文档文本内容
第15 讲 三角函数的图象和性质
易错分析
易错点一 忽略ω 的正负对三角函数性质的影响
题型方法
题型一 三角函数的图象变换
题型二 根据三角函数的部分图象求解析式
题型三 判断三角函数的单调性与最值
题型四 求三角函数的最小正周期
题型五 三角函数图象的对称性
题型六 极值、零点问题
题型七 ω 的求解
知识点01 用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π
，
0)
，，(2π，0)．
题型梳理
知识清单
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π
，－
1)
，，(2π，1)．
知识点02 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{ x | x ≠
kπ＋}
值域
[ －
1,1]
[ －
1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调递增区间
[2
k π －
π ，
2 k π]
单调递减区间
[2
k π ，
2 k π ＋
π]
对称中心
( k π ，
0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x ＝
k π
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是
个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
【易错点一】忽略ω 的正负对三角函数性质的影响
【例1】（2023·河南·模拟预测）已知函数
，
，则
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】利用余弦函数的性质求解即可.
【详解】
可化为
，故单调增区间：
，
，
解得
，
.
令
，
，令
，
.
，
所以
的单调递增区间是
.
故选：D
【举一反三】【变式1】（2021·陕西咸阳·一模）设函数
，则
在
上的单调递减区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求出函数
的减区间，再与
求交集妈阿中得．
【详解】由已知
，
易错分析
，
，
又
，∴减区间为
．
故选：D．
【变式2】已知函数
，则函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的性质即得.
【详解】∵函数
，
由
，
可得
，
∴函数
的单调递减区间为
.
故选：D．
【变式3】（2025·宁夏·一模）已知函数
，则函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换得
，再求出其单调区间即可.
【详解】
，
令
，
解得
，所以其单调递增区间为
.
故选：A.
【题型一】三角函数的图象变换
【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数
（
）向左正移
个单位后在区间
上单调
递增，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.
【详解】函数
向左平移
个单位后为
，
当
时，
，
∵
单调递增，
所以
，即
，
题型方法
可得
，
又
，∴
.
故选：B.
解题技巧
(1)由y＝sin ωx 的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ 个
单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω 为负时应
先变成正值
【举一反三】【变式1】（2024·福建厦门·三模）将函数
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将
化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【详解】因为
，
所以
.
故选：A
【变式2】（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再
将图象上所有的点向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
.
【答案】
【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案.
【详解】函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），可得
，
再将图象上所有的点向右平移
个单位长度，可得
，
即
故答案为：
【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若函数
，求函数
的最大值.
【答案】(1)
或
；
(2)
.
【分析】（1）由已知及倍角余弦公式可得
，结合正弦函数性质求解集即可；
（2）设
，原函数化为
，利用导数求极值、端点值，并比较大小即可得最大值.
【详解】（1）由
得：
，
所以
，得
，
所以
或
，
的取值范围为
或
.
（2）由
，设
，
函数
，
可得
令
且
得：
，
当
时，
，
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，易知
最大，
函数
的最大值为
.
【题型二】根据三角函数的部分图象求解析式
【例2】（2022·全国·模拟预测）已知函数
的部分图像如图，则
的
解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过三角函数图像的翻折可得
的值，结合五点作图的思想可得
和
的值，进而可得结果.
【详解】令
，
由图易得
，所以
，
，得
，
当
时，由五点作图可得
，
解得
，
，不满足
，故舍去，
所以
，结合
得
，
此时应满足
，结合
，解得
，
故
的解析式为
，
故选：B.
【举一反三】【变式1】（2020·宁夏银川·三模）已知函数
的部分图像如图，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据定义域排除A，根据奇偶性排除D，根据单调性排除B，即可得出答案.
【详解】由图象可知，函数
在
上单调递增，且为奇函数，
对A 项，由于定义域不是
，则A 错误；
对B 项，当
时，
，
；
.
则函数
在
不是单调递增，则B 错误；
对C 项，
，则函数
在
上单调递增，
又
，
则函数
为奇函数，则C 正确；
对D 项，
，
则函数
不是奇函数，则D 错误.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题.
【变式2】（2024·广东江门·模拟预测）已知函数
部分图像如图所示，则函数
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用排除法，结合奇偶性和零点分析判断.
【详解】对于选项A：因为
，可知
为偶函数，
但函数
的图象关于原点对称，不合题意，故A 错误；
对于选项BC：若
，则
，
即
，
，
可知函数
在
上没有零点，不合题意，故B，C 错误，
检验可知选项D 符合题意，故D 正确．
故选：D.
