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4.3 三角函数的性质（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·陕西榆林·模拟预测）函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得：
.
故选：C.
2．（24-25 高三下·上海虹口·期中）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A 选项，函数
的定义域为
，该函数为非奇非偶函数，A 不满足要求；
对于B 选项，函数
的定义域为
，且
，
设
，则
，故函数
为偶函数，B 不满足要求；
对于C 选项，函数
为偶函数，C 不满足要求；
对于D 选项，函数
为奇函数，D 满足要求.
故选：D.
3．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，若函数
在区间
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．3
D．2
【答案】B
【解析】由题可知，
，
时，
．因为
在区间
上单调递减，所以
，所以
，
的最大值为5．故选：B
4．（2025·广东·一模）已知函数
的周期为
，且在
上单调递增，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，
，但
，
，
所以函数
在
上不单调递增，不符合题意；
对于B，
，
所以函数
的周期为
，
当
时，
，因为
，
函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，同理可得函数
在
上单调递减，
，所以函数
的最小正周期为
，B 正确；
对于C，因为
，
，
所以函数
在
上不单调递增，不符合题意；
对于D，函数
的定义域为
，
，
所以结论函数
在
单调递增错误，不符合题意；
故选：B.
5．（2025·福建南平·三模）已知函数
在区间
恰有两个极大值点、三个对称中心，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
时，
，
因为
在区间
恰有两个极大值点、三个对称中心，
故
，解得
.
故选：A
6．（2025·四川自贡·三模）已知函数
的部分图象如图所示，下列说法
正确的是（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
上单调递减
D．当
时，
【答案】D
【解析】由图知
，
，
所以
，解得
，
过点
，所以
，
即
，又
，所以
，
所以
，
对于
：
，
所以函数
的图象关于点
对称，故
错误；
对于
：
，
所以函数
的图象关于直线
对称，故
错误；
对于
：
，
，
所以
，
取
，得
，
函数
在
上单调递减，故
错误；
对于
：
，所以
，所以
，
所以
，所以
，故
正确.
故选：
.
7．（2025·甘肃白银·三模）将函数
图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数
的图象，若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将已知函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
则可得
，则
.
设函数
的最小正周期为
，则
，
所以
，由
，得
，
因为
，
，
所以根据单调性可得
且
，解得
，
则
的取值范围是
.
故选：B
8．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数
在区间
上有且仅有一个零点，当
最大
时，
的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，且
，
，
由
可得
，所以
，
，
解得
，
，
若
无解，则
或
，解得
或
，
由于
且
存在，故
或
，即
或
，则有
或
，
故
的最大值为
，此时
，
由
可得
，
当
时，函数
的一条对称轴方程为
，
故选：B.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．函数
的最小值是
B．
是函数
的一个周期
C．
在
上单调
D．将函数
的图象向右平移
个单位得到的函数是奇函数
【答案】ABD
【解析】观察
的图象知，
，最小正周期
，解得
，
而
，则
，又
，于是
，
，
对于A，函数
的最小值是
，A 正确；
对于B，
是函数
的一个周期，B 正确；
对于C，当
时，
，则当
时
取得最小值，
因此
在
上不单调，C 错误；
对于D，将函数
的图象向右平移
个单位得到的函数
是奇函数，D 正确.
故选：ABD
10．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）关于
的函数
，下列结论正确的有（ ）
A．函数
的最小正周期
B．若
，则
是奇函数
C．若
，则
是
图象的一条对称轴
D．若
，
，则
【答案】BCD
【解析】函数
的定义域为
，
对于选项A：例如
，
则
，
此时函数
无最小正周期，故A 错误；
对于选项B：若
，即
，
可得
，
可知函数
为奇函数，故B 正确；
对于选项C：若
，即
，
可得
，
则
，
所以
是
图象的一条对称轴，故C 正确；
对于选项D：若
，
，
可得
，
，
因为
，
即
，整理可得
，故D 正确；
故选：BCD.
