第12 讲一次、二次函数与幂函数
（知识清单+4 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
二次函数单调性、最值、不等式综合；幂函数图象与性质辨析
单选、多选
题
5 分/6 分
二次函数区间最值、图象识别；基础幂函数求值、单调性判断
单选、填空
题
5 分
二次函数基础性质、简单求值，幂函数基础判定，难度偏低
单选题
5 分
二次函数与方程、导数、恒成立问题综合，压轴小题高频
单选、解答
题
5 分/12 分
【知识点01】一次函数核心知识点
1. 定义：形如y =kx +b（k ,b为常数，且k ≠0）的函数，叫做一次函数；当b=0时，y =kx（k ≠0）为正比例函
数（特殊的一次函数）。
2. 定义域与值域：定义域、值域均为R。
3. 图象与性质：
图象：一条直线，与x 轴交点为(−b
k ,0)，与y 轴交点为(0,b)；
单调性：由k决定——k >0时，在R上单调递增；k <0时，在R上单调递减；
对称性：正比例函数y =kx（k ≠0）关于原点中心对称（奇函数）；一次函数y =kx +b（b≠0）既不是奇函
数也不是偶函数，无对称轴和对称中心（除特殊情况）。
4. 图象变换（结合本讲重点）：基于y =kx，平移变换可得到y =k( x−h)+b（左加右减、上加下减）。
【例1】已知一次函数y =kx +b（k ≠0）的图象过点(1,3)和(−2,−3)，求该一次函数的解析式。
解析：将两点坐标代入解析式，列方程组：
{
k +b=3
−2k +b=−3
两式相减得3k =6，解得k =2，代入k +b=3，得b=1。
故该一次函数解析式为y =2 x +1。
【知识点02】幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x 是自变量,α 是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；
②当α>0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增；
③当α<0 时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减；
④当α 为奇数时,y＝xα为奇函数；当α 为偶数时,y＝xα为偶函数.
【例2】求幂函数y = x
1
2的定义域、单调性，并判断其对称性。
解析：① 定义域：由❑√x有意义，得x ≥0，即定义域为[0,+∞)；
② 单调性：由幂函数性质，α = 1
2 >0，故y = x
1
2在[0,+ ∞)上单调递增；
③ 对称性：定义域[0,+∞)不关于原点、y轴对称，故既不是奇函数也不是偶函数，无对称性。
【知识点03】二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
[
4 ac−b
2
4 a
,＋∞)
(−∞, 4 ac−b
2
4 a ]
对称轴
x＝－b
2a
顶点坐标
(−b
2a , 4 ac−b
2
4 a )
奇偶性
当b＝0 时是偶函数,当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在(−∞,−b
2a]上单调递减；
在[−b
2a ,＋∞)上单调递增
在(−∞,−b
2a]上单调递增；
在[−b
2a ,＋∞)上单调递减
【例3】已知二次函数y =a x
2+bx +c（a≠0）过点(0,3)、(1,0)、(2,−1)，求其解析式。
解析：将三点坐标代入一般式，列方程组：
{
c =3
a+b+c =0
4 a+2b+c =−1
代入c =3，得{ a+b=−3
4 a+2b=−4，解得{ a=1
b=−4；
故该二次函数解析式为y = x
2−4 x +3。
【题型一】二次函数的概念
【例1】（2026·河南濮阳·二模）
的最大值是（ ）
A．9
B．3
C．18
D．6
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质计算即可.
【详解】令
，则
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
因为
在
处取得最大值，
最大值为3，所以
的最大值为3.
【例2】（2026·宁夏银川·一模）如果点
在函数
的图象上，都有点
在函数
的图象
上，则
（ ）
A．17
B．5
C．3
D．2
【答案】D
【分析】求出函数
的解析式，代入可得.
【详解】设点
在函数
的图象上，则点
在函数
的图象上，
所以
，即
，所以
.
【例3】（2026·浙江台州·二模）已知平面向量
，
，
，若
，则
的最小值为
_______.
【答案】
【分析】利用向量平行坐标表示可得
之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可.
