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第 9 讲 函数的对称性
一．选择题（共10小题）
1．（2024 秋•蚌埠期末）若函数 是奇函数，则下列各点一定是函数
图象对称中心的是
A． B． C． D．
2．（2023秋•宁波期末）定义在 上的函数 的图象关于点 对称，则
下列式子一定成立的是
A． B． （1） C． （2）
D． （1） （3）
3．（2020秋•凉州区月考）已知 是偶函数，则函数 图象的对称
轴是
A． B． C． D．
4．（2020 春•东安区月考）已知定义在 上的函数 满足 ，
，且当 ， 时， ，则
A．0 B．1 C． D．2
5．（2024秋•开封期末）已知函数 的图象关于点 成中心对称图形，当
时， ，则 时，A． B． C． D．
6．（2024秋•皇姑区期中）已知函数 的三个零点分别为1，
， ，若函数满足 ，则 （3）的取值范围为
A． ， B． C． D． ，
7．（2020秋•无锡期末）我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心
对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函
数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．则函数 图象的对称中心为
A． B． C． D．
8．（2024•南充模拟）已知函数 ，则函数 的图象
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
9．（2025•青羊区开学）已知函数 ，则
A． 关于点 对称 B． 关于点 对称
C． 关于直线 对称 D． 关于直线 对称
10．（2024春•渭滨区期末）已知定义在 上的函数 满足 ，若函数 与函数 的图象的交点为 ， ， ， ， ， ，
则
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•西峰区二模）函数 在区间 上的图象是一条
连续不断的曲线，且满足 ，函数 的图象关于点
对称，则
A． 的图象关于点 对称
B．8是 的一个周期
C． 一定存在零点
D．
（多选）12．（2025•仁寿县三模）已知函数 是 上的奇函数，对于任意
，都有 成立，当 ， 时， ，给出下列结论，
其中正确的是
A． （2）
B．点 是函数 的图象的一个对称中心
C．函数 在 ， 上单调递增D．函数 在 ， 上有3个零点
（多选）13．（2025•南岗区一模）已知函数 的图象关于点 对称，
函数 的图象关于直线 对称，则下列说法正确的为
A．4是 的一个周期 B． 是偶函数
C． D．
（多选）14．（2024秋•东莞市期末）我们知道：函数 的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是 为奇函数，类比以上结论也
可得到函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件．已知函数
的定义域为 ，其图象关于直线 成轴对称图形，且 为奇函数，
当 时， ，则下列说法中正确的是
A． 的图象关于点 成中心对称图形
B． 为偶函数
C． 的最小正周期为12
D．当 时，
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•惠山区月考）定义在 上的函数 和 的图象关于
轴对称，且函数 是奇函数，则函数 图象的对称中心为．
16．（2024秋•济宁期中）已知函数 ， ，则 的对
称中心为 ；若 ，则数列 的通
项公式为 ．
17．（2025•项城市模拟）若函数 的图象关于直线 对
称，则 ．
18．（2024 秋•辽宁期中）定义在 上的函数 满足 ，且
关于 对称，当 时， ，则 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋•佛山期末）已知函数 的图象关于点 成中心对称图
形的充要条件是函数 为奇函数，若函数 ．
（1）求曲线 的对称中心；
（2）判断 在区间 上的单调性，并用定义证明．
20．（2024秋•余江区期中）已知函数 ．
（1）简述 图象可由 的图象经过怎样平移得到；
（ 2 ） 证 明 ： 的 图 象 是 中 心 对 称 图 形 ， 并 计 算
的值．
21．（2024秋•新吴区期中）有同学发现：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．运用该结论解决以下
问题：
（1）直接写出函数 的对称中心；
（2）证明：函数 的对称中心为 ；
（3）若函数 的对称中心为 ，求实数 、 的值．
22．（2024秋•烟台期中）若定义在 上的函数 满足 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）用定义法证明： 在区间 上单调递减；
