文档文本内容
第13 讲 利用导数研究函数的单调性极值最值
易错分析
易错点一 忽视检验满足极值的参数
题型方法
题型一 讨论函数的单调性（区间）
题型二 已知函数单调性求参数（范围）
题型三 求函数的极值（点）
题型四 已知函数极值情况求参数（范围）
题型五 求函数的最值
题型六 已知函数最值情况求参数（范围）
1．函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，
b)上可导
f′(x)>0
f(x)在区间(a，b)上________
f′(x)<0
f(x)在区间(a，b)上________
题型梳理
知识清单
f′(x)＝0
f(x)在区间(a，b)上是________
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1 步，确定函数的
；
第2 步，求出导数f′(x)的
；
第3 步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)
在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0 恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当
x∈(a，b)时，f′(x)≤0 恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0 有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，
则当x∈(a，b)时，f′(x)<0 有解
3．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a 处的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左
侧 ，右侧 ，则a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b 处的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b 附近的左
侧 ，右侧 ，则b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为
，极小值和极大值统称为
．
4．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条
的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的
；
②将函数y＝f(x)的各极值与
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件
【易错点一】忽视检验满足极值的参数
【例1】已知函数
在
处取得极值10，则
A．
或
B．
或
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数
在
处有极值
，则
等于（ ）
A．
B．16
C．
或16
D．16 或18
【变式2】（2022·新疆·三模）若函数
在
处有极值10，则
（ ）
A．6
B．
C．
或15
D．6 或
【变式3】（2022·宁夏银川·一模）已知函数
，若
时，
取得极值0，则
.
【题型一】讨论函数的单调性（区间）
【例1】（2023·全国·模拟预测）已知函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的
定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点
【举一反三】【变式1】（2025·海南·模拟预测）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
易错分析
题型方法
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数
的单调递减区间是 .
【变式3】（2025·海南·模拟预测）已知函数
的图象在
处的切线与直线
平行．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，且
时，
，求实数
的取值范围．
【题型二】已知函数单调性求参数（范围）
【例2】（2025·湖南长沙·二模）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集
【举一反三】【变式1】（2025·河北·模拟预测）已知
，
，两个函数图象至少有一个在
区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·山西·模拟预测）若函数
在区间
单调递增，则
的取值范围是 .
【变式3】（2025·黑龙江·一模）设函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
为增函数，求
的取值范围.
【题型三】求函数的极值（点）
【例3】（2024·江西新余·模拟预测）函数
在其定义域内的极小值点为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
是函数
的极值点，则函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【变式2】（2025·广东·模拟预测）已知函数
，则
的极小值为 .
【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
(1)当
时，求
单调区间
(2)讨论
极值点的个数.
【题型四】已知函数极值情况求参数（范围）
【例4】（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数
的极小值是
，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
解题技巧
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
【举一反三】【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数
在区间
上恰有3 个
极值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数
在
处取得极小值，则a 的值为
．
【变式3】（2025·重庆·三模）已知函数
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在区间
内有且仅有一个极值点，求实数
的取值范围.
【题型五】求函数的最值
【例5】（2022·全国乙卷·高考真题）函数
在区间
的最小值、最大值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从
而得到函数f(x)的最值．
【举一反三】【变式1】（2025·湖北黄冈·三模）已知函数
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2023·四川资阳·模拟预测）若函数
存在最小值，则
的取值范围是 ．
【变式3】（2025·湖南长沙·三模）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线经过原点，求
；
(2)若
，求
的最大值．
【题型六】已知函数最值情况求参数（范围）
【例6】（2022·全国甲卷·高考真题）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【举一反三】【变式1】（2025·四川自贡·三模）函数
，若
在
有最大值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·江苏扬州·三模）若函数
的最小值为2，则实数a 的值是 .
【变式3】（2025·福建·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的极值点；
(2)若函数
在区间
上的最小值为0，求实数
的值.
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·重庆·模拟预测）若
，
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
3．（2025·河南安阳·三模）已知函数
的极小值为
，则实数
的值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数
，若
有且仅有2 个整数解，则
的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（2025·云南·模拟预测）若函数
有两个极值点，则a 的值可以是（ ）
好题必刷
A．0
B．
C．
D．
7．（2025·重庆·模拟预测）若
，则下列结论正确的为（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
有最大值
D．
有最小值
8．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数
，则下列叙述正确的是（ ）
A．
有四个单调区间
B．
存在最小值
C．
有三个极值点，从小到大依次为
，则
成等差数列
D．
有三个极值点，从小到大依次为
，则
成等比数列
三、填空题
9．（2025·四川成都·模拟预测）若函数
存在唯一极值点，则实数a 的取值范围为 .
10．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数
在
处的切线与直线
垂直，则
的极小值为
．
四、解答题
11．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数
的图象在点
处的切线方程为
.
(1)求a，b 的值；
(2)求
的单调区间与极值.
12．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有极小值，且极小值大于
，求
的取值范围．
13．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的值域．