【详解】
，
，即
，
，
，
当
时，
取得最小值
.
【变式1】（2025·广东·模拟预测）若函数
与
表示同一个函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】利用二次函数的两点式得出相应方程的根，再由函数相同计算参数即可.
【详解】注意到方程
有两个解
，方程
的其中一个解为0，故只可能
，所以
，故
，
故选：A.
【变式2】（2025·山东·模拟预测）设全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出二次函数的值域，即集合
，再根据集合的交并补运算即可确定选项.
【详解】当
时，
，即
，则
，
又
，故
.
故选：B.
【变式3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数
，若
，则
实数
的取值范围为_______________.
【答案】
【分析】化简
得
，根据题意得
在
有解，化简计算即可求解.
【详解】
，
令
得
，
化简得
，
由题意得，
使得
，
即
在
有解，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
【题型二】二次函数的性质与图象
【例4】（2026·云南昆明·二模）设
．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
而
在
上单调递增，所以
．
【例5】（多选）（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
则（ ）
A．
B．
的值域为
C．
是偶函数
D．
是增函数
【答案】ABC
【分析】根据给定的函数等式可得
，再结合
求出函数解析式，然后利用二次函数性质逐项判断
得解.
【详解】由
，得
，令函数
，
则
，
为常函数，令
，则
，
，
因此
，
的值域为
是偶函数，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，ABC 正确，D 错误.
故选：ABC
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
.
(1)求
的值；
(2)若
为线段
上一点且满足
平分
，求
的面积的取值范围.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式，结合余弦定理，即可求得答案；
（2）由题意结合正弦定理推出
，设
，由余弦定理推出
，即可表示
出
的面积的表达式，化简，结合二次函数知识，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知
，即
，
故
，即
，
结合
，得
；
（2）由于
平分
，故
，
故
，
而
，即得
,
设
，则
，
即
，则
，
故
，
当
，即
时，
取到最大值，最大值为3；
又
，满足
，
当
无限趋近于1 或2 时，
无限趋近于0，
故
的面积的取值范围为
.
【变式1】（2026·辽宁抚顺·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以由
在
上恒成立，可得
在
上恒成立.
若
，即
，则
在
上单调递增，则
，得
.
若
，即
，则
，化简得
，得
.
若
，即
，则
在
上单调递减，则f (3)=9+a>0，得
.
综上所述，a 的取值范围为
.
【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）函数
在
上的最小值为
，最大值为1，则
的最大
值为______.
【答案】
/
【分析】分类讨论，画出函数
的图象，当
时，令
，求得
；当
时，令
，解得
，结合题意，即可求得
的最大值，得到答案.
【详解】由函数
，
当
时，
；当
时，
，
作出
的图象，如图所示，
由图象得，当
时，令
，解得
；
当
时，令
，解得
，
所以
在
上的最大值为1，最小值为
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
【变式3】（2024·山西·模拟预测）已知集合
，
.
(1)若
，
，且
是
的必要不充分条件，求
的取值范围；
(2)若函数
的定义域为
，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可；
（2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为
，最后结合二次函数的值域即可求参.
【详解】（1）由题意知
，
解不等式
，解得
，所以
，
因为
是
的必要不充分条件，所以
是
的真子集，
所以
且等号不同时成立，
解得
，即
的取值范围是
.
（2）因为
，所以
在
上有解，
所以
，
令
，则
，
所以
，即
的取值范围是
.
【题型三】幂函数的定义
【例7】（2026·四川广安·模拟预测）“
”是“
为幂函数”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由幂函数的定义求出
的值，再由充分必要条件判断即可.
【详解】因为
为幂函数，
所以
，
解得：
或
,
所以“
”是“
为幂函数”的充分且不必要条件.
【例8】（2025·江苏盐城·三模）“
”是“
为幂函数”的（ ）条件．
A．充要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充分不必要
【答案】D
【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】当
时，
，符合幂函数的形式，故充分性满足；
当
为幂函数可得
，解得
或
，
故必要性不满足，
所以“
”是“
为幂函数”的充分不必要条件.