（3）已知函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．利用上述结论，求函数 图象的对称中心．（注
23．（2024秋•广东月考）我们有如下结论：函数 的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．
（1）判断： 的图象是否关于点 成中心对称图形？
（2）已知 是定义域为 的初等函数，若 ，证明：
的图象关于点 成中心对称图形．
24．（2024秋•成都期中）经研究，函数 为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点 ，函数 的图象关于点 成中心
对称图形的充要条件是函数 为奇函数，由 得函
数 关于点 成中心对称图形的充要条件是 ．
（1）已知函数 ，且 （5） ，求 的值；
（2）证明函数 图象的对称中心为 ；
（3）已知函数 ，求 （8） （9）的值．一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B A C A A C C
二．多选题（共4小题）
题号 11 12 13 14
答案 ACD AB ABD BCD
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】利用函数的图象变换求解．
【解答】解：因为函数 是奇函数，即 关于 中心对称，
又函数 的图象可将 的图象向上平移2个单位，向左平移1
个单位，得到的，
所以函数 图象对称中心的是 ．
故选： ．
2．【答案】
【分析】由已知结合函数的对称性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为函数 的图象关于点 对称，
所以 的图象关于点 对称，
所以 ，结合选项可知， （2） 一定成立．
故选： ．
3．【答案】
【分析】由偶函数的图象关于 轴对称，得到 的对称轴为 ，然后
由图象变换，即可得到答案．
【解答】解：因为 是偶函数，
则 的对称轴为 ，
将函数 的图象向右平移一个单位可得 的图象，
所以函数 图象的对称轴是 ．
故选： ．
4．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为 2的周期函数，利用函数
周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．
【解答】解： ， ，
，即有 ，
即函数 是周期为2的函数，
当 ， 时， ，
（1） ，
故选： ．
5．【答案】
【分析】利用对称性有 ，结合 有 及已知区间的函数解
析式求 时 表达式即可．【解答】解：当 时， ，
则 时， ，故 ，
又函数 的图象关于点 成中心对称图形，
则 ．
即当 时， ．
故选： ．
6．【答案】
【分析】根据题设得函数关于 对称，进而有 、 ，且
， 结 合 ， 得 到 ， 是
的两个零点，根据二次函数性质求得 、 ，
即可求 （3）的范围．
【解答】解：已知函数 的三个零点分别为 1， ，
，
若函数满足 ，
即 ，故函数关于 对称，
所以 （1） ，则 ，
故 ，
令 ，且开口向上，对称轴为 ，由题意 ，且 ，它们也是 的两个零点，
所以 ，且 ，故 ，则 ，
所以 （3） ， ．
故选： ．
7．【答案】
【分析】根据题意，设函数 图象的对称中心为 ，据此可得
为奇函数，结合奇函
数的性质可得 ，解可得 、 的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设函数 图象的对称中心为 ，
则 为奇函数，
即 为奇函数，
必有 ，解可得 ， ，
则 的对称中心为 ，
故选： ．
8．【答案】
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的图象的变换，判断选项即可．
【解答】解： 为奇函数，其对称中心为 ，
函数 的图象是由函数 的图象向右平移1单位，再向上平移1单
位得到的，的图象的对称中心为 ．
故选： ．
9．【答案】
【分析】利用奇偶函数的对称性逐项分析可得答案．
【解答】解：假设函数 关于点 对称，那么应满足 ．
， ，
显然 ，所以 不关于点 对称， 选项错误；
假设函数 关于点 对称，那么应满足 ．
， ，
显然 ，所以 不关于点 对称， 选项错误．
若函数 关于直线 对称，则 ．
， ，
所以 ，故 关于直线 对称， 选项正确．
若函数 关于直线 对称，则 ．
，
，
显然 ，
所以 不关于直线 对称， 选项错误．
故选： ．
10．【答案】【分析】首先判断两个函数的对称性，再判断交点的对称性，最后利用对称性
求和．
【解答】解： ，
关于点 对称，
由函数 ，得函数关于点 对称，
与 的交点也关于点 对称，
