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【第19 讲：三角函数的图像与性质】
【新高考课程标准要求】
1.能画出三角函数的图象：掌握用“五点法”作正弦函数
和余弦函数
的简图。例如，
在正弦函数
，
的图象中，五个关键点是
、
、
、
、
；余弦函数
，
的图象中，五个关键点是
、
、
、
、
。
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值：如对于函数
和
，
要知道其周期为
；明确三角函数中奇函数一般可化为
或
的形式，偶函
数一般可化为
的形式，并能据此判断函数的奇偶性；同时能够求出三角函数的最大（小）值。
3.借助图象理解三角函数的性质：借助图象理解正弦函数、余弦函数在
上，正切函数在
上的性质，包括单调性、对称性等。例如，正弦函数
在
上单调递增，在
上单调递
减等；还要知道正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称
中心与对称轴之间的距离是
个周期等性质。
【知识梳理】
三角函数的图像与性质知识梳理
一、核心三角函数：正弦函数（
）、余弦函数（
）、正切函数（
）
1. 图像绘制（基础函数）
正弦函数
：采用“五点法”绘制一个周期（
）的简图，关键坐标为
、
、
、
、
，图像呈“波浪形”，在
上周期性重复。
余弦函数
：同样用“五点法”绘制一个周期（
），关键坐标为
、
、
、
、
，图像也为“波浪形”，与正弦函数图像平移相关。
正切函数
：先明确定义域（
），再用“三点两线”绘制一个周期（
），关键点为
、
、
，渐近线为
，图像呈“间隔的上升曲线”，
在每个定义域区间内独立。
2. 核心性质
（1）正弦函数
定义域：全体实数，即
。
值域：
，当
（
）时取最大值；当
（
）时取最小值
。
周期性：最小正周期为
，即
（
）。
奇偶性：奇函数，满足
，图像关于原点对称。
单调性：在每个周期内，增区间为
（
），在此区间内函数值从
递增到
；减区间为
（
），在此区间内函数值从递减到
。
对称性：对称中心为
（
），即图像过这些点且绕点旋转
后与自身重合；对称轴为
（
），即沿这些直线对折后图像两侧完全重合。
（2）余弦函数
定义域：全体实数，即
。
值域：
，当
（
）时取最大值；当
（
）时取最小值
。
周期性：最小正周期为
，即
（
）。
奇偶性：偶函数，满足
，图像关于
轴对称。
单调性：在每个周期内，增区间为
（
），在此区间内函数值从
递增到；
减区间为
（
），在此区间内函数值从递减到
。
对称性：对称中心为
（
）；对称轴为
（
），其中
（即
轴）是
最直观的对称轴。
（3）正切函数
定义域：
（
），即函数在这些
值处无定义，对应图像中的渐近线。
值域：全体实数，即
，函数值可无限趋近于正无穷或负无穷。
周期性：最小正周期为
，即
（
），周期是正弦、余弦函数的一半。
奇偶性：奇函数，满足
，图像关于原点对称。
单调性：在每个定义域区间
（
）内均为增函数，无减区间，且在不同定义
域区间内的图像不连续（被渐近线分隔）。
对称性：对称中心为
（
），无对称轴，即图像不存在沿某条直线对折后重合的情况。
【课前自测】
1．（24-25 高一上·全国·单元测试）在
内，函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的最小正周期为
，则
在
的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为偶函数，求
的值．
4．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的图象的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 高一·全国·专题练习）求下列函数的单调递增区间：
(1)
，
；
(2)
，
．
6．（24-25 高一下·北京·期中）函数
的定义域为
7．（24-25 高一下·山东潍坊·期末）已知函数
，则（ ）
A．
在定义域内是增函数
B．
是奇函数
C．
的最小正周期为
D．
图象的一个对称中心是
8．（24-25 高一下·广东中山·阶段练习）写出函数
的一个对称中心 ．
【考点一：三角函数的定义域和值域】
知识讲解与常考题型
题型分类
【例题】1．（24-25 高一下·全国·课后作业）函数
的定义域为 ．
2．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的值域为
【针对训练】3．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的定义域是 ．
4．（2025 高一·全国·专题练习）函数
，
，
最小值为 ．
5．（24-25 高一下·湖北荆门·期末）若函数
在
上的值域为
，则
的取值范围为 .