故选：D
【例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知幂函数
过点
，则
为__________.
【答案】3
【分析】直接把点代入函数中即可求解.
【详解】由题意
.
故答案为：3
【变式1】（2026·河南南阳·模拟预测）“
”是“函数
为幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断.
【详解】若函数
为幂函数，则
，解得
，
所以“
”是“函数
为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A
【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数
的图象经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．9
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值.
【详解】设
，则
即
，
故选：B．
【变式3】（2025·新疆·模拟预测）幂函数
在
上单调递减，且经过点
，请写出符合条件的一个
函数解析式__________．
【答案】
或
(答案不唯一)
【分析】设出幂函数解析式，将
代入即可求得结果.
【详解】幂函数
在
上是减函数，设
，则
，
因为
有很多解，如
、
、
、
等均符合题意.
故答案为：
或
(答案不唯一)．
【题型四】幂函数的单调性
【例10】（2026·河南新乡·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】已知
,
因为
，
，
，
所以
，
故
.
【例11】（多选）（2025·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（ ）
A．若
，则幂函数
的图象是一条直线
B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同
C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点
D．幂函数的图象一定经过点
，且一定不经过点
【答案】CD
【分析】利用幂函数的图象、性质逐一判断即可.
【详解】对于A，当
时，幂函数
的定义域为
，其图象是直线
除去点
，故A 错误；
对于B，幂函数
的图象有三个公共点
，这两个函数不相同，B 错误；
对于C，幂函数图象一定过点
，当该幂函数是奇函数时，其图象关于原点对称，
则该幂函数图象必过点
，C 正确；
对于D，幂函数的图象一定经过点
，且一定不经过点
，D 正确.
故选：CD
【例12】（2026·安徽合肥·模拟预测）“
”是“函数
为幂函数，且在
上单调递
减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【详解】当
为幂函数时
，解得
或
，
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减.
所以 “
”是“
为幂函数，且在
上单调递减”的充分不必要条件．
【变式1】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数
在
上单调递减，则实数m 的值为
（ ）
A．0 或1
B．
或1
C．1
D．0
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解．
【详解】由于
为幂函数，所以
，解得
或
，
又函数
在
上单调递减，
所以
，即
故当
时
符合条件．
【变式2】（多选）（2025·河南·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由指数函数
单调性可判断A 项，由幂函数
单调性可判断B 项，运用作差法及对数函数性质可判
断C 项，运用作差法及不等式性质可判断D 项.
【详解】对于A 项，因为
是减函数，而
，所以
，故A 项正确；
对于B 项，因为
在
上单调递增，而
，所以
，故B 项正确；
对于C 项，
，因为
，
，
，所以
，即
，故C 项错
误；
对于D 项，
，因为
，
，
，所以
，即
，故D 项正确.
故选：ABD.
【变式3】（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数
是
上的偶函数，将函数
的图象先向
右平移2 个单位，再向下平移1 个单位得到
的图象．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的值域；
(3)设
，解关于
的不等式：
．
【答案】(1)
（或
）；
(2)
；
(3)当
时，
；当
时，
；当
时，
.
【分析】（1）通过幂函数定义和偶函数性质确定
，再利用图象平移规律求
；
（2）先求
的取值范围，结合指数函数单调性求值域；
（3）将不等式转化为含参数的二次不等式，通过因式分解后分类讨论求解集.
【详解】（1）由幂函数定义，
，解得
或
.
当
时，
，是
上的偶函数，符合要求；
当
时，
，定义域不为
且非偶函数，舍去.
故
，经图象平移（右移2 个单位，下移1 个单位），
得
.
（2）因
，且
单调递增，
故
，值域为
.
（3）不等式
整理为
.
当
时，解集为
；
当
时，解集为
；
当
时，解集为
.