．
故选： ．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据 的图象关于点 对称得 的图象关于点 对称，进
而构造函数 ，判断 为偶函数，且关于 对称，进一步
得到 的单调性，进而结合函数的对称性及周期性可求解 ，由零点存在
性定理即可判断 ．
【解答】解：对于 ，由于 的图象关于点 对称，
所以 ，故 ，
所以 的图象关于点 对称，故 正确，
由 得 ，令 ，
，所以 ，故 为偶函数，又 的图象关于点 对称，
所以 ，又 ，
从而 ，
所以 的图象关于 对称，
对于 ，在 中，令 ， （1） ，
所以 （1） ，
（2） （5） （5） ，
由于 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定
理可得 在 有零点，故 正确
对 于 ， 由 于 的 图 象 关 于 对 称 以 及 得
，
又 ，
所以 ，
所 以 是 周 期 为 8 的 周 期 函 数 ， （ 2 ）
，故 正确，
对 于 ， （ 1 ） ， （ 9 ） （ 6 ） （ 2 ）
（1），
所以8不是 的周期，故选： ．
12．【答案】
【分析】由 ，赋值 ，可得 （2） ，故 正确；
进而可得 是对称中心，故 正确；
作出函数图象，可得 不正确．
【解答】解：在 中，令 ，得 （2） ，
又函数 是 上的奇函数，所以 （2） ，故 选项正确；
因为 ，故 是一个周期为4的奇函数，
因为 是 的对称中心，
所以 也是函数 的图象的一个对称中心，故 选项正确；
作出函数 的部分图象如图所示，
易知函数 在 ， 上不具单调性，故 选项不正确；
函数 在 ， 上有7个零点，故 选项不正确．
故选： ．
13．【答案】
【分析】由已知可得 关于点 对称，关于直线 对称，结合对称轴和
对称中心可得周期，即可判断 ；根据函数奇偶性的定义即可判断 ；由
，令 为 即可判断 ；结合函数的周期性即可判断 ．【解答】解：已知函数 的图象关于点 对称，函数 的图
象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
用 代换上式中的 可得 ，所以 关于点 对称，
又因为函数 的图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于直线 对称，即 ，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 的周期为4，故 正确；
因为 ，所以 ，
因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，
所以 ，所以 是偶函数，故 正确；
因为 关于点 对称， （2） （4） ，
因为 ，令 可得 （1） （3），
又 关于直线 对称，所以 （1） （3） ，
所以 （1） （2） （3） （4） ，
所以 ，故 不正确，因为 ，所以 ，
即 ，故 正确．
故选： ．
14．【答案】
【分析】由已知结合函数的对称性进行转转化可求出函数的周期，然后结合周
期性，奇偶性及对称性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 为奇函数，图象关于原点对称，
故 的图象关于 对称， 错误；
由 的图象关于 对称可得， 的图象关于 轴对称，即 为偶
函数， 正确；
函数 关于直线 成轴对称，关于 对称，
所以最小正周期为 ， 正确；
因为 时， ，
当 时， ，
所以 ，
当 时， ， ，
因为 ，
所以 ， 正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】 ．【分析】结合奇函数的对称性及函数图象的平移可求出 的对称中心，进而
可求 的对称中心．
【解答】解：因为函数 是奇函数，
所以 的图象关于 对称，
函数 和 的图象关于 轴对称，
所以 的图象关于 对称．
故答案为： ．
16．【答案】 ； ．
【分析】利用中心对称的定义求出 图象的对称中心，利用函数 的对称
性及倒序相加法求出通项．
【解答】解：函数 的定义域为 ， ，
由 ， 的对称中心为 ，
将 的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位，得到 的图象，
因此函数 图象的对称中心是 ；
则有 ，当 时， ，
，
，
于是 ，即 ，所以数列 的通项公式为 ．故答案为： ；
17．【答案】2．
【 分 析 】 由 已 知 可 得 对 恒 成 立 ， 进 而 得
，计算可求 ．
【解答】解：因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 对 恒成立，
所以 ， 恒成立，
即 ， 恒成立
， 恒成立
恒成立，所以 ．
故答案为：2．
18．【答案】 ．
【分析】由已知先判断函数的奇偶性及对称性，进而可求 ，及周期，结合周
