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第11 讲函数的对称性与图象变换
（知识清单+5 典例精讲+4 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
对称性质判定、对称与周期综合、图像翻折/平移变换
单选、多选
5 分/6 分
基础平移变换、对称求值、简单对称性质应用
单选、填空
5 分
单一图像变换、基础对称性判断，难度偏低
单选、填空
5 分
对称性推导周期、结合零点/单调性综合考查
单选、填
空、解答
5 分/6-10 分
【知识点01】奇函数、偶函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a 对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点( a ,0)
对称.
(3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x ＝
a ；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为( a ,0)
.
【例1】已知f ( x)= x
3+2 x是奇函数，验证其图象关于原点对称，并求f (−2)的值。
【知识点02】两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y 轴
对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x 轴
对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称.
【例2】判断函数y =2
x与y =2
−x的对称关系，并写出y =2
x关于直线x =1对称的函数解析式。
【知识点03】利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)
y＝－
f ( x ) .
②y＝f(x)
y＝f ( －
x ) .
③y＝f(x)
y＝－
f ( －
x ) .
④y＝ax (a>0,且a≠1)
y＝logax ( a >0,
且
a ≠
1)
.
(3)翻折变换
①y＝f(x)
y＝| f ( x )| .
②y＝f(x)
y＝f (| x |) .
【例3】已知y = f ( x)= x
2，作出下列函数的图象（写出变换过程）：（1）y =( x−2)
2+1；（2）y =−x
2。
【题型一】判断或证明函数的对称性
【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数
与
的图象（ ）
A．关于
轴对称
B．关于
轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线
对称
【例2】（多选）（2026·河北衡水·一模）已知函数
的定义域为
，且对任意实数
，
，
恒成立，则（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
D．
的图象关于点
对称
【例3】（2025·重庆·二模）函数
的值域为________．
【变式1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数
与
的图象（ ）
A．关于y 轴对称
B．关于直线
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
【变式2】（2024·山东·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为_________________.
【变式3】（2024·福建·模拟预测）已知函数
，则曲线
的对称中心为___________．
【题型二】函数对称性的应用
【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数
的定义域为
，则“函数
的图象关于点
中心对称”
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例5】（多选）（2026·广东茂名·二模）已知
是定义在
上的函数，且
，
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
的图象关于直线
对称
D．
是
的周期
【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，满足
，当
时，
，且
，则
______．
【变式1】（2026·河南周口·三模）已知函数
的定义域为
，f (3+ x)+ f (−1−x)=0，且
在
上单调
递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
为偶函
数，当
时，
则
_______.
【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数
，且函数
与
的图象关于直线
对称.
(1)求函数
的解析式；
(2)若
成立，求实数
的取值范围；
(3)若
且
，求
的取值范围.
【题型三】函数图像的识别
【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】（2026·山东枣庄·三模）函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例9】（多选）（2025·山西临汾·二模）函数
的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·四川自贡·三模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型四】函数图象的应用
【例10】（2026·湖南湘西·三模）已知
分别为函数
的零点，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例11】（多选）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数
，若函数
有6 个
不同的零点，且最小的零点为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．6 个零点之和是6
【例12】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）设函数
，若函数
图像关于直线
对称，求
曲线
的长度为__________．
【变式1】（2025·四川成都·一模）已知定义在
上的奇函数
在
上的图象如图所示，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·山东德州·三模）已知曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