【解题大招01】幂函数的判断与解析式求解
紧扣幂函数定义（y = x
α，系数为1），判断函数是否为幂函数；求解析式时，利用图象过定点，代入求解α的值。
【例1】判断下列函数是否为幂函数，并求过点(2,4)的幂函数解析式。
（1）y = 4 x
3；（2）y = x
−1；（3）y =( x−1)
2。
解析：① 判断：（1）系数为4≠1，不是幂函数；（2）解析式为y = x
−1，系数为1，是幂函数；（3）自变量含
常数项，不是幂函数；
② 求解析式：设幂函数为y = x
α，将点(2,4)代入，得2
α = 4 =2
2，解得α =2，故解析式为y = x
2。
【解题大招02】幂函数单调性、奇偶性快速判断
由α的符号判断单调性（α >0在定义域内递增，α <0在定义域内递减）；由定义域对称性+f (−x)与f ( x)的关系
判断奇偶性。
【例2】判断幂函数y = x
−1
3的定义域、单调性及奇偶性。
解析：① 定义域：y = x
−1
3 = 1
3√x
，故定义域为R∖{0}，关于原点对称；
② 单调性：α =−1
3 <0，故在(−∞,0)和(0,+ ∞)上分别单调递减（注意：不能说在ℝ∖{0}上单调递减）；
③ 奇偶性：f (−x)=(−x)
−1
3 =−1
3√x
=−f ( x)，故为奇函数。
【解题大招03】二次函数解析式求解
根据已知条件，灵活选用一般式、顶点式、零点式，减少计算量——已知三点用一般式，已知顶点用顶点式，
已知与x 轴交点用零点式。
【例3】已知二次函数顶点为(2,−3)，且过点(0,1)，求其解析式。
解析：设顶点式为y =a( x−2)
2−3（a≠0），将(0,1)代入，得1=a(0−2)
2−3，解得a=1；
故解析式为y =( x −2)
2−3= x
2−4 x +1。
【解题大招04】二次函数最值与单调区间求解
先求对称轴x =−b
2a，结合a的符号判断单调性；求最值时，分“定义域为ℝ”和“定义域为区间”两种情况，
区间内最值优先看对称轴是否在区间内。
【例4】求二次函数y =−x
2+2 x +3在区间[0,3]上的单调区间及最值。
解析：① 化为顶点式：y =−( x −1)
2+ 4，对称轴为x =1，a=−1<0；
② 单调区间：在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减；
③ 最值：对称轴x =1∈[0,3]，故最大值为f (1)= 4；
端点值：f (0)=3，f (3)=0，故最小值为0。
【解题大招05】二次函数与一元二次方程结合
利用二次函数图象与x 轴的交点，转化为一元二次方程根的问题，结合判别式Δ=b
2−4 ac判断根的个数，利用
韦达定理求根的关系。
【例5】已知二次函数y = x
2−2 x +m，若其图象与x 轴有两个不同交点，求实数m的取值范围，并求两根之和
与两根之积。
解析：① 图象与x 轴有两个不同交点，即方程x
2−2 x +m=0有两个不等实根，故Δ=(−2)
2−4×1×m>0；
解得4−4 m>0⇒m<1，即m的取值范围为(−∞,1)；
② 由韦达定理，两根之和x1+ x2=2，两根之积x1 x2=m。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A 选项，函数
图象关于原点对称且在
单调递减，A 错误；
B 选项，函数
图象不关于原点对称，在
单调递增，B 错误；
C 选项，函数
图象不关于原点对称，在
单调递增，C 错误；
D 选项，函数
图象关于原点对称，在
单调递增，D 正确.
2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知
在区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求函数的对称轴，要使函数
在区间
上不单调，则必有对称轴在区间
内，列
出不等式即可.
【详解】由已知，函数
的对称轴为
，
又因为函数
在区间
上不单调，
则必有
，即
.
故选：C
3．（2026·河南信阳·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式，再求解集合
，最后应用交集定义计算求解.
【详解】集合
，
，
则
.