【变式3】（2025·江西九江·三模）若将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，则
．
【答案】
/
【分析】先根据余弦函数相位变换及诱导公式求得函数
解析式，然后利用特殊角的余弦值求解即可.
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度，所得图象对应的函数解析式为
，
所以
．
故答案为：
【题型三】判断三角函数的单调性与最值
【例3】（2022·北京·高考真题）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出
，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为
.
对于A 选项，当
时，
，则
在
上单调递增，A 错；
对于B 选项，当
时，
，则
在
上不单调，B 错；
对于C 选项，当
时，
，则
在
上单调递减，C 对；
对于D 选项，当
时，
，则
在
上不单调，D 错.
故选：C.
解题技巧
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，
通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω 化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
【举一反三】【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递
增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用给定最小正周期及单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，
的图象可由
的图象将x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到，
故其最小正周期为
，当
时，
在
上单调递增，A 是；
对于B，由A 的分析同理可知
的最小正周期为
，
当
时，
在
上单调递减，B 不是；
对于C，
的最小正周期为
，在
上单调递减，C 不是；
对于D，
的最小正周期为
，D 不是.
故选：A
【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
边上的高为.若
，则
的最大值为 .
【答案】4
【分析】利用三角形面积公式建立关系，将
转化为与角
相关的三角函数表达式，结合余弦定理即可得出.
【详解】利用面积公式和余弦定理：
面积：
，同时
，联立得：
，结合余弦定理
，
化简得：
,将表达式
,
转化为单一三角函数形式：
，其中振幅
,
故最大值为4.
故答案为：4.
【变式3】（2023·河南·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)求
在
上的值域．
【答案】(1)
的单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质，结合（1）的结论进行求解即可.
【详解】（1）令
，
，得
，
，
所以
的单调递增区间为
．
令
，
，得
，
，
所以
的单调递减区间为
，
综上所述，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）由（1）知
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
上的最大值为
，最小值为
，
在
上的最大值为
，最小值为
．
所以
在
上的最大值为2，最小值为－2，
即
在
上的值域为
．
【题型四】求三角函数的最小正周期
【例4】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A，
，周期
，故A 正确；
对B，
，周期
，故B 错误；
对于选项C，
，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；
对于选项D，
，周期
，故D 错误，
故选：A．
解题技巧
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx 或y＝Atan ωx 的形式，而偶函数一般
可化为y＝Acos ωx 的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx
＋φ)(ω>0)的周期为求解．
【举一反三】【变式1】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解.
【详解】函数
的最小正周期
，
故选：C．
【变式2】（2025·陕西汉中·一模）若函数
（
）的最小正周期为
，则
【答案】
/
【分析】利用余弦型函数周期公式计算得解.
【详解】由函数
的最小正周期为4，得
，所以
.
故答案为：
【变式3】（2022·四川绵阳·模拟预测）已知向量
，设函数
(1)求
的最小正周期.
(2)求函数
的单调递减区间.
(3)求
在
上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为 1，最小值为
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换即可化简
，由周期公式即可求解，
（2）利用整体法即可求解，
（3）根据
得
，即可结合三角函数的性质求解.
【详解】（1）由已知可得:
所以
.
（2）由
，
可得
，
的单调递减区间为
.
（3）
,
，
的最大值为 1 ，最小值为
.
【题型五】三角函数图象的对称性
【例5】（2023·天津·高考真题）已知函数
的图象关于直线
对称，且
的一个周期为4，则
的解
析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在
处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函
数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A 选项中
，B 选项中
，
C 选项中
，D 选项中
，
排除选项CD，
对于A 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一条对称轴，
故选：B.
【举一反三】【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数
的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，
，计算可得对称轴.
【详解】令
，
，解得
，
，
当
时，
，
所以函数
的图象的一条对称轴方程为
.
故选：D.
【变式2】（2023·全国·模拟预测）函数
的图象的对称中心为
【答案】
【分析】根据
的对称中心为
可求解.
【详解】令
，
，解得
，所以对称中心为
.
故答案为:
.
