，结论④正确；
⑤当x＜2时，y随x的增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故答案是：①②④．
【点睛】主要考查抛物线与x轴的交点，图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b
的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
16. 定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B（1，y），B（2，y），B（3，y），… B
1 1 2 2 3 3 n
（n，y ）（n为正整数）依次是直线 上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A
n 1
（a，0），A（a，0），A（a，0），…A （a ，0）（0＜a＜1，n为正整数）．若这组抛物线中存
1 2 2 3 3 n+1 n+1 1
在和美抛物线，则a＝___．
1
【答案】 或
【解析】
【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所
以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又 ，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等
腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足和
美抛物线对应的顶点，再确定抛物线与 轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得 的值．
【详解】解： 直线 ，
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形，
该等腰三角形的高等于斜边的一半，
该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于
当 时， ，
当 时， ，当 时， ；
和美抛物线的顶点只有 、
①若 为顶点，由 ， ，则
②若 为顶点，由 ，则 综上所述， 的值为 或 时，存在和美抛
物线．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数抛物线的对称性，等腰直角三角形，抛物线与 轴的交点，解题
的关键是掌握抛物线的对称性．
三、解答题（本题共68分；第17题，每小题4分，第18－24题5分，第25－27题，每小题
6分，第28题，每小题7分）
17. 解方程：（1） （2）6x2－x－2＝0．
【答案】（1） ， ；（2） ，
【解析】
【分析】（1）先移项，再方程两边都除以3，再方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程
的解；
（2）通过因式分解法即可求解．
【详解】解：（1） ，
移项，得 ，
，
开方，得 ，
解得： ， ；（2） ，
，
， ，
解得： ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是能选择适当的方法解一元二次方程，注意：解一元二
次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系，
的顶点均在格点上，点 的坐标为（1，0）．
（1）画出将 原点 按顺时针旋转90°所得的 ，并写出 点的坐标．
（2）求线段 的长度．
【答案】（1）画图见解析， ；（2）
【解析】
【分析】（1）分别确定 绕 顺时针旋转 后的对应点 再画出三角形即可，根据 的
位置可得其坐标；
（2）连接 再在网格直角三角形中利用勾股定理直接计算即可.
【详解】解：（1）如图， 即为所求作的三角形，（2）如图，连接 ，
由勾股定理可得：
【点睛】本题考查的是旋转的作图，坐标与图形，勾股定理的应用，二次根式的化简，掌握旋转的三要素，
勾股定理的含义是解题的关键.
19. 如图，在 中， ．将 绕点 按逆时针方向旋转后得 ，连接 ．当
时，求 的度数．【答案】 ．
【解析】
【分析】由旋转的性质得出△ADE≌△ABC，则∠C=∠E=40°，由平行线的性质有∠E=∠EAC，得出
∠ABD=∠ADB，则可求出答案．
【详解】∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠C=∠E=40°，
∵DE∥AC，
∴∠E=∠EAC，
又∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD=∠C=40°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD= (180°-∠BAD)=70°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质
是解题的关键．
20. 已知抛物线C ：y＝（x+2）2﹣1，抛物线C ，的顶点为A，与y轴的交点为B．
1 1
（1）点A的坐标是________，点B的坐标是_______；
（2）在平面直角坐标系中画出C 的图象（不必列表）；
1
（3）将抛物线C 向下平移3个单位，向右平移2个单位后得到抛物线C ，画出平移后的抛物线C 并写出
1 2 2
抛物线C 的解析式．
2【答案】（1）（-2，-1）；（0，3）；（2）见解析；（3）画图见解析；y＝x2﹣4．
【解析】
【分析】（1）根据顶点式即可求得；
（2）利用五点法画出图象即可；
（3）画出平移后的图象，根据图象即可得到平移方向和距离，从而求得抛物线C 的解析式．
2
【详解】解：（1）∵抛物线C ：y＝（x+2）2﹣1，
1
∴顶点A的坐标为（﹣2，﹣1），
令x＝0，则y＝3，
∴与y轴的交点B为（0，3）；
故答案为：（﹣2，﹣1），（0，3）；
（2）画出C 的图象如图：
1
（3）如上图，
∵B（0，3），A（﹣2，﹣1），
∴B点向下平移3个单位，向右平移2个单位得到C ，
2∴平移后的顶点D的坐标为（0，﹣4），
∴抛物线C 的解析式为y＝x2﹣4．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，二次函数的顶点坐标，画二次函数图像，解题的关键在于
能够熟练掌握相关知识进行求解．
21. 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为满足条件的最大整数，求方程的根．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即得；
（2）根据（1）得出方程，再利用因式分解法解一元二次方程即得．
【详解】（1）∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，且原方程中
∴
∴
（2）由（1）得：
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及因式分解法求解，解题关键是熟知一元二次方程有两个不
等实根等价于判别式 ．
22. 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x
（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
【解析】
【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；
（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
【详解】（1）y=w（x﹣20）
=（﹣2x+80）（x﹣20）
=﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y=﹣2（x﹣30）2+200．
∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y =200．
最大值
答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用．（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最
大值．
23. 有这样一个问题：探究函数y= （x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x的性质．
(1)先从简单情况开始探究：
①当函数y= （x﹣1）+x时，y随x增大而 （填“增大”或“减小”）；
②当函数y= （x﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为 ；
(2)当函数y= （x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时，
下表为其y与x的几组对应值．
x … ﹣ 0 1 2 3 4 …