二、多选题
4．（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据指、对数函数单调性结合单调性性质判断AD；根据偶函数定义结合幂函数单调性或一次函数单调性判
断BC.
【详解】对于选项AD：当
时，则
在
上单调递增，故D 错误；
且
在定义域
内单调递增，可知
在
上单调递增，故A 错误；
对于B：因为
的定义域为
，且
，可知
为偶函数，
由幂函数性质可知
在
上单调递减，故B 正确；
对于C：因为
的定义域为
，且
，可知
为偶函数，
当
时，则
在
上单调递减，故C 正确.
三、填空题
5．（2025·江西·一模）已知幂函数
在
上单调递增，若正数
、
满足
，则
的最小值为___________．
【答案】
【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数
的等式或不等式，解出
，可得出
，将代数式
与代数式
相乘，展开后利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】因为幂函数
在
上单调递增，
则
，解得
，
正数
、
满足
，则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
因此，
的最小值为
.
故答案为：
.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点
为圆
上的动点，则
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】法一：设
，代入方程得到
，从而题目实际上就是求
的取值范围使得该方程有解，
而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求
解.
【详解】法一：我们要求
的取值范围使得存在
满足
，
，
由于满足前一个方程的
必不为零，故这等价于
，
.
而这又可以等价转化为
，
，
故我们就是要求
的取值范围，使得关于
的方程
有解.
该方程中
的系数显然非零，所以命题等价于
，解得
.
法二：由于圆
和
轴无公共点，故命题等价于求实数
的取值范围，
使得
直线和圆
有公共点.
该圆的方程可化为
，故命题等价于点
到直线
的距离不超过，即
.
解得
.
故答案为：
.
7．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是
______.
【答案】
【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数
的不等式，解之即可.
【详解】二次函数
的图象开口向上，对称轴为直线
，
因为函数
在区间
上是增函数，则
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
四、解答题
8．（2024·浙江·二模）在正四面体
中，点
分别在棱
上（不与顶点重合），且
(1)若
，证明
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）设
．在
,
中，由余弦定理得
，根据
，则
代入化简即可得
；
（2）由（1）知，
或
．设
，取
中点
，则
．根据
或
分别计算
取值范围，然后计算
取值范围即可.
【详解】（1）设
．
因为四面体
为正四面体，
所以
，
在
中，由余弦定理得，
，
在
中，由余弦定理得，
，
又因为
，
所以
．
整理得：
．
又因为
，即
，
代入得
，
所以
.
（2）由（1）知，
或
．
设
，取
中点
，则
．
①若
，则
，
为等边三角形，即
，
设
，
则
.
②若
，则
，
设
，
则
．
综上所述，
，
故
．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且满足下列性质：
①
；②
则下列说法一定正确的为（ ）
A．
在
上无最小值
B．
在
上单调递减
C．
在
上有最小值
D．
在
上单调递增
【答案】C
【分析】利用题给条件构造函数
，结合二次函数的性质，即可得到
在
上不一定单调递
增或单调递减，
在
上有最小值.
【详解】由于函数
的定义域为
，且
，
令
，则
，
得
，抛物线对称轴为
由
可得
，
解之得
，则
，
故
在
上不一定单调递增或单调递减，选项
不确定，
由于
表示开口向上的抛物线，
故函数
在
取得最小值，即
在
上有最小值.
故选项C 正确，选项A 错误．
故选：C
2．（2025·江苏·模拟预测）
关于
对称，则其最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先对
进行因式分解，利用关于
对称，得出
的值，最后用换元法将
转换为二次函数
求最值即可.
【详解】
，因关于
对称，
故
的根应为和
，所以
，得
，
，即
.
令
，则
，代入得：
，令
，
，函数开口向上，
对称轴为
，
，因此，函数
的最小值为
.
故选：B
二、多选题
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，设
，
．且关于
的
函数
．则（ ）
A．
B．
C．当
时，存在关于
的函数
在区间
上的最小值为6，
D．当
时，存在关于
的函数
在区间
上的最小值为6，
【答案】ABD
【分析】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A 及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函
数最小值，建立方程求解正整数
可判断CD.