【变式3】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的对称中心及对称轴方程；
(2)当
时，求函数
的最大值和最小值．
【答案】(1)对称中心为
，对称轴方程为：
；
(2)最大值为
，最小值为0．
【分析】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为
，利用正弦函数的对称性，求
解即可．
（2）当
时，
，可得
，即可得出函数的最值．
【详解】（1）
，
令
，解得
，
对称轴方程为：
．
令
，解得
，
函数
的对称中心为
．
（2）当
时，
，
由正弦函数的性质可知，
的最大值为1，最小值为
，
函数
的最大值为
，最小值为0．
【题型六】极值、零点问题
【例6】（2022·全国甲卷·高考真题）设函数
在区间
恰有三个极值点、两个零点，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
的取值范围得到
的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得
，因为
，所以
，
要使函数在区间
恰有三个极值点、两个零点，又
，
的图象如下所示：
则
，解得
，即
．
故选：C．
【举一反三】【变式1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
的图象关于原点对称，且在
上单调，在
处取得极值，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性求解即可.
【详解】由题意可得函数
为奇函数，所以
，
，
又因为
在
处取得极值，
即
关于
对称，所以
，
，即
，
，
由
为奇函数且在
上单调，可得
在
上单调，
所以
的周期
，所以
，又
，所以
.
故选：B.
【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数
，则函数
在
上恰有1 个零点，
则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题可得
，利用整体法结合三角函数的图象与性质即可求解.
【详解】因
，则
，
若函数
在
上恰有1 个零点，则
故答案为：
【变式3】（2024·河南·模拟预测）已知向量
，向量
，
.
(1)求
的最小正周期；
(2)求
在
上零点和极值点的个数.
【答案】(1)
(2)3；3.
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式化简
，再由
的最小正周期即可得出答案；
（2）
，由
的图象结合零点和极值点的定义即可得出答案.
【详解】（1）
，
则
的最小正周期
.
（2）令
，因为
，所以
，
由
的图象可得，当
时，
即
在
上的零点个数为3，
再由极值点的定义可知，极值点个数为3.
【题型七】ω 的求解
【例7】（2025·北京·高考真题）设函数
，若
恒成立，且
在
上
存在零点，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数
，
设函数
的最小正周期为T，由
可得
，
所以
，即
；
又函数
在
上存在零点，且当
时，
，
所以
，即
；
综上，
的最小值为4.
故选：C.
【举一反三】【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数
，若
，
在
内有极小值，无极大值，则
可能的取值个数（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】根据余弦函数的零点求得
，又极值情况列不等式可得
，分情况
得
的取值进行取舍，即可得答案.
【详解】已知函数
，若
，
所以
，则
①，
又
在
内有极小值，无极大值，则
，所以
，
又
，则当
得，
，所以
，不符合①式，故舍；
当
得，
，所以
由①式可得
；
当
得，
，所以
，由①式可得
；
当
得，
，所以
，不符合①式，故舍；
当
得，
，无解，故舍；
易知，当
时，
都无解，故不讨论；
综上，
或
，则
可能的取值个数为
.
故选：C.
【变式2】（2020·安徽池州·三模）已知函数
满足
，
，且
在区间
上单调，则
取值的个数有 个．
【答案】3
【分析】根据最大值点和零点可确定
，由此得到
；根据单调性可知
，解出
，
由此得到
所有可能的取值.
【详解】
，
，解得：
，
即
，
；
在
上单调，
，即
，
，解得：
，
，
或
，
取值的个数有个.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据正弦型函数的单调性、周期性求解参数值的问题；关键是能够通过最值点和零点确定周期、根
据单调性确定周期所处的范围.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调递增区间；
(2)若函数
在
上有且仅有两个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据降幂公式和辅助角公式化简得
，再根据正弦型函数的单调区间得到不等式组，
解出即可.
（2）首先求出
，根据零点个数得到不等式组，解出即可.
【详解】（1）当
时，
．
令
，得
，
，
所以函数
的单调递增区间为
．
（2）
．当
，
．
若函数有且仅有两个零点，则
，且
，所以
．
一、单选题
1．（2025·重庆·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的运算律及余弦函数的取值范围即可求解.
好题必刷
【详解】设
，则
，
因为
，所以当
时，
取最小值
，
故选：C.
2．（2025·甘肃白银·三模）函数
的最小值和最小正周期分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用平方关系及二倍角余弦公式化简
，再根据三角函数的性质求解即可．
【详解】因为
，
所以当
时，函数
取最小值
，
函数
的最小正周期为
．
故选：C
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
，则
在
上的最
大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】D
【分析】由周期公式求得
，然后由换元法即可求解.
【详解】由题意
，解得
，
，
所以
的最大值为3.
故选：D.