在
处的切线斜率为
在
处的切线斜率为
，若
，则
______．
【变式3】（2024·河北石家庄·三模）给定函数
，用
表示
中的较大者，
记
．若函数
的图象与
有3 个不同的交点，则实数
的取值范围是______．
【题型五】函数图象的变换
【例13】（2026·湖北随州·三模）已知
，函数
的最大值为0，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【例14】（2026·陕西安康·三模）已知函数
为奇函数，且在
上单调递增，在
上单调递减，若
的图象是一条连续的曲线，则
（ ）
A．在
上单调递增
B．在
上单调递增
C．在
上单调递减
D．在
上单调递减
【例15】（2023·全国·模拟预测）将函数
的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与
曲线
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·河北邢台·一模）函数
图象的对称中心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于点
对称
D．关于点
对称
【变式3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）将函数
的图象向左平移个单位长度得到曲线
，曲线
与函
数
的图象关于直线
对称，则
__________．
【解题大招01】奇偶性+对称性快速求值
利用奇偶性的对称性质（偶函数关于y 轴对称、奇函数关于原点对称），跳过复杂计算，直接转化函数值，快速
求解。
【例1】已知f ( x)= x
5+3 x
3+2 x是奇函数，且f (1)=6，求f (−1)、f (0)的值。
【解题大招02】两个函数对称，快速求解析式
记准3 类高频对称结论，直接代入公式，无需画图，快速推导对称函数解析式。
关于y轴对称：y = f ( x)↔y = f (−x)；
关于原点对称：y = f ( x)↔y =−f (−x)；
关于x =a轴对称：y = f ( x)↔y = f (2a−x)。
【例2】已知f ( x)= log2 ( x +1)，求：（1）与f ( x)关于y轴对称的函数解析式；（2）与f ( x)关于直线x =2对
称的函数解析式。
【解题大招03】图象变换“一步到位”法
遵循“先平移、后翻折”的顺序，避免变换顺序错误，结合公式快速写出变换后的解析式。
关键规律：
1. 平移+翻折：左移h→f ( x +h)，右移h→f ( x−h)；关于x 轴对称→−f ( x)；
2. 易错提醒：先翻折再平移，平移方向易反向（如先关于y 轴对称再左移，需注意x 的符号）。
【例3】已知f ( x)= x
2，求经过“右移3 个单位，再关于x 轴对称翻折”后的函数解析式。
【解题大招04】对称性+周期性快速推导
利用对称性质推导周期，熟记2 个高频结论，快速转化函数值，简化计算。
核心结论：
1. 函数关于x =a和x =b（a≠b）对称，则周期T =2|a−b|；
2. 函数关于x =a和点(b,0)对称，则周期T = 4|a−b|。
【例4】已知f ( x)的图象关于直线x =1和x =3对称，且f (2)=5，求f (8)的值。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·安徽·模拟预测）“函数
的图象关于直线
对称”是“函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数
定义域为
，下列是
无最小值的充分条件的是（ ）
A．
为偶函数且图象关于直线
对称
B．
为偶函数且图象关于点
对称
C．
为奇函数且图象关于直线
对称
D．
为奇函数且图象关于点
对称
二、多选题
4．（2025·江西新余·模拟预测）下列函数中，
的图象可以由
的图象仅通过一次轴对称变换得到的有：
（ ）．
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
5．（2025·云南·模拟预测）已知函数
的图象关于点
对称，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
6．（2026·山东·二模）已知函数
的图象关于点
对称，则
_______________．
7．（2025·海南·模拟预测）已知
为奇函数，若
与
的图象有10 个交点，设交点的横坐标
从小到大依次为
，则
______________.
四、解答题
8．（2024·陕西西安·二模）设函数
.
(1)在坐标系中画出函数
的图象；
(2)若
对任意
恒成立，求
的取值范围.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·吉林·二模）已知函数
的图象关于直线
对称，且
在
上单调递减，若
，
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为
的函数
满足
，且对任意
，
，当
时，
都有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2025·湖南·三模）已知函数
，
，函数
的图象与曲线
交于点
，与曲线
交于点
，
，点
在第一象限，且
，四点顺次呈逆时针排列，则直线
的斜率与直线
的斜
率的乘积为______.
5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
满足
，且
，则方程
的实数解的个数为________．
四、解答题
6．（2025·河北唐山·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
的图象关于点
对称，求
的值；
(2)若
是
的极大值点，求
的值；
(3)设
是
的极值点，且满足
，求
的取值范围.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
的定义域为
，
，当
时，
，
则曲线
在点
处的切线的斜率为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
2．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·四川成都·三模）已知函数
，则（ ）
A．当
时，函数
有最大值
B．若函数
图象的对称中心为
，则
C．函数
在
上一定存在减区间
D．函数
可能有2 个零点
三、填空题
4．（2026·山西晋中·三模）已知函数
的定义域为
是偶函数，
，则
__________.
四、解答题
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