【解题策略】
一、定义域解题策略
三角函数定义域的核心是排除使函数无意义的自变量取值，需结合基本三角函数的定义域限制（如正切函
数分母不为0）、复合函数的运算规则（如偶次根式被开方数非负、对数真数大于0）逐步分析。
1. 基本三角函数定义域（直接应用）
正弦函数
、余弦函数
：对任意实数
均有意义，因此定义域由“内层函数
的取
值范围”直接决定，无需额外排除。
例：求
的定义域，因
可取全体实数，故定义域为
。
正切函数
：核心限制是“
（
）”，解题时需先令“内层函数
满足该条
件”，再解不等式求
的范围。
例：求
的定义域，令
（
），解得
（
），即定
义域为
。
2. 复合三角函数定义域（分层分析）
当三角函数与其他函数（如根式、分式、对数）复合时，需逐层列出所有限制条件，再求交集。
步骤：1. 明确复合函数的结构（如“三角函数+根式”“分式+三角函数”）；2. 针对每一层结构列
出定义域限制（如偶次根式被开方数≥0、分式分母≠0）；3. 解不等式组，取所有条件的公共解。
例：求
的定义域，需同时满足：① 分母≠0（即
）；② 偶次根式被开方数≥0
（即
）。合并得
，解得
（
），即定义域为
（
）。
二、值域解题策略
三角函数值域的求解核心是利用基本三角函数的值域（
，
），结合“换元
法”将复合函数转化为基本函数，再根据函数单调性、二次函数最值等规则求解。
1. 形如
或
（
）
这是最常见的正弦、余弦复合函数形式，值域由“振幅
”和“上下平移量
”决定，步骤如下：
1. 确定内层函数范围：令
，因
的值域与
无关，故
，
。
2. 缩放与平移：根据
的正负性，计算
（或
）的值域：
若
，则
；若
，则
（本质是“振幅决定最值的绝对
值”）。
3. 最终值域：加上
后，整体值域为
。
例：求
的值域，
，故
，加上1 后值域为
。
2. 形如
或
（
）
此类为“三角函数与二次函数的复合函数”，需用换元法转化为二次函数值域，注意换元后“新变量的范
围”（即
或
的范围
）。
步骤：1. 令
（或
），则
；2. 函数转化为
（
）；
3. 根据二次函数的开口方向（
开口向上，
开口向下）和对称轴位置，求其在
上的最
值，进而确定值域。
例：求
的值域，令
（
），函数变为
，对称轴
为
（开口向上）。当
时，
；当
时，
，故值域为
。
3. 形如
正切函数本身的值域为
，上下平移（加
）不改变其“可取全体实数”的性质，因此此类函数的值域恒
为
，只需注意定义域的限制，无需额外计算值域。
例：
的值域为
。
【考点二：三角函数的周期性，奇偶性，对称性】
【例题】1．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）设函数
，
，若
是奇函数，则
．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
的一条对称轴为直线
，则
.
3．（24-25 高一下·内蒙古·期末）已知函数
的最小正周期为
，且
的图象
关于点
对称，则
，
的最小正值为 ．
【多选题】4.（2025·湖南常德·模拟预测）已知函数
与函数
的图象的对称中心完全相同，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．
C．直线
是
图象的一条对称轴
D．
是
图象的一个对称中心
【针对训练】4．（24-25 高一下·上海·期末）已知常数
，函数
为偶函数，则
.
5．（24-25 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
是奇函数，则
的值为
．
6．（24-25 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）记函数
的最小正周期为
，
若
，且函数
的图象关于点
对称，则当
取得最小值时，
．
7．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线
的一个对称中心为
，则
的最小值为
．
8．（24-25 高一下·山东日照·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的最大值为2
C．
在
上单调递减
D．
的对称轴为
【多选题】9．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
，将函数
的图象向左平移
个单位长度后，得到函数
的图象，则（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
在区间
内单调递减
D．
与
的图象关于直线
对称
【多选题】10．（2024·四川成都·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．存在
，使得
C．若
为奇函数，则
的最小值为
D．若
，则
【解题策略】
一、周期性解题策略
三角函数周期性的核心是利用基本三角函数的周期公式，结合复合函数的“内层变换”对周期的影响，优
先明确基本形式的周期，再处理复合情况。
1. 基本三角函数的周期（直接记忆）
正弦函数
