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2026 届高三二轮复习“8+3+3”小题部分章节融合强化训练(2)
一、小题知识归纳
单选1：交集与绝对值不等式、指数不等式融合 单选2：函数性质与常用逻辑用语融合
单选3：利用向量数量积求向量的模 单选4：有限制性条件的排列问题
单选5：线性回归方程 单选6：复数情景题
单选7：双曲线几何性质 单选8：解三角形与基本不等式融合
多选9：三角函数图像与性质 多选10：概率
多选11：数列新定义 填空12：利用函数性质拟合函数
填空13：圆与抛物线融合 填空14：立体几何与导数融合
二、
小题强化训练
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，
，则
（ ）
A
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】化简集合A，B，根据交集的定义写出
即可．
【解析】由
，即
，即
，解得
，
所以集合
，
又集合
，
所以
，
即
故选：B
2．已知
是定义在
上
奇函数，则“
”是“
在
上单调递增”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质，结合函数单调性的定义进行判断即可.
【解析】由
，
因此不能判断
在
上单调递增.
当
在
上单调递增，
所以
，
因此“
”是“
在
上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
3．已知向量
满足
，
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】根据向量模的公式得
，再求模即可.
【解析】解：因为
，
，
，
所以，
，
所以，
.
又
，
所以
.
故选：C
4．有2 位老师和3 名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）
A. 48 种
B. 12 种
C. 36 种
D. 24 种
【答案】D
【分析】将2 位老师捆绑在一起，看成一个人
，此时有
种排列法，再求2 位老师的内部排列，最
后由分步计数原理即可得答案.
【解析】因为2 位老师不能分开，
故将2 位老师捆绑在一起，看成一个人
，
则共有4 人排成一排，其中
不排首尾，
所以共有
种排列法，
又因为2 位老师的排列法共有
种，
所以共有
5．我国2016-2024 年科幻产业营收
（单位：亿元）如下表所示：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
时间变量
1
2
3
4
5
6
7
8
9
营收
100.0
140.
0
456.4
658.7
551.1
829.
6
877.5
1132.9
1089.6
根据表中数据建立
与的线性回归方程
，预测我国2025 年科幻产业营收约为（ ）
（参考数据：
）
A. 1222.1 亿元
B. 1310.9 亿元
C. 1339.1 亿元
D. 1443.4 亿元
【答案】B
【分析】先利用样本中心点
在回归直线上的性质，求出截距
，再代入2025 年对应的时间变量
计算预测值.
【解析】
，
所以样本中心点为
满足回归方程
，
代入得：
，计算得：
所以回归方程为
.
2025 年对应的时间变量
，代入回归方程：
因此，预测我国2025 年科幻产业营收为1310.9 亿元.
故选：B
6． 任意一个复数
（
，
）都可以表示成三角形式，即
（
）
（
，
）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：
，
，则
，已知复数
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】由棣莫弗定理可知，若
，则
，求出
，代入
公式化简即可.
【解析】由棣莫弗定理可知，若
，则
，
因
，所以
，
所以
，
故选：A.
7．在平面直角坐标系
中，边长为2 的菱形
的顶点均在双曲线
上，点
在
边
上，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D. 2
【答案】C
【分析】利用菱形的性质、双曲线的对称性以及点在双曲线上的条件来求解双曲线的参数，从而得到
离心率.
【解析】因为双曲线
，点
在边
上，
所以边
平行于
轴，点
和点
关于
轴对称，
所以点
是
的中点，又因为菱形边长为2，所以
，
又因为菱形
的对角线分别为直线
，直线
，
根据菱形两条对角线垂直且平分可得：
点
和点
关于
轴对称，点
和点
关于
轴对称，
所以
，
，
，
，
将
代入
，解得
，即
，
在双曲线
中，
，
又因为
，即
所以离心率
.
故选：C.
8．已知
的内角
，
，
所对的边分别是
，
，
，若
，
，角
的角平分线交
于点
，则线段
的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件
转化，求出
,
后通过面积法建立角平分线
与边
的关系，得到
，再结合余弦定理和基本不等式
求出
的最大值为
.
【解析】由
,
即
，
,又
,
,
,
因为
为角
的角平分线,
所以
,
而
,
则
，又
，
则
,所以
化简得：
即
,
，当且仅当
时取等号.
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知函数
，则下列说法中正确的有（ ）
A. 函数
的最小正周期为
B. 函数
的图象关于直线
对称
C. 将
的图象向左平移
个单位得到的函数为奇函数
D. 函数
与
在
上有两个交点
【答案】ACD
【分析】选项A，直接利用周期公式计算即可；选项B，先求函数
对称轴，进一步分析即可；选项
C，先通过平移变换得出新函数，再利用函数的奇偶性进行判断；选项D，将函数交点的个数问题转化
为方程根的个数问题，利用三角函数性质解方程即可得出结论.
