考向09函数的图像（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 09 函数的图像 π π 1．（2022年甲卷理科第5题文科第7题）函数 y=(3x −3−x )cosx 在区间 [− 2 , 2 ] 的图像大致为 【答案】A f(x)=(3x −3−x )cosx f(−x)=(3−x −3x )cos(−x)=−f(x) f(x) 【解析】设 ， ，所以 为奇函数，排除 BD，令x=1，则 f(1)=(3−3−1 )cos1>0 ，排除C，故选A. 2.（2022年乙卷文科第8题）右图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则函数是 A. B. C. D. 【答案】 【解析】由图像可知函数是奇函数，且 ， ,排除 .由 ， ，排除 .由 , ， 排除 .故选 .3.（2022年浙江卷第6题）为了得到 的图像，只要把函数 图像上所有点 A．向左平移 个单位长度 B． 向右平移 个单位长度 C． 向左平移 个单位长度 D． 向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】函数图像平移满足左加右减， ，因此需要将函数图像向右 平移 个单位长度，可以得到 的图像。故本题选D． 1.函数图象的识辨： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 2.函数图像的画法 （1）直接法：函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图 象的关键点直接作出图象； （2）转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象； （3）变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出， 但要注图象变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位 及解析式的影响。 3.函数图像的识别 (1)抓住函数的性质，定性分析 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (2)抓住函数的特征，定量计算 利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．1．函数图象平移变换的八字方针 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 2．函数图象自身的轴对称 (1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)． (3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 3．函数图象自身的中心对称 (1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)． (3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 4．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)； (2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称； (3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称． 【易错点1】函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图 象是向右平移个单位长度，其中是把x变成x－. 【易错点1】要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别． 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( ) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－ 2.已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象大致是( )3.函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 4．将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的大致图 象为( ) 5．函数y＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致是( ) 6.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值 范围是________． 7．已知函数 f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 ________． 8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)<4＋f(－a)，则实数 a的取值范围是________．1．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ） ① ② ③ ④ A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．④②③① 2．（2021·安徽淮北·二模（文））《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍 堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面 截正方体可得两个壍堵，再沿平面 截壍堵可得一个阳马（四棱锥 ），一个鳖臑 （三个棱锥 ），若 为线段 上一动点，平面 过点 ， 平面 ，设正方体棱长为 ， ， 与图中鳖臑截面面积为 ，则点 从点 移动到点 的过程中， 关于 的函数图象大致是 （ ）A． B． C． D． 3．（2021·陕西·西安中学模拟预测（理））如图所示是一个无水游泳池， 是一个四棱柱， 游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注 入的水量不变），水面与 的交点为 ，则 的高度 随时间 变化的图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．（2021·广东·珠海市第二中学模拟预测）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图 所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬 奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问 题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 的“双曲余弦函数”相关.下列选项 为“双曲余弦函数”图象的是（ ）A． B． C． D． 5．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）声音是由物体振动产生的．我们平时听到的声音几乎都是复 合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同 时在振动．不同的振动的混合作用决定了声音的音色，人们以此分辨不同的声音．已知刻画某声音的函数 为 ，则其部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 6.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿ABCM运动时，点P 经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象的形状大致是( ) 7．（2022·广东佛山·三模）箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图 所示，过原点的动直线交定圆 于点 ，交直线 于点 ，过 和 分别作 轴和 轴的平行线交于点 ，则点 的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为 ，设 ，下列说法正 确的是（ ）A． 