、余弦函数
：最小正周期为
，即
。
正切函数
：最小正周期为
，即
（正切函数的周期与正弦、余弦不同，因它是“半周
期”函数，图像每隔
重复一次）。
2. 复合三角函数的周期（核心：看“
”的影响）
对于形如
、
（
）的函数，周期由“
的系数
”决定，与
、
、
无关：
计算公式：最小正周期
（加绝对值是因为
可正可负，周期恒为正数）。
例：求
的周期，
，故
。
对于形如
（
）的函数，周期同样由
决定：
计算公式：最小正周期
（正切函数的周期公式分母是
，而非
，需与正弦、余弦区分）。
例：求
的周期，
，故
。
3. 特殊复合形式的周期（需结合函数性质化简）
若函数含“平方”“绝对值”等结构，需先化简为基本复合形式，再求周期：
例：求
的周期，利用二倍角公式化简为
，此时为
形
式（
），故周期
。
二、奇偶性解题策略
三角函数奇偶性的判断核心是紧扣奇偶性定义（
为奇函数，
为偶函数），
结合基本三角函数的奇偶性与复合函数的奇偶性规则。
1. 基本三角函数的奇偶性（基础前提）
奇函数：
、
（满足
，图像关于原点对称）。
例：
，
。
偶函数：
（满足
，图像关于
轴对称）。
例：
。
2. 复合三角函数奇偶性的判断步骤
判断形如
、
、
的奇偶性，需先“整理内层函数”，
再结合定义验证：
1. 第一步：看定义域是否关于原点对称（奇偶性的前提，若定义域不对称，直接判定为“非奇非偶”）。
例：求
的奇偶性，定义域为
（
），即
（
），关于
原点对称，可继续判断。
2. 第二步：化简
，对比与
或
的关系：
对于
：若
（
），则
，此时若
为任意非零实数，函数为奇函数（因
）；若
（
），则
，此时函数为偶函数（因
）。
例：
，满足
，为奇函数。
对于
：若
（
），则
，为偶函数；
若
（
），则
，为奇函数。
例：
，满足
，为奇函数。
对于
：若
（
），化简后可判断奇偶性，通常当
或
时，
分别为奇函数或非奇非偶（需具体验证）。
例：
，
，为奇函数。
三、对称性解题策略
三角函数的对称性分为轴对称（关于某条直线对称） 和中心对称（关于某个点对称），核心是“利用基
本三角函数的对称性质，结合复合函数的‘平移变换’推导对称关系”。
1. 基本三角函数的对称性（基础模板）
正弦函数
：
中心对称：关于原点
对称，且所有对称中心为
（
）（图像与
轴的交点均为对称
中心）。
轴对称：所有对称轴为
（
）（图像的“最高点”“最低点”所在直线即为对称轴）。
余弦函数
：
中心对称：所有对称中心为
（
）（图像与
轴的交点均为对称中心）。
轴对称：关于
轴（
）对称，且所有对称轴为
（
）（图像的“最高点”“最低
点”所在直线即为对称轴）。
正切函数
：
中心对称：关于原点
对称，且所有对称中心为
（
）（正切函数无对称轴，仅存在
中心对称）。
2. 复合三角函数的对称性（核心：“内层函数替换”推导）
对于形如
、
的函数，对称性需通过“令内层函数等于基本三
角函数的对称点/对称轴对应值”求解：
求对称轴（以正弦函数为例）：
基本正弦函数
的对称轴为
（
），令复合函数的内层
，解
出
即为对称轴：
（
）。
例：求
的对称轴，令
，解得
（
）。
求对称中心（以余弦函数为例）：
基本余弦函数
的对称中心横坐标满足
（
），纵坐标为
，因此复合函数
的对称中心横坐标需令
，解出
，纵坐标为
（因复合函数上下平移了
），即对称中
心为
（
）。
例：求
的对称中心，令
，解得
，纵坐标为
，故
对称中心为
（
）。
对于形如
的函数，仅需求中心对称：
基本正切函数
的对称中心横坐标满足
（
），纵坐标为
，因此复合函数的对
称中心横坐标为
，纵坐标为
，即对称中心为
（
）。
例：求
的对称中心，令
，解得
，纵坐标为
，故对
称中心为
（
）。
【考点三：三角函数的单调性】
【角度1：求函数的单调区间】
【例题】1．（24-25 高一下·山东聊城·期末）函数
，
的单调递减
区间为 .
2．（24-25 高一下·上海普陀·阶段练习）函数
，
的单调减区间为 .
【针对训练】3．（24-25 高一下·陕西渭南·阶段练习）函数
的单调增区间为
.
4．（22-23 高一下·四川达州·阶段练习）函数
的单调递增区间为 .
5．（2023 高三·全国·专题练习）
的单调递减区间为 .
【角度2：根据三角函数的单调性求参数】
【例题】6．（25 高三上·河北衡水·阶段练习）函数
恒有
，且
在
上单调递增，则
．
7．（24-25 高一下·山东淄博·期末）已知函数
在区间
上单调递增，则
的
取值范围为 .
【多选题】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数
满足
，
且在
上是单调函数，则
的所有可能取值是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【针对训练】8．（24-25 高一下·四川雅安·阶段练习）已知函数
满足
恒成立，且
在
上单调，则
的最大值为 ．
9．（24-25 高三下·江苏泰州·开学考试）已知
，函数
在区间
上单调递减，
则
的最大值为 .
10．（24-25 高一下·重庆·期中）已知函数
在区间
内单调递增，则
的最大值为
.