【解析】由
，故A 选项正确；
由
，即
，令
，
解得：
，故B 选项不正确；
由
的图象向左平移
个单位得到函数：
，
由
的定义域为
关于原点对称，
且
，
所以
为奇函数，故C 选项正确；
令
，
则①
，解得：
，
又
，所以当
时，
，
②
，解得：
，
又
，所以当
时，
，
所以函数
与
在
上有两个交点，
故D 选项正确；
故选：ACD.
10．“水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70 余项极具地方特色
非遗代表性
项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．
甲、乙、丙3 名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1 人体验，记事件
“甲体
验指尖非遗”，
“甲体验潮玩非遗”，
“乙体验舌尖非遗”，则（ ）
A.
与
对立
B.
C.
与
相互独立
D.
【答案】BD
【分析】3 名游客，4 个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1 人体验，则必有1
名游客选择2 个主题，其余2 人选择1 个主题，结合排列组合知识依次计算总的样本点数，事件
，
，
，
包含的样本点数，依次判断选项即可.
【解析】3 名游客，4 个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1 人体验，则必有1
名游客选择2 个主题，其余2 人选择1 个主题，
则总的样本点总数为：
，
对于A 选项，甲可能同时体验两个主题，所以事件
与
不对立，故A 错误；
对于B，事件
“甲体验指尖非遗”，分两种情况：
当甲只选“指尖非遗”时，则剩余2 名游客有名游客选择两个主题，另外1 人选择1 个主题，所以样
本点数为：
，
当甲选两个主题，其中一个是“指尖非遗”时，则甲从剩下3 个选一个主题，则剩余的2 主题分配给
乙，丙，所以样本点数为：
，
所以事件
包含的样本点数为
，
故
，故B 正确；
同理，
，
对于C，事件
表示甲选“指尖非遗”且乙选“舌尖非遗”，分三种情况讨论：
当甲选2 个主题，其中一个是“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，此时的样本点数为：
，
当甲只选“指尖非遗”，乙选2 个主题，其中一个是“舌尖非遗”，此时的样本点数为：
，
当甲只选“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，则丙选剩下的两个主题，此时样本点数为：1，
所以事件
包含的样本点数为：
，所以
，
由于
，
所以
与
不独立，故C 错误；
对于D，
，故D 正确；
故选：BD
11．设
是数列
的前
项和，若
，不等式
恒成立，则称数列
为“均增
数列”，则下列说法正确的有（ ）
A. 若
，则数列
是“均增数列”
B. 若等差数列
是“均增数列”，则公差
C. 若
是“均增数列”，则
D. 若
，则存在负数
，使得数列
是“均增数列”
【答案】ABD
【分析】利用等差数列求和，即可判断A 和B，利用等比数列求和，结合二项式定理证明不等式，即可
判断C 和D．
【解析】由
，可得
，
则由
，显然有
，数列
是“均增数列”，故A 正确；
由等差数列
是“均增数列”，且
，
则由
可得：
，故B 正确；
当
，取
时，
，
要证明
，只需要证明
，
即证
，
则只需要证明
，
当
为奇数，不等式
显然成立，
当
为偶数，要证明
，
因为
，对任意
都成立，
所以
，即
对任意
为偶数也成立，
即原不等式
对任意
都成立，
所以存在负数
，使得数列
是“均增数列”，故D 正确；
由于
是“均增数列”，
由于
，
，不满足
，故C 错误；
故选：ABD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．若定义在
上的减函数
满足
，请写出满足条件的一个函数
___________．
【答案】
（可以是
，其中
）
【分析】利用定义在
上的减函数，可得递减的对数函数满足题意.
【解析】根据定义在
上的减函数，结合题意可令
，
因为
，满足题意，
故答案为：
（可以是
，其中
）
13.已知抛物线
：
的焦点为
，以
为圆心且半径为2 的圆与抛物线
相交于
、
两
点，则
____________
【答案】
【分析】先求出圆的方程，然后与抛物线联立，求得方程的解，进而求得点
的坐标，从而求得
.
【解析】已知抛物线
：
的焦点为
，所以
.
所以以
为圆心且半径为2 的圆的方程为
.
联立圆的方程和抛物线方程得
，化简得
.
所以解得
（舍
去）
所以对应的
或
.
所以
，所以
.
故答案为：
14.已知正方体
的棱长为2，点
均在某圆锥的侧面上，点
均
在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为__________.
【答案】
.
【分析】设圆锥底面半径为
，高为
，过正方体的一组对棱
作圆锥
的截面，利用三角
形相似对应边成比例列方程得到
与关系，把圆锥的体积表示为关于的函数，利用导数求最小值．
【解析】设圆锥底面半径为
，高为，则
，
过正方体
的一组对棱
作圆锥
的截面，如图所示：
由题意可得：
，
，
正方体
的棱长为2，则
，
面对角线
，所以
，
由
，可得
，
，
即
，解得：
，
所以圆锥
体积
，
令
，则
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以，
时，圆锥的体积有最小值
.
故答案为：