11．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
为周期函数
B．
在
单调递减
C．
最大值为2
D．
，
【答案】AB
【解析】函数
的定义域为
，
由于
，
所以
为
的一个周期，故A 正确；
因为
，
当
时，
，
则
，
故
在区间
上单调递减，故B 正确；
因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
但当
，即
时，
，所以
，故C 错误；
令
，
，
，
∵
，∴
，故
在
上单调递减，
当
时，
，从而
，即
，即
；
当
时，
，从而
，即
，即
；
当
时，
，从而
，即
，即
，
综上，
，故不存在
，使
成立，故D 错误，
故选：AB．
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·宁夏中卫·二模）函数
在
上的值域为 ．
【答案】
【解析】
由
，得
，则
，
所以
，所以
，
所以
的值域为
.
故答案为：
.
13．（2025·山西晋中·三模）已知函数
满足
，且
在
上
有且仅有一个极值点，则
．
【答案】
【解析】设
的最小正周期为T，结合三角函数的图象与性质可知
，
所以
，即
，解得
．
故答案为：
.
14．（2025·江西·三模）已知函数
在
上的最大值为
，最小值为
，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为
，所以
.
由题意可得函数
在
上的最大值为
，最小值为
.
令
，则
在
上的最大值为
，最小值为
.
当
时，
.
当
时，
.
当
时，
.
以此类推，
当
时，
，
.
当
时，
，
.
当
时，
，
.
综上，
的取值范围为
.
故答案为：
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·江苏·一模）已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)若
，
，求
的值.
【答案】(1)
．
(2)
【解析】（1）
，
令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
.
（2）由
，得
，
，
即
，则
，
，
所以
.
16．（2024·四川泸州·一模）已知函数
，
(1)求不等式
的解集；
(2)将
图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到
的图象，求曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积．
【答案】(1)
且
；
(2)
.
【解析】（1）由题设
，则
，
所以
且
，可得
且
，
所以解集为
且
.
（2）由题意
，则
，
所以
，
，
所以曲线
在点
处的切线为
，
显然切线过
，故其与坐标轴围成的三角形面积为
.
17．（2025·上海长宁·二模）已知向量
．
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)若函数
在区间
上恰有2 个零点，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
，
.
(2)
【解析】（1）
，
令
，则
，其中
，
故函数
的单调递减区间为
，
.
（2）由题设有
在
有两个不同的零点，
而
，故
在
有两个不同的解，
故
与
的图象在
上有两个不同的交点，
而
在
为增函数，在
为减函数，
且
，故
，
故
.
18．（2025·北京海淀·二模）已知函数
．
(1)若
，求
及
的单调递增区间；
(2)已知
在区间
上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在且唯一确定，求
的最小正周期．
条件①：
；
条件②：
是
的一个极值点；
条件③：
是
的一个零点．
【答案】(1)
，
(2)答案见解析
【解析】（1）因为
，
当
时，
，则
，
令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
；
（2）因为
，
在区间
上单调递增，且
，
所以
，解得
；
若选①：
，又
在区间
上单调递增，
所以曲线
关于
对称，且点
在曲线的递增部分上，
则
，所以
，解得
，
又
，所以
，
则
，所以
的最小正周期为
；
若选②：
是
的一个极值点，又
在区间
上单调递增，
所以
在
处取得最大值，
则
，所以
，解得
，
又
，所以
，
则
，所以
的最小正周期为
；
若选③：
是
的一个零点，
则
，所以
，解得
，
又
，所以
或
，
当
时，
，所以
的最小正周期为
；
当
时，
，所以
的最小正周期为
；
19（2025·新疆·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
在
上的零点从小到大依次为
，设数列
的前
项和为
，求
的值；
(2)在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为
，
，，若
，
，
边上的中线
，
求
的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】1）
.
方法一：令
，
在
上有4 个零点.依次为
，
，
，
.
又
.
.
，
，
，
，同理得
，
.
方法二：作出函数
的图象，
其对称轴为
，
，
由图可知
，
，
.
（2）依题意
，即
，
，
.
，
.
即
，
.
在
中，
，
，由正弦定理得
.