【多选题】11.（2025·河南·三模）已知函数
，
，则（ ）
A．
与
在
上都单调递增
B．
与
在
上都单调递减
C．将
的图象向右平移
个单位长度后，得到
的图象
D．将
的图象向左平移
个单位长度后，得到
的图象
【多选题】12．（2025·江西景德镇·模拟预测）下列函数中，以
为周期且在
上单调递增的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题策略】
一、先明确“基本三角函数”的单调区间（核心依据）
解题前需牢记3 个基础函数的固有单调区间，这是后续代换的“基准”：
1.
单调递增区间：
（
）
单调递减区间：
（
）
2.
单调递增区间：
（
）
单调递减区间：
（
）
3.
单调递增区间：
（
）
无单调递减区间（定义域内“分段递增”，不连续）
二、核心步骤：整体代换 + 解不等式（针对
、
）
1. 第一步：确定“整体变量”，代入基础单调区间
设
，将基础三角函数的单调区间转化为关于的不等式：
若求
的递增区间，代入
的递增区间：
（
），
即
；
若求
的递减区间，代入
的递减区间：
（
），即
。
2. 第二步：解关于
的不等式（注意
的符号影响）
解不等式时，若
，不等号方向不改变；若
，不等号方向需反向（相当于两边同时除以负数）。
示例：求
的递增区间
先整理函数：
（利用诱导公式
），其递增区间等价于
的递减区间；
设
，代入
的递减区间：
（
）；
解不等式：
，两边加
得
，再除以2（
，不等号不变），得
（
），即递增区间为
（
）。
三、正切函数单调性：特殊处理定义域（无递减区间，注意间断点）
对于
（
），单调性有两个关键点：
1. 只有递增区间：无论
的正负（
仅影响“拉伸/压缩”，不改变单调性方向），其单调区间均对应
的递增区间，即设
，代入
（
）；
2. 定义域优先：解不等式时需用“开区间”（因正切函数在
处无定义），且同样注意
的符
号（
时不等号反向）。
示例：求
的递增区间
整理函数：
（诱导公式
），但正切函数的“负号”不改变递增性，
仍需按递增区间求解；
设
，代入
的递增区间：
（
）；
解不等式：
，两边乘
（
，不等号反向），得
，整理为
（
），即递增区间为
（
）。
四、含定义域限制的单调性问题：“先求全区间，再取交集”
若题目中给出
的具体范围（如
），需先按上述步骤求出函数在
上的单调区间，再与给定的
范围取交集，得到最终的单调区间。
示例：求
在
上的递减区间
1. 先求
上的递减区间：设
，代入
的递减区间
（
），解得
（
）；
2. 取与
的交集：当
时，区间为
；当
时，区间为
；当
或
时，区间与
无交集；
3. 最终递减区间：
。
五、易错点提醒
1. 忽略
的符号：解不等式时若
未反向不等号，会导致区间完全错误；
2. 正切函数用闭区间：正切函数在定义域间断点处无定义，单调区间必须用“开区间”；
3. 遗忘
：求
上的单调区间时，需加上周期倍数
（正切）或
（正弦、余弦），避免漏解；
4. 复合函数符号混淆：对于
，其单调性与
相反（“负号”翻转单
调性），需先转化再求解。
一、单选题
1．（2025·全国·二模）函数
是
上的偶函数，则
（ ）
课后针对训练
A．0
B．
C．
D．
2．（2025·江苏扬州·三模）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
二、多选题
3．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小值为
B．函数
的一个对称中心为
C．函数
在区间
单调递减
D．函数
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的有（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
的图象关于直线
对称D．函数
在
上单调递减
5．（2025·四川·三模）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．1 是
的周期
B．
的定义域为
C．
D．
的图象关于点
对称
6．（24-25 高一下·河南·期中）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小值
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
在区间
上单调递减
D．函数
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到
7．（2025·山东临沂·三模）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．
是
的一条对称轴
C．函数
在
上单调递增
D．函数
图象与直线
有3 个交点
三、填空题
8．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知
，设函数
，则
的单调递减区间
是 ．
9．（2025·上海·模拟预测）
，
恒成立，则
．
10．（2024·辽宁·模拟预测）将函数
的图像向右平移
个单位长度后，所得
图像对应的函数是偶函数，则
的最小值为 ．
11．（2024·北京海淀·二模）已知函数
.
（i）若
，则函数
的最小正周期为 .
（ii）若函数
在区间
上的最小值为
，则实数
.
12．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数
在区间
上单调，则
的取值范围为
.
四、解答题
13．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数
.
(1)求函数
的最小正周期及其对称中心；
(2)求函数
在
上的值域.
14．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的对称中心及对称轴方程；
(2)当
时，求函数
的最大值和最小值．