是奇函数 B．点 的横坐标为 C．点 的纵坐标为 D． 的值域是 二、多选题 8．（2021·辽宁实验中学模拟预测）已知函数 (即 ， )则 （ ） A．当 时， 是偶函数 B． 在区间 上是增函数 C．设 最小值为 ，则 D．方程 可能有2个解 9．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数 （ 且 ）的图象如下所示．函数 的图象上有两个不同的点 ， ，则（ ） A． ， B． 在 上是奇函数C． 在 上是单调递增函数 D．当 时， 10.(2021·福建厦门双十中学月考)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x) ＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是( ) A．函数F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有三个解 C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增 D．函数F(x)有4个单调区间 三、填空题 11．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数 ， ，若存在实数m，使得对于任意的 ， 都有 ，则称函数 ， 有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任 意的 ，都有 ，则称函数 ， 有上界，M为其一个上界．若函数 ， 既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数．对于下列4个结论中正确的序号是______． ①若函数 有下界，则函数 有最小值； ②若定义在 上的奇函数 有上界，则该函数是有界函数； ③对于函数 ，若函数 有最大值，则该函数是有界函数； ④若函数 的定义域为闭区间 ，则该函数是有界函数． 12．（2021·北京通州·一模）已知函数 ，设曲线 在第一象限内的部分为E，过O点作斜率 为1的直线交E于 ，过 点作斜率为 的直线交x轴于 ，再过 点作斜率为1的直线交E于 ，过 点作斜率为 的直线交x轴于 ，…，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示． 给出下列四个结论：① 的长为 ； ②点 的坐标为 ； ③ 与 的面积之比是 ； ④在直线 与y轴之间有6个三角形． 其中，正确结论的序号是________． 1.（2021天津卷第3题）函数 的图像大致为 A. B. C. D. 2．（2021年浙江卷第7题）已知函数 ，则图象为右图的函数可能是（ ）. A． B． C． D．3.（2021年乙卷第7题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所 得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 A. B. C. D. 4.（2020年高考数学全国卷Ⅰ第 7题）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的 最小正周期为（ ） A. B. C. D. 5. (2020年北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是( ) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 6.(2020年浙江卷)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是( )7.（2019全国Ⅲ理7）函数 在 的图像大致为 A． B． C． D． 8．(2018全国卷Ⅱ)函数f(x)= 的图像大致为 ( ) 9.（2019全国Ⅰ理5）函数 的图像在 ， 的大致为( ) A． B． C． D． 10.(2016全国I)函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（ ） 11．(2018全国卷Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图像大致为( ) ★12.（20152）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC， CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f （x）的图像大致为（ ） ★13.（20141） 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是 圆上的动点，角 的始边为 射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距 离表示为 的函数 ，则 = 在[0, ]上的图像大致为（ ）1.【答案】A 【解析】 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋ ∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A. 2.【答案】D 【解析】先画出函数f(x)＝的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标 原点对称，即可画出函数－f(－x)的图象，即g(x)的图象，如图(2)所示．故选D. 3.【答案】C 【解析】选C.由f(x)＝及图象可知，x≠－c，－c＞0，则c＜0；当x＝0时，f(0)＝＞0，所以b ＞0；当y＝0时，ax＋b＝0，所以x＝－＞0，所以a＜0.故a＜0，b＞0，c＜0. 4．【答案】C 【解析】将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移 1个单位长度，得到函数y＝ln[1－(x－1)]＝ ln(2－x)的图象，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数为y＝ln(2－x)＋2.根据复合 函数的单调性可知y＝ln(2－x)＋2在(－∞，2)上为减函数，且y＝ln(2－x)＋2的图象过点(1， 2)，故C正确，选C. 5．【答案】D 【解析】y＝是偶函数，其图象关于y轴对称．当x≥0时，函数y＝，y′＝，当x∈[0，2)时， y′≥0，y＝在[0，2)上单调递增，当x∈(2，＋∞)时，y′<0，y＝在(2，＋∞)上单调递减，所以 y＝在[0，＋∞)上有且只有一个极大值点是x＝2，故选D.6.【答案】 【解析】 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时 斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值 范围为. 7．【答案】(1，＋∞) 【解析】问题等价于函数y＝f(x)的图象与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，如图，结合 函数图象可知a>1. 8．【答案】(－∞，2) 【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2， 作出f(x)的图象，如图： 由图易知a<2. 1．【答案】A 【解析】 ， 的定义域为 ， ， 的定义域为 在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当 时，则 ，令 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ①对应的为第三个函数 故选：A． 2．【答案】B 【解析】设 M 、 N 分别为截面与 DB 1、 的交点， ， ， 平面 ， 平面 ，所以，平面 平面 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以， ，同理可得 ， ， 所以， ， 所以， ，易知 ， 因此， . 故选：B. 3．