【详解】因为
，
，所以
，
，依次类推，可得
，故A 正确；
由A 选项知，
，故B 正确；
当
时，
的对称轴
，
所以
在区间
上单调递减，故当
时，
，方程无整数解，故C 错误；
当
时，
的对称轴
，
所以当
时，
，解得
，故D 正确.
故选：ABD
三、填空题
4．（2025·全国·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
______.
【答案】4
【分析】通过对两个方程进行变形，构造出相同形式的函数，再利用函数的性质来求解x + y 的值.
【详解】对
进行变形，可化为
，
对
进行变形，可化为
，
设
，
随
增大而增大，
，
也是随
增大而增大，
则
是单调递增函数.则
可得
.
故答案为：4.
5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数
为偶函数，则
______________．
【答案】9
【分析】由幂函数和偶函数的性质求得
，结合对数的运算法则即可求解.
【详解】由题意得
，解得
或
，
又
为偶函数，所以
，所以4
log2(m+2)= 4
log23=2
log29=9．
四、解答题
6．（2025·四川绵阳·一模）设函数
.
(1)若
，写出函数
的单调区间；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
.
【分析】（1）将函数式改写为
，结合二次函数的性质确定单调区间；
（2）由题设，问题化为
上
，利用对勾函数及复合函数的性质判断相关函数的区间
单调性，进而求最值，即可得.
【详解】（1）由题设
，即
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
、
.
（2）由题设，在
上
恒成立，则
恒成立，
所以，只需
，
由
在
上单调递增，在
上单调递减，故
，
由
在
上单调递减，故
，
所以
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·重庆北碚·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解
【详解】构造指数函数
，底数
，所以
单调递减，即
；
，即
.
2．（2026·广东深圳·一模）若实数
，
，
满足
，则
，
，
的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
可得
，
与
互为反函数，故其交点
在直线
上，且交点横坐标小于1，
而
与
交点的横坐标等于1，
从而
，
，
在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：
与
的图像交点为
,
与
的图像交点为
,
且
当直线
位于点
的上方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于点
的上方，
的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于
点的上方，
的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于
点的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
二、多选题
3．若函数
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解.
【详解】由幂函数的性质知，
在
上单调递增.
因为
,所以
，即
，
，
所以
．故A 正确；
令
，则
，故B 错误；
令
，则
由函数单调性的性质知，
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，即
，于是有
，故C 正确；
令
，则
，
所以因为
，故D 错误．
故选：AC.
三、填空题
4．（2025·广东·模拟预测）已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范
围是____．
【答案】
【分析】构造函数
，分情况讨论
的最值情况，即可得解.
【详解】
设
，
则当
时，
不成立；
当
时，由
，得
，则
，不成立；
当
时，
若
，即
，则
，即
成立；
若
，即
，则
，即
，得
；
综上，
的取值范围是
．
四、解答题
5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
为定义在
上的偶函数，且满足
，
．
(1)求
的解析式；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)设
，若对任意的
，存在
，使得
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
.
(2)
(3)
【分析】（1）利用偶函数的性质运算求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，再分离参数，利用基本不等式
求最值即可；（3）由题意得
，根据函数的单调性分别求出
的最小值，即可求解.
【详解】（1）因为
是
上的偶函数，故对任意
，
恒成立，
所以
，
，
令
，代入化简得
得
，
因此
的解析式为
.
（2）由题意可得
，易知
在
上单调递增，
因此不等式
等价于
.
令
，不等式变为
对任意
恒成立，分离参数得
，
由基本不等式得
，
当且仅当
取最小值
，因此
，即
.
（3）对任意
，存在
，满足
，等价于
在
上的最小值
在
上的最小值.
因为
单调递增，故
，因此存在
，使得
，
即
，
开口向上，对称轴
，
若
，
，得
；
若
，
，恒成立；
若
，
，结合
恒成立.
综上得
，即
.