4．（2025·辽宁·二模）将函数
的图像先向右平移
个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不
变，横坐标都变为原来的
倍，得到函数
的图像．已知函数
在
上有两个零点，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据
在
上有两个零点列出不等式组，解出取值范围即可．
【详解】由题可知，
，
当
时，
，
因为函数
在
上有两个零点，
所以
，解得
，
故选：A．
5．（2024·河北·模拟预测）已知函数
在区间
单调递减，且
和
是
两个
对称中心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，先求得最小正周期即
，
，再结合
和
在区
间
单调递减可求得
，得到函数
的解析式，代入求值即可.
【详解】由题意可知
，即
，则
，所以
，
且
和
是
两个对称中心，且
，
所以
和
在同一周期内，
又
的一个周期内有个对称中心，
所以
，即
，
，则
，
又
，解得
，
，
又当
，
时
单调递减，
解得
，
，
所以区间
为
的一个子集，
所以
，结合得
，
，可得
，
所以
，所以
，故D 正确.
故选：D.
6．（2025·内蒙古包头·二模）已知
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据题意求出
，再根据
求出
，再根据
的范围约束出
和
范围，最后结合正弦函数图象即可求出
的范
围.
【详解】由题意可知
，则
，
因
，则
，
则
，
，
因
在
上单调递增，
结合正弦函数图象性质可得
，解得
，
故
的取值范围是
.
故选：B
二、多选题
7．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是
的周期
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值域为
D．若
在
上恰有
个零点，则
【答案】BCD
【分析】利用函数周期性的定义可判断A 选项；利用函数的对称性的定义可判断B 选项；令
，
，利用二次函数的基本性质求出
的值域，可判断C 选项；分析可知
为函数
的周期，求出
方程
在区间
上的解集，结合函数周期性可求出
的值，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，
，
所以
，故
是不是函数
的周期，A 错；
对于B 选项，因为
，
所以
的图象关于直线
对称，B 对；
对于C 选项，
，
令
，
，
因为二次函数
在
上为增函数，在
上为减函数，
所以，
，
，
所以，函数
的值域为
，C 对；
对于D 选项，因为
，
所以函数
为函数
的周期，
由
，解得
或
，
当
时，方程
的解集为
，
所以函数
在
上有且只有三个零点，
又因为
，且
，
由于
在
上恰有
个零点，则
，D 对.
故选：BCD.
8．（2025·山东临沂·三模）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．
是
的一条对称轴
C．函数
在
上单调递增
D．函数
图象与直线
有3 个交点
【答案】ABD
【分析】A 选项，利用三角恒等变换得到
，求出最小正周期；B 选项，代入验证，得到B 正确；C
选项，求出
，故
在
上不单调；D 选项，同一坐标系内画出两函数图象，数形结合得到答
案.
【详解】A 选项，
，
故
的最小正周期为
，A 正确；
B 选项，
，故
是
的一条对称轴，B 正确；
C 选项，
，
，
由于
在
上不单调，故
在
上不单调，C 错误；
D 选项，同一坐标系内画出
与
，如下：
可以看出两函数有3 个交点，D 正确.
故选：ABD
三、填空题
9．（2025·天津河北·模拟预测）函数
的最大值为 ．
【答案】3
【分析】根据余弦函数的值域及已知函数的解析式确定
的最大值即可.
【详解】由余弦函数的性质知
，则
，
当
时，函数有最大值为3.
故答案为：3
10．（2025·甘肃白银·三模）若函数
的最小正周期是
，则
.
【答案】3
【分析】根据正切型函数的周期性求解
的值即可.
【详解】因为函数
的最小正周期是
，
所以
，则
.
故答案为：3.
11．（2024·全国·模拟预测）若函数
在
内恰好存在两个极值点，且直线
与曲线
在
内恰有两个交点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】函数
的解析式化为
，结合题意列出不等式组，解出即可.
【详解】因为
所以
在
内恰好存在两个极值点、两个零点．
令
，则
在
内恰好存在两个极值点、两个零点．
得
，即
，
即
的取值范围是
．
故答案为：
.
12．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
在
上有且仅有一个零点，则
的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合余弦函数图象以及复合函数单调性和零点存在性定理即可求解.
【详解】当
时，设
，
，
故
时，
，而
，
有且仅有一个零点
，
令
，易知
在
上单调递减，
而
，
，所以，
．
当
时，
，
无零点，不符合题意，舍去；
当
，设
，故
，
所以
，易知
在
上单调递减，
而
，
，所以，
.
综上，
．
故答案为：
13．（2024·上海·三模）设
，
．若存在公比
的无穷等比数列
，使得
对任
意正整数
都成立，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得
，利用数列的收敛性得
即可求解.
【详解】设等比数列
首项为
，公比为
，又
，
所以
，即
，
，
，又
时，
，此时
，
所以
，
故答案为：
.