【答案】A 【解析】由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变， 刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，当水面经过 点后，水面的面积为定值，水的高度 匀速增长，故符合条件的函数图象为A选项中的图象.故选：A. 4．【答案】C 【解析】令 ，则该函数的定义域为 ， ， 所以，函数 为偶函数，排除B选项. 由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立， 所以，函数 的最小值为 ，排除AD选项. 故选：C. 【点睛】 思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 5．【答案】C 1 1 【解析】令y f xsinx sin2x sin3x， 2 3 fxcosxcos2xcos3xcosxcos2xcos2xcosxsin2xsinx 求导得 cosx  12sin2 x  cos2x1cosx12cosxcos2x ，   所以，当 x  0, 4  时， fx0 ，函数 f x 单调递增；   当 x 4 , 2  时， fx0 ，函数 f x 单调递减；  2 x ,  当  2 3 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减； 由于 ， 所以， 时， ，且单调区间变化不具有对称的性质， 所以，只有C选项满足. 故选：C 6.【答案】A 【解析】y＝f(x)＝画出分 7．【答案】C  a 2 a2 x2y   【解析】连接 ，则 ，圆 的标准方程为  2 4 ， 该圆的直径为a， a y x 设点 Qx 0 ,a ，当点Q不与点A重合时，直线OQ的方程为 x 0 ，  a y x  x  0  x2y2ay0 联立 ，解得 ，  y0 a3  y  x2a2 0a3 当点 与点 重合时，点 的坐标也满足方程y ，所以， ， Q A A x2a2 对任意的 ， ，即函数 的定义域为 ， ，故函数 为偶函数，A错； 当点 在第一象限时， ，因为 ，此时 ，B错； 当点 不与点 重合时， ， 因为 ，则 ， 当点 与点 重合时，点 也与点 重合，此时 ，点 的纵坐标也满足 ， 综上所述，点 的纵坐标为 ，C对； 对于D选项， ，所以， ，D错. 故选：C. 二、多选题 8．【答案】ABD 【解析】 A ：当a0时， f(x)  x x 2 2   x x ， ， x x   a a ，即 f(x)x2  x ， f(x)(x)2 x x2 x  f(x) f(x) 所以 ，所以 是偶函数，故正确； 1 1  ：当 时， ， 的对称轴为x ，开口向上，此时 在 ，上是增函数， B xa f(x)x2xa f(x) 2 f(x) 2  1 当 xa 时， f(x)x2xa ， f(x) 的对称轴为x 2 ，开口向上，此时 在 上是增函数， 综上， 在 上是增函数，故 正确； ：当 时， ，当 时， ， 因为不能确定 的大小，所以最小值 无法判断，故 错误； ：令 ，当 时， ， 有2个解，故 正确.9．【答案】BCD gxlog xk 2, 【解析】对于A，由图像可知，函数 a （ a0 且 a1 ）在 上单调递增，所以 a1 ， 因为 gx 经过 1,0 ，所以 g1log a 1k0 ，所以 a0 1k ， k 2 ，故A错误. f xaxax 对于B， ，定义域 关于原点对称， ，所以 在 上是奇函数， 故B正确. 对于C，对于 ，由题意不妨令 ，则 ，因为 ， ，所以 ，即 ，所以 在 上是 单调递增函数，故C正确. 对于D， ，因为 ， ，所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，即当 时， 成立，故D正确. 故选：BCD 10.【答案】 ABD 【解析】 根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图． 由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B 项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增， 在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确． 三、填空题 11．【答案】②③ 【解析】①当 时， ，则 恒成立，则函数 有下界，但函数 没有最小 值，故①错误； ②若定义在 上的奇函数 有上界，不妨设当 时， 成立，则当 时， ，则 ， 即 ，则 ，该 的下界是M ，则函数是有界函数，故②正确； y f(x) y| f(x)| | f(x)|�M M剟f(x) M ③对于函数 ，若函数 有最大值，设 ，则 ，该函数是有界函数，故 ③正确；   tanx, 0�x   2 ④函数 f(x) ，则函数 的定义域为闭区间 ，  0 x  2 则函数 的值域为 ，则 只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数．故④错误； 故答案为：②③． 12．【答案】②④ 【解析】由 可得 ， ，由 可得 ，  ， A 2 2,0 2  2  2 所以 AB  1 2  21 2 2，故①错误 1 2由 可得 ， ，故②正确 由 可得 ， 所以 ，故③错误 同理可求 因为 ，所以共有6个三角形，故④正确 故答案为：②④ 1.【答案】B ln|x| 【解析】设y f x x2 2 ，则函数 f x的定义域为x x0，关于原点对称， ln|x| f x  f x 又 x2 2 ，所以函数 f x为偶函数，排除AC； x0,1 ln|x|0,x2 10 f x0 当 时， ，所以 ，排除D. 2．【答案】D 1 f(x)x2  【解析】  4 是偶函数， g(x)sinx 是奇函数，由于图象是奇函数，所以C，D正确，由于  1  π π f(x)g(x)2xsinxx2  cosx  f  g  0  4 ，则 4 4 ，C选项不符合，故选D． 3.【答案】B  【解析】ysin(x ) . 44.【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 f x 图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，所以函数 的 2 2 4 T     3 3 最小正周期为 故选：C 2 5.【答案】 D 【解析】在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图．由图象得交点坐标 为(0，1)和(1，2)．又f(x)>0等价于2x>x＋1，结合图象，可得x<0或x>1. 故f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D. 6.【答案】A 【解析】 (1)令f(x)＝xcos x＋sin x，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcos x－sin x ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f(π)＝－π<0，排除B，故选A. 7.【答案】B 【解析】 因为 ，所以 是 上的奇函数，因此排 除C，又 ，因此排除A，D．故选B． 8．【答案】B【解析】当 时，因为 ，所以此时 ，故排除 A．D；又 ，故排除C，选B． 9.【答案】D sinxx f x 【解析】因为 cosxx2 ，x[π，π]，所以 sinxx sinxx f x  f x cosxx2 cosxx2 ， f x [π，π] 所以 为 上的奇函数，因此排除A； sinππ π f π  0 又 cosππ2 1π2 ，因此排除B，C；故选D． 10.【答案】D 【解析】当 x� 0 时，令函数 f(x)2x2 ex ，则 f(x)4xex ，易知 f(x) 在[0，ln4）上单 调递增，在[ln4，2]上单调递减，又 f(0) 10 ， ， ， ，所以存在 是函数 的极小值点，即函数 在 上 单调递减，在 上单调递增，且该函数为偶函数，符合 条件的图像为D． 11．【答案】D 【解析】当 时， ，排除A，B．由 ，得 或 ，结合三次函数的图像特征，知原函数在 上有三个极值点，所以排除C，故选D． 12.【答案】B 【解析】由于 ，故排除选项C、D；当点 在 上 时， ．不难发现 的图像是非线性，排 除A．故选B. 13.【答案】C 【解析】由题意知， ， 当 时， ； 当 时， ，故选C．