﹣
y … ﹣3 1 2 3 7 …
①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数
的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．【答案】（1）①增大；②（1，1），（2，2）； （2）①图形见解析（3）性质见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）①整理成一次函数的一般式，根据一次函数的性质得出即可；
②求出组成的方程组的解，即可得出答案；
（2）①把各个点用平滑的曲线连接即可；②根据图象和（1）中结论写出一个符合的信息即可．
试题分析 ：
解：（1）①∵y＝ (x－1)＋x＝ x－ ，
k＝ ＞0，
∴y随x增大而增大，
故答案为增大；
②解方程组
得： ， ，
所以两函数的交点坐标为（1，1），（2，2），
故答案为（1，1），（2，2）；
（2）①如图：②该函数的性质：
a、y随x的增大而增大；
b、函数的图象经过第一、三、四象限；
c、函数的图象与x轴y轴各有一个交点；
d、函数图象与直线y＝x的交点坐标为（1，1）（2，2）（3，3）．
24. 随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018
年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
【答案】（1）2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）预计2021年该省将新
增0.576万个公共充电桩．
【解析】
【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据该省2018年及2020年
公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该省2021年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论．
【详解】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x=0.2=20%，x=-2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．
（2）2.88×20%=0.576（万个）．
答：预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
的
25. 已知关于 一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
的
（2）设关于 一元二次方程 的两实数根为 ，然后根据一元二次方程根与系
数的关系可得 ，进而可得 ，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有：
，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键．26. 如图，抛物线 与 轴交于两点 ， ．
（1）求 ， 的值．
（2）观察函数的图象，直接写出当 取何值时， ．
（3）设抛物线交 轴于点 ，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，
求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ＜ 或 ＞ ；（3）存在，
【解析】
【分析】（1）把 ， 代入 ，列方程组，从而可得答案；
（2）由 可得函数图象在 轴的上方，结合图象可得答案；
（3）由 关于 对称，连接 交对称轴于 则 则此时 的周长最短，再求
解 的解析式，从而可得答案.
【详解】解（1） 抛物线 与 轴交于两点 ， ，
解得：
（2）由（1）得：抛物线为：
而 ， ，当 时，函数图象在 轴的上方，结合图象可得：
＜ 或 ＞
（3）存在，理由如下：
如图，抛物线为：
抛物线的对称轴为：
由抛物线的对称性可得： 关于 对称，
连接 交对称轴于 则
此时 的周长最短，
设 为：
为：
当 时，【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解
三角形的最短周长时点的坐标，灵活应用以上知识解题是关键.
27. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ， ．
（1）当 时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；
②若抛物线G与线段 只有一个交点，求n的取值范围；
（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段 有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．
【答案】(1) ①（2，0）、（0，0），②0≤n＜2；(2) n≤-3或n≥1
【解析】
【分析】（1）①把a=1代入二次函数表达式得：y=4x2-8x，令y=0，即可求解；
②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x=-1时，y≥0（已经成立），x=n时，y＜0，且n＞-1，即可求解；
（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x=-1时，y≥0，x=n时，y≥0，即可求解．
【详解】解：（1）①把a=1代入二次函数表达式得：y=4x2-8x，
令y=0，即4x2-8x=0，解得：x=0或2，
即抛物线G与x轴的交点坐标为：（2，0）、（0，0）；
②抛物线G与线段AN只有一个交点，
由图知，当n=0时，抛物线G与线段AN有一个交点，
当n=2时，抛物线G与线段AN有两个交点，
∴0≤n＜2；（2）当y=0时， ，
∴ =a－1， ，
∴ 与x轴的交点坐标为（a－1，0），（a+1，0）
∵a－1＜a+1.
∴点（a－1，0）在（a+1,0）左侧，
又 ，
①当点N在点A的右侧时，
∵抛物线G与线段 有两个交点，
∴
∴n≥1②当N在A的左侧时，由抛物线G与线段 有两个交点得
∴n≤﹣3
综上n的取值范围为：n≤-3或n≥1．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，解题关键在于利用二次函数图像与x轴交点位置来判断大小，
列出不等式确定n的取值范围，解题过程中注意正确分析出函数的图像．
28. 定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x，x（x＜x），分别以x，x
1 2 1 2 1 2
为横坐标和纵坐标得到点M（x，x），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
1 2
（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂
线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx
﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．【答案】（1）衍生点为M（0，2）；（2） ；（3）存在，b＝﹣6，c＝8；
【解析】
【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；
（2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；
（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；
【详解】解：（1）∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
解得：x＝0，x＝2
1 2
故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）．
（2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）
∵m＜0
∴2m＜0
解得：x＝2m，x＝1，
1 2
方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）．
点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围城一个正方
形，
所以2m＝﹣1，解得 ．
（3）存在．
直线y＝kx﹣2（k﹣2）＝k（x﹣2）+4，过定点M（2，4），
∴x2+bx+c＝0两个根为x＝2，x＝4，
1 2
∴2+4＝﹣b，2×4＝c，
∴b＝﹣6，c＝8．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，
学会用转化的思想思考问题．