期性即可求解．
【解答】解：由 得函数 的图象关于直线 对称，
由 关于 对称得函数 的图象关于点 对称，
即函数 为奇函数，
所以 ，即 ，
所以当 时， ，由题意得 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 的周期为4，
所以 （2） ， （3） （1） ， （4） （2） ，
则 （1） （2） （3） （4） ，
则 （1） （2） （3） （4） （5） （6）
（7） （8）
．
故答案为： ．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1） ；
（2）单调递减，证明见解析．
【分析】（1）首先设函数 ，判断函数 是奇函数，即可判断
函数的对称中心；
（2）根据函数单调性的定义，结合作差法，即可证明．
【解答】解：（1）根据题意，函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
设 ，
则函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
且 ，
所以 为奇函数，
所以函数 的对称中心为 ．
（2）函数 在 上单调递减．
证明： ， ，且 ，
则
，
因 为 ， ， 所 以 ， ， ， ，
，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递减．
20．【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析，4048．【分析】（1）变形函数 ，再利用平移变换求出变换过程．
（2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和．
【解答】解：（1）由于 ，
则 的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到 的
图象．
（2）因为 ，
所以 的图象关于 中心对称；
则 ， ， ， ，
所以 ．
21．【答案】（1） ．
（2）证明见解析．
（3） ， 或 ．
【 分 析 】 （ 1 ） 函 数 的 对 称 中 心 为 ， 进 而 验 证 用 函 数
为奇函数即可；
（2）记 ，进而证明 为奇函数即可得证；
（3）令 ，进而由 可求实数 、 的值．
【解答】解：（1）因为函数 ，
所以函数 的定义域 ， ，所以 是奇函数，
所以函数 的对称中心为 ．
（2）证明：记 ，则定义域为 ，即
定义域关于原点对称，
又 ，
所以 为奇函数，
所以 的对称中心为 ．
（3） ，
令
，
因为若函数 的对称中心为 ，
所以 是奇函数，
所以 ，
即
整理得 ，
得 ，解得 ， 或 ．
22．【答案】（1） ；
（2）证明见解析；
（3） ．
【分析】（1）根据给定条件，利用方程组法求出 的解析式；
（2）利用单调递减函数的定义，计算推理得证；
（3）由（1）结合给定的结论，利用奇函数的性质计算出对称中心．
【解答】解：（1）由 ，得 ，
联立消去 得： ，
即 ；
（2）证明：任取 ， 且 ，
则
，
由 ，得 ， ， ， ，
因此 ，
所以函数 在区间 上单调递减；
（3）设函数 图象的对称中心为 ，则函数 为奇函数，
于是 ，，
而 ，
因此 ，对任意 恒成立，
则 ，且 ，
解得 ， ，
所以函数 图象的对称中心为 ．
23．【答案】（1）成中心对称图形；
（2）证明见解析．
【分析】（1）整理可得 ，根据题目中的条件，结合奇偶性的
定义，可得答案；
（2）设 ，根据题目中的条件，结合奇偶性的定义分析证明．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
因为 为奇函数，即 为奇函数，
故函数 的图象关于点 成中心对称图形；
（2）证明：因为 ，
所以 ，
令 ，
因为 是定义域为 的初等函数，所以 也是定义域为 的初等函数，
又，
所以 为奇函数，即 为奇函数．
由结论得， 的图象关于点 成中心对称图形．
24．【答案】（1） ；
（2）证明见解析；
（3） ．
【分析】（1）根据题意，分析 的值，进而分析可得答案；
（2）根据题意，设 ，证明 为奇函数，易得结论；
（3）根据题意，设 ，分析可得函数 为奇函数， 的对称
中心为 ，进而分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数 ，则 ，
则有 ，
又由 （5） ，则 ；
（2）证明：设 ，
函数 ，
则 ，
易得 的定义域为 ，且 ，
则 为奇函数，故函数 的对称中心为 ；
（3）根据题意， ，
设 ，
则 ，
易得 的定义域为 ，且 ，
则函数 为奇函数， 的对称中心为 ，
则有 ，
令 ，可得 （1） ．
故 （ 8 ） （ 9 ） （ 9 ） （ 8 ）
（3） （1） ．