14．（2025·四川巴中·二模）已知函数
在区间
上的最小值为
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由
得
的范围，因此
在这个范围内，从而可得
的范围.
【详解】由题意，
在区间
上的最小值为
，
当
时，
；
当
时，
.
则
的取值范围为
或
.
故答案为：
.
15．（2024·全国·模拟预测）将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，
若函数
和
在
上都恰好存在两个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由
的范围，判断两个零点的值，列不等式求
的取值范围；再由
的范围，判断两个零点
的值，列不等式求
的取值范围，取交集即可.
【详解】当
时，
，
函数
在
上的两个零点只能满足
或
，
所以
，解得
①．
由题意，得
，
当
时，
．
由①知
，
函数
在
上的两个零点只能满足
或
，
所以
，解得
②．
由①②，得
的取值范围是
．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键是由角的范围，确定函数
和
在
上两个零点的值，进而通过不等式求
的取值
范围.
四、解答题
16．（2025·北京海淀·三模）已知函数
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
在一个周期内的部分取值如下表，
：
x
0
m
求
的解析式及单调增区间．
【答案】(1)
；
(2)
，
.
【分析】（1）代入求出
的值.
（2）利用表格中数据求出对称轴及可能对称中心，进而求出
，再利用正弦函数单调性求出增区间.
【详解】（1）由
，得
，而
，
所以
.
（2）函数
，
由表格中数据知，
是函数
图象的对称轴，对称中心可能为
或
，
又所给取值在函数
的一个周期内，则周期
，
，
则
或
，解得
或
，
则
或
，而
，因此
，
，
由
，得
，又
，则
，
所以
的解析式是
；
由
，得
，
所以
的单调递增区间是
.
17．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的最小正周期和值域；
(2)设
，若函数
为奇函数，求
的最大值.
【答案】(1)最小正周期为
，值域为
(2)
【分析】（1）借助诱导公式、二倍角公式对函数解析式进行化简变形，即可解周期与值域.
（2）依据奇函数的性质求解即可.
【详解】（1）
周期
，
因为
，所以
.
所以
的最小正周期为
，值域为
.
（2）
，定义域为
，
因为
为
上的奇函数.
所以
即
因为
，所以当
时，
有最大值
.
18．（2024·上海嘉定·一模）已知
，其中
.
(1)若
，求函数
的值域；
(2)若
，且函数
在
内有极小值，但无极大值，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)7 或15.
【分析】（1）把
代入，求出
时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域.
（2）由已知可得
，再利用给定区间及极值情况求出
范围即可得解.
【详解】（1）当
时，
，由
，得
，
则
，
，
所以函数
的值域是
.
（2）由
，得
，解得
，
当
时，而
，则
，
又函数
在
内有极小值，无极大值，则
，
解得
，于是
或
，解得
或
，
当
时，
，又
，无解；
当
时，
，又
，则
；
当
时，
，又
，则
；
当
时，
，又
，无解，
所以
的值是7 或15.
19．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数
．
(1)若
的最小正周期为
，求当
时
的值域；
(2)若
在区间
内无零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用辅助角公式将函数化简，再根据周期公式求出
的值，最后结合给定区间求出函数的值域.
（2）通过令函数值为
求出零点表达式，再根据函数在给定区间内无零点的条件，确定
的取值范围.
【详解】（1）由已知，
．
因为
的最小正周期为
，则
，所以
．
当
时，
，则
，所以
的值域是
．
（2）法一：令
，则
，即
．
因为
在
内无零点，则
，
所以
，且
，
即
，且
．
因为
，则
，且
，即
．因为
，则
．
所以
的取值范围是
．
法二：令
，则当
时，
．
据题意，函数
在区间
内无零点，
则
，且
，
即
，且
．
因为
，则
，且
，即
．因为
，则
．
所以
的取值范围是
．
20．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量
(1)求函数
的单调递增区间和对称中心；
(2)在锐角
中，内角
的对边分别为
，若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
，对称中心为
．
(2)
【分析】（1）先应用向量数量积公式计算结合辅助角公式得
，再应用正弦函数单调性及对称中
心计算求解；
（2）应用已知结合两角和差正弦公式计算化简，再
，结合角及二次函数值域求解.
【详解】（1）
，
令
，则
，
故函数
的单调递增区间为
，
令
，则
，对称中心为
．
（2）
，则
，
又
，则
，故
，即
．
，
在锐角
中，
，则
，
令
，则
.
所以
的取值范围为
.
